CJWGY2020届最高频考点解析

CJWGY 2020届最高频考点解析
计算模块热点：
提供公因数+分配律
1.（2019.9.16CJWGY ）14886743914848149149149⨯
+⨯+⨯=___________．【考点】提取公因式
【难度】★【解析】原式148148148148148398624(398624)149148149149149149149
=
⨯+⨯+⨯=⨯++=⨯=．【答案】1482.（2019.9.16CJWGY ）82.60.328.482525⨯
+⨯-÷【解析】原式()8 2.618.425
=⨯-+3.2
=3.（2019.10.12CJWGY ）1351161532 3.241541265216
⨯-⨯+⨯-÷=_________．【考点】分数巧算
【难度】★★【解析】原式16115162516316541256525
=⨯-⨯+⨯-⨯16115253541262⎛⎫=⨯-+- ⎪⎝⎭
1655
=⨯16
=【答案】16
4.
（2019.3.15CJWGY ）7654988776658765⨯+⨯+⨯+⨯【解析】原式897876765654=⨯++⨯++⨯++⨯+222
=借来还去+错位相减
5.（2019.9.16CJWGY ）11111266135732481632
+++++【解析】原式1111111(26613573)24816323232⎛⎫=+++++++++++- ⎪⎝⎭
160132
31
6032=+-
=【答案】31
6032
裂项
6.（2019.9.16CJWGY ）
1111+12123123+412350
+++=+++++++++L L ___________．【考点】分数裂项
【难度】★【解析】原式22222334455051
=++++⨯⨯⨯⨯L 11111122334
50511122514951
⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭
=L 【答案】49
51
7.（2019.10.12CJWGY ）计算：111112123122007+
+++++++++．【考点】分数裂项
【难度】★★★【解析】因为()1
21121211n n n n n ⎛⎫==⨯- ⎪++++⨯+⎝⎭
，所以原式11111112122334
20072008⎛⎫=⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭1212008⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭
100311004
=【答案】100311004
8.（2019.10.12CJWGY ）计算：1111111++++++648244880120168224⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
．【考点】分数裂项【难度】★★
【解析】原式1111111111111164244668810101212141416⎛⎫=-+-+-+-+-+-+-⨯ ⎪⎝⎭
1164216⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭
76416
=⨯28
=【答案】28
9.（2019.5.11CJWGY ）计算：222231813241719
+++⨯⨯⨯L 【解析】原式11111113241719
=++++++⨯⨯⨯L 111171324
1719⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭L 11111117123241719⎛⎫=+⨯-+-++- ⎪⎝⎭L 1111171221819⎛⎫=+
⨯+-- ⎪⎝⎭119
17171
=【答案】119
17171
10.（2019.10.20CJWGY ）
（1）36579111357612203042++++++（2）22222222
35715
12233478++++⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项【难度】★★★
【解析】（1）原式361111111111=572334455667
+++++++++++311611111111555772443366⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1111
=+++4
=（2）原式222222
221111111112233478=-+-+-++-221118
=-63
64=
【答案】（1）4（2）63
64
11.（2019.10.20CJWGY ）计算：11002993989921001
⨯+⨯+⨯++⨯+⨯L 【解析】原式(10011)(123100)3++⨯++++=L 1025050
3
⨯=171700
=【答案】171700
整体换元
12.（2019.10.12CJWGY+2019.3.15CJWGY ）计算：111111111111111123423452345234⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-++++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．【考点】换元法
