中南大学土力学课后习题答案_马建林_第三版

第一章土的物理性质
1-2
根据图1－5上四根粒径分布曲线，列表写出各土的各级粒组含量，估算②、③、
④、土的Cu 及Cc 并评价其级配情况。

1-8有一块体积为60cm 3的原状土样，重1.05N,烘干后0.85N 。

已只土粒比重（相
对密度）s G =2.67。

求土的天然重度γ、天然含水量w 、干重度γd 、饱和重度γsat 、浮重度γ’、孔隙比e 及饱和度S r
1-8
解：分析：由W 和V 可算得γ，由W s 和V 可算得γd ，加上G s ，共已知3个指标，
故题目可解。

3
6
3kN/m 5.1710601005.1=⨯⨯==--V W γ3
6
3s d kN/m
2.1410601085.0=⨯⨯==--V W γ3
w s w
s kN/m 7.261067.2=⨯===
∴γγγγs s
G G %5.2385
.085
.005.1s w =-==
W W w 884
.015
.17)235.01(7.261)1(s =-+=-+=γγw e (1-12)%
71884
.06.2235.0s =⨯=⋅=e G w S r (1-14)
注意：1．使用国际单位制；
2．γw 为已知条件，γw =10kN/m 3；3．注意求解顺序，条件具备这先做；4．注意各γ的取值范围。

1-9根据式（1—12）的推导方法用土的单元三相简图证明式（1－14）、（1－15）、（1－17）。

1-10
某工地在填土施工中所用土料的含水量为5%，为便于夯实需在土料中加水，
使其含水量增至15%，试问每1000kg 质量的土料应加多少水
1-10解：分析：加水前后M s 不变。

于是：
加水前：1000%5s s =⨯+M M （1）加水后：
w
s s 1000%15M M M ∆+=⨯+（2）
由（1）得：kg 952s =M ，代入（2）得：kg 2.95w =∆M 注意：土料中包含了水和土颗粒，共为1000kg ，另外，s
w
M M w =。

1－11
用某种土筑堤，土的含水量w ＝15％，土粒比重G s ＝2.67。

分层夯实，每层
先填0.5m ，其重度等γ＝16kN/m 3，夯实达到饱和度r S ＝85%后再填下一层，如夯实时
水没有流失，求每层夯实后的厚度。

1-11
解：分析：压实前后W s 、V s 、w 不变，如设每层填土的土颗粒所占的高度为
h s ，则压实前后h s 不变，于是有：
2
2
11s 11e h
e h h +=+=
（1）
由题给关系，求出：
919
.0116
)15.01(1067.21)1(s 1=-+⨯⨯=-+=γγw e 471
.085.015.067.2s 2=⨯==r S w G e 代入（1）式，得：m
383.05.0919.01471
.011)1(1122=⨯++=++=e h e h 1-12某饱和土样重0.40N ，体积为21.5cm 3，将其烘过一段时间后重为0.33N ，体积缩至15.7cm 3，饱和度r S ＝75%，试求土样在烘烤前和烘烤的含水量及孔隙比和干重度。

1-13
设有悬液1000cm 3，其中含土样0.5cm 3，测得土粒重度s γ＝27kN/m 3。

当悬
液搅拌均匀，停放2min 后，在液面下20处测得悬液比重G L ＝1.003，并测得水的黏滞系数η＝1.14×10－
3，试求相应于级配曲线上该点的数据。

1-14某砂土的重度s γ＝17kN/m 3，含水量w ＝8.6%，土粒重度s γ＝26.5kN/m 3。

其最大孔隙比和最小孔隙比分别为0.842和0.562求该沙土的孔隙比e 及相对密实度Dr ，并按规范定其密实度。

1
1-14已知：s γ=17kN/m 3，w =8.6%，γs =26.5kN/m 3，故有：
693.0117
)
086.01(5.261)1(s =-+⨯=-+=
γγw e 又由给出的最大最小孔隙比求得D r =0.532，所以由桥规确定该砂土为中密。

1－15
试证明。

试中max d γ、d γ、min d γ分别相应于e max 、e 、e min 的干容重
证：关键是e 和γd 之间的对应关系：
由111dmax
s min dmin s max d s -=-=-=γγ
γγγγe e e 和，可以得到，需要注意的是公式中的e max
和γdmin 是对应的，而e min 和γdmax 是对应的。

第二章土的渗透性及水的渗流
2-3如图2－16所示，在恒定的总水头差之下水自下而上透过两个土样，从土样1顶面溢出。

（1）已土样2底面c－c为基准面，求该面的总水头和静水头;
（2）已知水流经土样2的水头损失为总水头差的30%，求b－b面的总水头和静水头；
（3）已知土样2的渗透系数为0.05cm/s，求单位时间内土样横截面单位面积的流量；
(4)求土样1的渗透系数。