【难度】★★【解析】令111234A =++，11112345
B =+++．原式()()1115A B B A B A B A A B B A =+⨯-+⨯=+⨯--⨯=-=
．【答案】1
5
整体约分
13.（2019.3.15CJWGY ）
199319921994
199319941
+⨯⨯-【解析】原式1994119921994199319941-+⨯=
⨯-199419931
199419931
1
⨯-=⨯-=【答案】1
14.（2019.9.16CJWGY ）72242489636321277
557755⎛⎫⎛⎫+÷+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】原式248248321233212775577
55⎛⎫⎛⎫=+⨯÷+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3=【答案】3
解分数方程
15.（2019.5.11CJWGY ）解方程531142
x x -+=+【解析】解：5342(1)
x x -=++53422
x x -=++3
x =【答案】3
16.（2019.10.20CJWGY ）211232
x x ++-=【考点】解一元一次方程
【解析】（1）解：21126632x x ++⎛⎫⎛⎫-⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
124233x x
--=+122334x x
--=+77
x =1
x =17.（2019.10.12CJWGY ）解方程：
21101211364x x x -++-=-．【考点】解一元一次方程
【难度】★★【解析】解：2151111333624
x x x ---=+-1111521436233
x x x ---=+-3124
x =1
6
x =【答案】1
6
应用题模块热点：
分比应用题
1.(2019.10.12CJWGY)运输连要将450枚弹药送到前线，其中炮弹占了59
，其余都是手榴弹．由于遇上敌军伏击，炮弹损失了25，而手榴弹只剩下38
，送到时还剩________枚弹药．【考点】分数应用题【难度】★★
【解析】被伏击后剩下的炮弹数占原来总数的5211953
⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，剩下的手榴弹数占原来总数的5311986⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，所以剩下1145022536⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭
枚弹药．【答案】225
2.(2019.5.11CJWGY)一次考试中，总人数的13又3人得了3分，总人数的14
又4人得了4分．总人数的15
又5人得了5分，其余人都得2分．已知得2分的人数和得5分的人数一样多，则有___________人得了4分．
【考点】分数应用题【难度】★★
【解析】首先，总人数得是[3,4,5]60=的倍数，假设是60x ，则1111605606036046055345x x x x x ⎛⎫⨯+=-⨯++⨯++⨯+ ⎪⎝⎭
，解得17x =，总人数为17601020⨯=，有1102042594
⨯+=人得了4分．【答案】259
3.(2019.9.16CJWGY)操场上有很多人，一部分站着，另一部分坐着，如果站着的人中有25%坐下，而坐着的人中有25%站起来，那么站着的人就占操场上人数的70%，求原来站着的人占操场上人数的百分之几？
【考点】设而不求【难度】★★★
【解析】解：设原本有x 人站着，有y 人坐着，则：
25%(125%)(170%)()x y x y ⨯+⨯-=-+，经过整理可得：9y x =，原来站着的人占操场上人数的
9990%910
x y x y y y ===++．【答案】90%
4.(2019.
5.11CJWGY)某工地用三种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为10:7:6，速度比为3:4:5．运送土方的路程之比为15:14:14，三种车的辆数之比为10:5:7．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入．直到10天后，另一半甲种车才投入工作，又干了15天才完成任务．求甲种车完成的工作量与总工作量之比．
【考点】比例应用题【难度】★★★
【解析】一半甲车工作10天，所有甲车再工作15天，相当于1101542255
⨯+=的甲车25天一直工作．相当于三种车辆比数是8:5:7，因此三车工量之比为：
1038745657::16:10:15151414
⨯⨯⨯⨯⨯⨯=．所以，甲车的工量与总工量之比为16:41．【答案】16:41
浓度问题
1.(2019.3.15CJWGY)2019年，某地开始实施农村义务教育学校营养计划—“蛋奶工程”．该地农村小学每份营养餐的标准是质量为300克，蛋白质含量为8%，包括一盒牛奶、一包饼干和一个鸡蛋．已知牛奶的蛋白质含量为5%，饼干的蛋白质含量为1
2.5%，鸡蛋的蛋白质含量为15%，一个鸡蛋的质量为60克．
（1）一个鸡蛋中含蛋白质的质量为多少克？
（2）每份营养餐中牛奶和饼干的质量分别为多少克？
【考点】浓度问题
【难度】★
【解析】（1）6015%9g ⨯=．（2）解：设牛奶质量为x 克，则饼干质量为30060240x x --=-克，根据最终蛋白质含量为8%列方程，5%12.5(240)93008%x x +-+=⨯，解得200x =，牛奶：200克，饼干：40克．
【答案】（1）9（2）20040
2.(2019.5.11CJWGY)两个相同的玻璃杯，都装满了糖水，糖与水的质量比分别是1:7和1:9．现将这两杯糖水混合，混合后糖水的含糖率是___________%．
【考点】浓度问题【难度】★【解析】含糖率为：112100%11.25%810⎛⎫+÷⨯= ⎪⎝⎭
．【答案】11.25
3.(2019.5.11CJWGY)有甲、乙、丙三瓶溶液，甲比乙浓度高6%，乙的浓度则是丙的4倍．如果把乙溶液倒入甲中，就会使甲溶液的浓度比原来下降2.4%；如果把丙溶液倒入乙溶液中，就会使乙溶液的浓度比原来下降2.25%；如果把甲、丙两瓶溶液混合，则混合液的浓度正好等于乙溶液的浓度．请问：甲、乙、丙三瓶溶液的质量比是多少？它们的浓度分别是多少？
【考点】浓度问题【难度】★★★
【解析】设丙的浓度是%x ，则乙的浓度为4%x ，甲的浓度为(46)%x +．
依题意，甲、乙混合后甲的浓度下降2.4%，乙的浓度上升6% 2.4% 3.6%-=，
所以甲、乙的重量比为3.6%:2.4%3:2=；
甲、丙混合后甲的浓度下降6%，丙的浓度上升3%x ，所以甲、丙的重量比为3:6x ；故三瓶溶液的重量比为3:2:6x x ．
列出乙、丙混合的十字交叉：
则：23 2.256 2.25
x x -=，解得1x =．所以，重量比为3:2:6，浓度分别为：甲10%，乙4%，丙1%．
【答案】3:2:6，甲10%，乙4%，丙1%．
4.（CJWGY2019.3.15）甲容器中有浓度为20%的盐水400克，乙容器中有浓度为10%的
盐水600克，分别从甲和乙中取相同重量的盐水，把从甲容器中取出的盐水倒入乙容器，把乙容器中取出的盐水倒入甲容器，现在甲、乙容器中盐水浓度相同，则甲、乙容器中各取出多少克盐水倒入另一个容器？
【考点】浓度问题【难度】★★
【解析】等量交换后浓度相同，不妨最开始先混合然后甲容器分400克，乙容器分600克，甲乙两种盐水的配比为400:600=2:3，从甲中取出340024023
g ⨯
=+．【答案】240经济问题
1.(2019.10.12CJWGY)小明到商店买红、黑两种笔共66支，红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元．由于买的数量较多，商店给予优惠，红笔按定价的85%付钱，黑笔按定价的80%付钱，如果他付的钱比按定价少付了18%，那么他买了红笔多少支?
【考点】列方程解应用题【难度】★★
【解析】设买了x 支红笔，则黑笔的数量为()66x -支，由题意可得：
()()()585%96680%5966118%x x x x ⨯+⨯-⨯=+⨯-⨯-⎡⎤⎣⎦，解得36x =．
所以他买了36支红笔．
【答案】36
2.(2019.
3.15CJWGY)甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
【考点】经济问题【难度】★
【解析】解：设甲服装的成本是x 元，则乙服装的成本是(500)x -元，根据最终售价-
成本=利润列方程，[](150%)(500)(140%)0.9500157x x ++-+⨯-=，解得300x =，即甲服装成本为300元，乙服装成本为200元．
【答案】300200
3.(2019.5.11CJWGY)某岛国的一家银行每天9:00~17:00营业，正常情况下，每天9:00准备现金50万元，假设每小时的提款量都一样，每小时的存款量也都一样，到17:00下班时有现金60万元，如果每小时提款量是正常情况的4倍，而存款量不变的话，14:00银行就没有现金了．如果每小时提款量是正常情况的10倍，而存款量减少到正常情况一半的话，要使17:00下班时银行还有现金50万元，那么9:00开始营业时需要准备现金___________万元．
【考点】经济问题【难度】★★★
【解析】正常情况：8小时存款比提款多10万，每小时存款量比提款量多108 1.25÷=万．情况1：设正常情况每小时存款x 万，每小时提款( 1.25)x -万，
55054( 1.25)x x +=⨯-，解得5x =，即正常情况下每小时存款5万，提款3.75万．情况2：提款速度：3.751037.5⨯=万，存款速度52 2.5÷=万，需要准备(37.5 2.5)850330-⨯+=万．
【答案】330
4.(2019.10.20CJWGY)体育用品商店以每个40元的价格购进一批足球，以每个50元的价格卖出．当卖掉这批足球的90%时，不仅收回了成本，还获利800元．这批足球一共有多少个?
【考点】利润问题【难度】★★
【解析】设这批足球一共有x 个，根据题意可列方程：5090%40800x x ⨯-=，解得160x =，
所以有160个足球．
【答案】160
牛吃草
1.(2019.5.11CJWGY)第一、二、三号牧场的面积依次为3公顷、5公顷、7公顷，三个牧
场上的草长得一样密，且生长得一样快．有两群牛，第一群牛2天将一号牧场的草吃完，又用5天将二号牧场的草吃完．在这7天里，第2群牛刚好将三号牧场的草吃完．如果第一群牛有15头，那么第二群牛有多少头？
【考点】比例应用题【难度】★★★
【解析】设1头牛1天吃1份草，第一片牧场3公顷草地可供15头牛吃2天，因此1公顷的草地可供5头牛吃2天，那么5公顷的草地可供25头牛吃2天，共吃了25250⨯=份，这50份中包括原有的草和2天生长的草．
另一方面，由题目条件，第二片牧场5公顷草地生长2天后可供15头牛吃5天，共吃了15575⨯=份，这75份中包括原有的草和7天生长的草．
因此，5公顷草地上草的生长速度为每天(7550)(72)5-÷-=份，5公顷草地上原有草总量为505240-⨯=份．
于是第三片牧场上草的生长速度为每天5577÷⨯=份，原有草总量为405756÷⨯=份．那么要7天把第三片草地吃完，共需要吃5677105+⨯=份草．
因此第二群牛共有105715÷=头．
【答案】15
2.(2019.10.20CJWGY)一个装满了水的水池有一个进水管和三个口径相同的出水管，如果同时打开进水管和一个出水管，则30分钟能把水池的水排完；如果同时打开进水管和两个出水管，则10分钟能把水池的水排完．关闭进水管并且同时打开三个出水管，需要多少分钟才能排完水池的水?
【考点】进水排水问题【难度】★★
【解析】假设每个出水管每分钟排1份水．一个出水管30分钟排13030⨯=份水，包括原来的水和30分钟内进的新水；两个出水管10分钟排21020⨯=份水，包括原来的水和10分钟内进的新水，所以进水速度为()()302030100.5-÷-=（份/分钟），原来有300.53015-⨯=份水，关闭进水管打开三个出水管需要1535÷=（分钟）．
【答案】5分钟
3.(2019.10.12CJWGY)一个蓄水池有一根进水管和若干根排水管，蓄水池已满，且还在以固定的速度注水．已知开6根排水管，30小时可以排空；开9根排水管，12小时可以排空．若开8根排水管，多少小时可以排空?
【考点】进水排水问题【难度】★★
【解析】设一根排水管一小时可排1份水．6根排水管30小时一共排了6301180⨯⨯=份水，包括原来的水和30小时进入的新水；9根排水管12小时一共排了9121108⨯⨯=份水，包括原来的水和12小时进入的新水，所以进水速度为()()180********-÷-=份/小时，原来有18043060-⨯=份水．8根排水管需要()608415÷-=小时．
【答案】15小时
几何模块热点：
巧求梯形面积
1.(2019.10.20CJWGY)如图，在直角梯形ABCD 中，三角形ABE 和三角形CDE 都是等腰直角三角形，且20BC =厘米，那么直角梯形ABCD 的面积是多少?
【考点】梯形面积【难度】★★
【解析】因为三角形ABE 和三角形CDE 都是等腰直角三角形，所以AB BE =，CD CE =．梯形的面积()()2222AB CD BC BE CE BC BC =+⨯÷=+⨯÷=÷2202=÷200=（平方厘米）
【答案】200平方厘米
2.(2019.
3.15CJWGY+2019.10.20CJWGY)如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为：10平方厘米和12平方厘米，已知梯形上、下底之比是2:3，那么阴影部分的面积是_________平方厘米．
【考点】三角形与梯形面积【难度】★★★
【解析】已知上、下底之比是2:3，上底和下底可分别看作2厘米和3厘米，三角形的高分别为102210⨯÷=厘米、12238⨯÷=厘米，那么梯形的面积为()()23108245+⨯+÷=平方厘米，所以阴影部分的面积为45101223--=平方厘米．
【答案】23
3.(2019.10.12CJWGY)梯形的上底为5，下底为10，两腰分别为3和4，那么梯形的面积是________．
【考点】巧求梯形面积【难度】★★
【解析】作BC 边中点E ，连接DE ，将梯形分成了一个平行四边形和直角三角形，3426ADE S =⨯÷=△，平行四边形面积是三角形面积的2倍，整个梯形的面积是三角形
面积的3倍，所以梯形的面积为6318⨯=．
【答案】18
圆与扇形
1.(2019.3.15CJWGY)如图所示，AB 是半圆的直径，0是圆心，»»»AC CD
DB ==，M 是CD 的中点，H 是弦CD 的中点，若N 是OB 上的一点，半圆面积等于12平方厘米，则圆中阴影部分的面积是多少？
【考点】圆与扇形【难度】★
【解析】将三角形CHN 等积变形到CHO ，则阴影部分变成扇形CMO ，21112232
cm ⨯⨯=．【答案】2
2.(2019.10.20CJWGY)求阴影部分的面积（π为
3.14）
【考点】三角形和圆的面积【难度】★★
【解析】直角三角形斜边长为68 4.810⨯÷=，那么半圆的半径为1025÷=，所以阴影部分的面积是2113.1456815.2522
⨯⨯
-⨯⨯=．【答案】15.253.(2019.9.16CJWGY)如图，一头羊被7米长的绳子拴在正五边形建筑物的一个顶点上，
建筑物边长3米，周围是草地，这头羊能吃到草的草地面积可达多少平方米？（π取3）
【考点】旋转与轨迹【难度】★★
【解析】正五边形每个内角度数为180(52)5108⨯-÷=度，
360108252-=度，18010872-=度．如图所示，草地面积为：
222225272727+421241.1123.3360360360
m ππππ⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==．圆柱与圆锥
1.(2019.3.15CJWGY)某种品牌的牙膏出口处直径为5毫米，小红每次刷牙都挤出1厘米长的牙膏．这样，一支牙膏可用36次，该品牌牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为6毫米，小红还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏．这样，这一支牙膏能用多少次？
【考点】立体几何【难度】★【解析】2
2510362256102ππ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭次．【答案】25
2.(2019.9.16CJWGY)一个底面直径是20厘米的圆柱形木桶中装着水，水中放着一个底面直径是18厘米、高是20厘米的铁质圆锥体，当圆锥体从桶中取出后，桶中的水将下降多少厘米？
【考点】等体积转化【难度】★【解析】下降水的体积即为原本圆锥体的体积，221182032 5.4202cm ππ⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭
=⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭．
【答案】5.4
3.(2019.5.11CJWGY)有一个圆柱体，高是底面半径的3倍，将它如图分成大、小两个柱体，如果大圆柱体的表面积是小圆柱体的表面积的3倍，那么大圆柱体的体积是小圆柱体的体积的___________
倍．
【考点】圆柱与圆锥【难度】★★
【解析】底面半径为r ，整个圆柱体的高为3r ，假设大圆柱体的高为h ，
则大圆柱体的表面积：222r rh ππ+，小圆柱体的表面积：()2223r r r h ππ+-，根据表面积的3倍关系，得到4r h =．大圆柱体的高是小圆柱体的高的11倍，体积也是11倍．
【答案】11
燕尾模型+鸟头模型
1.(2019.5.11CJWGY)如右图，三角形ABC 中，:::4:3AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是74，求三角形GHI 的面积．
【考点】燕尾模型【难度】★★★
【解析】三角形AGC 、三角形AHB 、三角形BIC 的面积相
等，单独看三角形ACG ，在三角形ABC 中是个燕尾，设三
角形ACG 为12份，则三角形AGB 为16份，三角形BGC
为9份，1份：74(12169)2÷++=，三角形AGC 为24，则
三角形GHI 的面积是742432-⨯=．
【答案】2
2.(2019.10.12CJWGY)已知DEF △的面积为7平方厘米，BE CE =,2AD BD =,3CF AF =，求ABC △的面积．
【考点】鸟头模型
【难度】★★【解析】由题意知，12BE BC =，13BD AB =，111236BDE ABC ABC S S S =⨯⨯=△△△；23AD AB =，14AF AC =，211346ADF ABC ABC S S S =⨯⨯=△△△；12CE CB =，
34CF AC =，133248CEF ABC ABC S S S =⨯⨯=△△△．所以
1137124668ABC S ⎛⎫=÷---= ⎪⎝⎭
△．【答案】24
3.(2019.10.12CJWGY)如下面图1那样，在用塑料
制的三棱柱形的筒里装着水，这个筒的展开图如下面
图
2．图1图2
现在，如图1那样，把这个筒的A 面作为底面，放在水平的桌面上，水面高度2cm ．按上面讲的条件回答下列问题：
（1）把B 面作为底面，放在水平的桌面上，水面高多少厘米?
（2）把C 面（直角三角形的面）作为底面，放在水平的桌面上，水面高又是多少厘米?
【考点】几何问题综合应用【难度】★★★
【解析】222534=+，根据“勾股定理”，三棱柱的底面是直角三角形，当A 面作为底面时，侧面图如下：
D 是AB 的中点，因为水面D
E 平行于底面BC ，所以
E 也是AC 的中点，根据“鸟头模型”，梯形BCED 的面积是
三角形ABC 面积的1131224
-⨯=．因为水的体积不变，所以侧面阴影的梯形的面积也不会变．
（1）当B 面作为底面时，侧面图如下：
因为阴影部分面积不变，所以三角形FIJ 的面积也不变，还是占三角形FGH 面积的14，又因为FI 和FJ 占比相同，所以FI 占了FG 的一半，水高32 1.5÷=厘米．
（2）当C 面作为底面时，侧面图如下：
因为三角形KNO 面积不变，所以N O 、依然是两个中点，此时水高3452 1.2⨯÷÷=厘米．
【答案】（1）1.5厘米（2）1.2厘米
数论模块热点：
余数的性质应用
1.(2019.9.16CJWGY)计算1133555779⨯，三个同学给出三个不同的答案分别为632254965、632244965、632234965其中有一个是正确的，则正确的是___________．
【考点】弃九判断法【难度】★★
【解析】11335除以9的余数是4，55779除以9的余数是6，根据余数的可乘性，乘积除以9的余数应是6．三位同学给出的答案除以9的余数分别是6、5、4，显然正确的是632254965．
【答案】632254965
2.(2019.9.16CJWGY)20032与22003的和除以7的余数是___________．
【考点】余数的性质【难度】★★
【解析】1272÷L ，2274÷L ，3271÷L ，3个数1个周期，200332÷L ，所以20032除以7的余数和22除以7的余数相等，都是4．200371÷L ，所以2200371÷L ．两个数的和除以7的余数是5．
【答案】5
特殊质数
1.(2019.9.16CJWGY)一个自然数可以分解为三个质因数的积，如果三个质因数的平方和是7950，这个自然数是___________．
【考点】特殊质数+完全平方数【难度】★★★
【解析】奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，三个质因数的和为偶数，要么是两奇一偶，或者三偶．质因数除了2之外，其余都是奇数，只能两奇一偶，且必定有2，2的平方是4．另外两个质数的平方末尾必定是1和5，质数中只有5的平方个位是5，则27950425792189--==，这个自然数是8925890⨯⨯=．
【答案】890
2.(2019.10.12CJWGY)三个不同的质数平方之和是9438，这三个质数之和是________．
【考点】特殊质数【难度】★★★
【解析】三个和相加得到一个偶数，可能是三个偶数或两奇一偶，质数中只有2一个偶数，所以三个数中一定有一个2，另外两个数平方的和为222943829434597-==+，所以这三个质数的和是2597104++=．
【答案】104
位值原理
1.(2019.10.12CJWGY)有一个三位数，把它的个位数字移到百位上，百位和十位上的数码相应后移一位成了一个新的三位数，原来三位数的两倍比新的三位数大1，那么原来的三位数是多少?
【考点】位值原理【难度】★★★【解析】设这个三位数是abc ，则新的三位数是cab ．
根据题意可得：()100102100101a b c c a b ++⨯=+++，整理得()1910981a b c ⨯+=+，981c +是19的倍数，根据余数的性质，3119c +=，所以6c =，1031a b +=，那么3a =，1b =，故原来的三位数是316．
【答案】316
2.(2019.10.20CJWGY)有一个整数，在它的个位与十位之间加上一个小数点后，得到一个小数，这个小数与原来的整数之差是264.6，则原来的整数是________．
【考点】位值原理【难度】★★【解析】个位和十位之间加上小数点，相当于把原来的整数缩小到
110，减小了910，所
以原数是9264.629410
÷
=．【答案】2943.(2019.3.15CJWGY)把若干个连续自然数乘在一起：101102103⨯⨯⨯L ，已知这个连乘积的最末16位数字恰好都是0，那么最后出现的自然数最小是___________，最大是___________．
【考点】末尾零个数【难度】★★
【解析】123100⨯⨯⨯⨯L 的末尾有10010024525⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
个零，意味着123n ⨯⨯⨯⨯L 的末尾有241640+=个零，乘4去估算，404160⨯=，16016016039525125⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，乘到160末尾有39个0，现在要想要40个零，自然数最小是165，最大是169．
【答案】165169
行程模块热点：
时钟问题
1.(2019.3.15CJWGY)当时钟所指时间是九点十八分时，时钟的时针与分针所成的夹角是___________度．
【考点】时钟问题【难度】★
【解析】时针：930180.5279⨯+⨯=°；分针：0186108+⨯=°，夹角：279108171-=°．
【答案】171
2.(2019.10.12CJWGY)在早晨6点到7点之间有一时刻，钟面上的“6”字恰好在时针与分针的正中央．请问：这一时刻是6点________分．
【考点】时钟问题【难度】★★
【解析】设该时刻为6点x 分，时针和分针与“6”所在的直线形成的夹角相等，可得：0.51806x x =-，解得927
13
x =．【答案】9
2713二次相遇
1.(2019.10.20CJWGY)甲、乙二人分别从A B 、两地同时相向而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，二人相遇后继续行进，甲到B 地、乙到A 地后立即返回．已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A B 、两地相距多少千米?
【考点】多次相遇【难度】★★★
【解析】甲、乙的速度比是3:2，相同时间内甲、乙走过的路程比也是3:2，一个全程可看作5份．第一次相遇甲乙合走了1个全程，甲走了3份，距离A 地3份路程；第二次相遇两人合走2213⨯-=个全程，甲共走了339⨯=份，951
4÷=（份），距离A
地541-=（份），所以A B 、相距()2031550÷-⨯=（千米）．
2.(2019.
3.15CJWGY)甲、乙两车同时从A 、B 两地相向而行，在距A 地60千米处第一次相遇．各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距A 地40千米处相遇．A 、B 两地相距多少千米？
【考点】多次相遇【难度】★★
【解析】第一次相遇，合走一个全程，甲走60千米；
第二次相遇，合走两个全程，甲走120千米；
A 、
B 两地相距：()60120402110km ++÷=．
【答案】110变速+比例行程
1.(2019.5.11CJWGY)在一个490米长的圆形跑道上，甲、乙两人从相距50米的A 、B 两地，相背出发．相遇后，乙返回，甲反向不变，继续前进，甲的速度提高五分之一，乙的速度提高四分之一．当乙回到B 地时，甲刚好回到A 地，此时他们都按现有速度与方向前进．请问：当甲再次追上乙时，甲一共走了多少米？
【考点】比例行程【难度】★★★
【解析】5:1:4:54V V '==乙乙，:5:4t t '=，6:1:5:65
V V '==甲甲，:25:24S S '=甲甲，=490(2524)25250S m ÷+⨯=甲，=49050250190S m --=乙，
:250:19025:19V V ==甲乙，65:25:1924:1954V V ⎛⎫⎛⎫''=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭甲乙，甲再次追上乙需要多走440米，需跑440(2419)242112m ÷-⨯=．
【答案】2112
2.(2019.5.11CJWGY)如图，C 、D 为AB 的三等分点，8点整时甲从A 出发匀速向B 行走，8点12分乙从B 出发匀速向A 行走．再过几分钟后丙也从B 出发匀速向A 行走；甲、乙在C 点相遇时丙恰好走到D 点．甲、丙8:30相遇时乙恰好到A ．那么丙出发时是8点___________分．
【考点】比例行程【难度】★★★
【解析】乙从B 到A 共用了301218-=分钟，每段用时6分，甲乙在C 点相遇时是8:24．在24分钟内，甲从A 到C ，每段用时24分，甲乙两人的速度比为甲：乙=1:4；
甲、丙在C 、D 相向而行直到相遇，此时乙从C 到A 走了6分钟，甲、丙也走6分钟，
甲走24分钟的路程，甲丙两人只需要合走6分钟，甲丙两人的速度比为甲：丙=1:3；乙丙两人的速度比为乙：丙=4:3，乙从B 到C 用时12分钟，丙从B 到D 用时8分钟，说明丙比乙晚出发4分钟，即丙出发时是8点16分．
【答案】16
3.（2018.12.15ZY ）一辆小轿车，一辆货车两车分别从A 、B 两地出发，相向而行。

出发时，小轿车，货车的速度比是4:5相遇后，小轿车的速度减少了20%，货车的速度增加20%，这样，当小轿车到达B 地时，货车距离A 地还有10千米，那么A 、B 两地相距多少千米？
【解析】相遇时小轿车与货车的路程比为5:4，将全程看作是9份，相遇后小轿车与货车的速度比为()()5120%:4120%4:4.85:6⨯-⨯+==，此时小轿车走4份，货车走64 4.85
⨯
=份，货车共走了4+4.8=8.8份，所以A 、B 相距10÷（9-8.8）×9=450千米
【答案】4504.（2014.12.28双语）宝强开车从A 城市到B 城市，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了
19，结果提前1.5小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高16，于是提前1小时40分钟到达A 城市。

求A 、B 两座城市之间的路程是多少千米？【解析】从开始出发，车速即比原计划的速度提高了19，即车速为原计划的109
，则所用时间为原计划的
109，即比原计划少用了110的时间，所以一个半小时等于原计划的110，原计划时间为11.51510÷
=小时；按原计划的速度行驶280千米之后，将车速提高16，即车速为原来的76，则此后所用的时间为原计划的67，即此后比原计划少用17
的时间，所以1小时40分钟等于原计划的速度行驶280千米后余下时间的
17，则按原计划的速度行驶280千米后余下的时间为：5135=373
÷小时，所以，原计划的速度为84千米/时，A 、B 两市间的路程为：84151260⨯=千米。

【答案】1260
5.（CP 2018）A 、B 、C 三辆汽车以相同的速度同时从甲市场开往乙市场．开车后1小时A 车出了事故，B 和C 两车照常前进，A 车停了半小时后以原速度的45
继续前进．B 、C 两车行至距离甲市200千米处B 车出事故，C 车照常前进．B 车停了半小时后也以原速度的
45继续前进．结果到达乙市的时间C 车比B 车早1小时，B 车比A 车早1小时，甲、乙两市的距离为多少千米？
【解析】
如图，从丁到乙的过程中，C 比B 少用1小时，又因为B 车停了半小时，实际行驶时间C 车比B 车少用0.5小时，路程相等，时间比::4:5C B B C t t v v ==，1份0.5小时，从丁到乙C 用2小时；从丙到乙的过程中，实际行驶时间C 比A 少用1.5小时，路程相等，时间比::4:5C A A C t t v v '==，1份1.5小时，从丙到乙C 用6小时．C 用1625+-=小时，从甲到丁走了200千米，整个甲乙全程：2005(16)280÷⨯+=千米
【答案】280。