图2－16习题2－3图（单位：cm）
2-3如图2-16，本题为定水头实验，水自下而上流过两个土样，相关几何参数列于图中。

解：（1）以c-c为基准面，则有：z c=0，h wc=90cm，h c=90cm
（2）已知∆h bc=30%⨯∆h ac，而∆h ac由图2-16知，为30cm，所以：
∆h bc=30%⨯∆h ac=0.3⨯30=9cm
∴h b=h c-∆h bc=90-9=81cm
又∵z b=30cm，故h wb=h b-z b=81-30=51cm
（3）已知k2=0.05cm/s，q/A=k2i2=k2⨯∆h bc/L2=0.05⨯9/30=0.015cm3/s/cm2=0.015cm/s （4）∵i1=∆h ab/L1=（∆h ac-∆h bc）/L1=（30-9）/30=0.7，而且由连续性条件，q/A=k1i1=k2i2∴k1=k2i2/i1=0.015/0.7=0.021cm/s
2-4在习题2－3中，已知土样1和2的孔隙比分别为0.7和0.55，求水在土样中的平均渗流速度和在两个土样孔隙中的渗流速度。

2-5如图2－17所示，在5.0m厚的黏土层下有一砂土层厚6.0m，其下为基岩（不
透水）。

为测定该沙土的渗透系数，打一钻孔到基岩顶面并以10-2m 3/s 的速率从孔中抽水。

在距抽水孔15m 和30m 处各打一观测孔穿过黏土层进入砂土层，测得孔内稳定水位分别在地面以下3.0m 和2.5m ，试求该砂土的渗透系数。

不透水层
图2－17
习题2－5图（单位：m ）
2-5
分析：如图2-17，砂土为透水土层，厚6m ，上覆粘土为不透水土层，厚5m ，
因为粘土层不透水，所以任意位置处的过水断面的高度均为砂土层的厚度，即6m 。

题目又给出了r 1=15m ，r 2=30m ，h 1=8m ，h 2=8.5m 。

解：由达西定律（2-6），dr
dh r k dr dh r k kAi q ππ126
2=⋅⋅==，可改写为：)(12ln ,12121
2h h k r r q dh k r dr
q -=⋅=ππ积分后得到：带入已知条件，得到：
cm/s
103.68m/s 1068.31530
ln )85.8(1201.0ln )(123
-41212⨯=⨯=-=-=-ππr r h h q k 本题的要点在于对过水断面的理解。

另外，还有个别同学将ln 当作了lg 。

2-6
如图2－18，其中土层渗透系数为5.0×10－2m 3/s ，其下为不透水层。

在该土层
内打一半径为0.12m 的钻孔至不透水层，并从孔内抽水。

已知抽水前地下水位在不透水层以上10.0m ，测得抽水后孔内水位降低了2.0m ，抽水的影响半径为70.0m ，试问：（1）单位时间的抽水量是多少？
（2）若抽水孔水位仍降低2.0，但要求扩大影响，半径应加大还是减小抽水速率？
不透水层
图2－18
习题2－6图（单位：m ）
2-6
分析：本题只给出了一个抽水孔，但给出了影响半径和水位的降低幅度，所以
仍然可以求解。

另外，由于地下水位就在透水土层内，所以可以直接应用公式（2-18）。

解：（1）改写公式（2-18），得到：
s
/m 1088.8)
12.0/70ln()810(105)/ln()(3322412212
2--⨯=-⨯=-=ππr r h h k q （2）由上式看出，当k 、r 1、h 1、h 2均为定值时，q 与r 2成负相关，所以欲扩大影响半径，应该降低抽水速率。

注意：本题中，影响半径相当于r 2，井孔的半径相当于r 1。

2-7
在图2－19的装置中，土样的孔隙比为0.7，颗粒比重为2.65，求渗流的水力
梯度达临界值时的总水头差和渗透力。

图2－19
习题2－7图（单位：cm ）
2-8
在图2－16中，水在两个土样内渗流的水头损失与习题2－3相同，土样的孔
隙比见习题2－4，又知土样1和2的颗粒比重（相对密度）分别为2.7和2.65，如果增大总水头差，问当其增至多大时哪个土样的水力梯度首先达到临界值？此时作用于两个土样的渗透力个为多少？
2-9
试验装置如图2－20所示，土样横截面积为30cm 2,测得10min 内透过土样渗入
其下容器的水重0.018N ，求土样的渗透系数及其所受的渗透力。

图2－20
习题2－9图（单位：cm ）
2-9分析：本题可看成为定水头渗透试验，关键是确定水头损失。

解：以土样下表面为基准面，则上表面的总水头为：
cm
1008020=+=上h 下表面直接与空气接触，故压力水头为零，又因势水头也为零，故总水头为：
cm 000=+=下h 所以渗流流经土样产生的水头损失为100cm ，由此得水力梯度为：
5
20
100==∆=L h i 渗流速度为：cm/s 101m/s 10110
3060101010018.04
-64
3⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==---tA W v w w γcm/s
1025
10154
--⨯=⨯==∴i v k 30N
kN 03.02.0103050kN/m
505104==⨯⨯⨯===⨯==-jV J i j w γ注意：1．∆h 的计算；2．单位的换算与统一。

2-10
某场地土层如图2－21所示，其中黏性土的的饱和容重为20.0kN/m 3；砂土
层含承压水，其水头高出该层顶面7.5m 。

今在黏性土层内挖一深6.0m 的基坑，为使坑底土不致因渗流而破坏，问坑内的水深h 不得小于多少？
不透水层
砂土
图2－21习题2－10图（单位：m ）
第三章土中应力和地基应力分布
3-1
取一均匀土样，置于x 、y 、z 直角坐标中，在外力作用下测得应力为：x σ＝
10kPa ，y σ＝10kPa ，z σ＝40kPa ，xy τ＝12kPa 。

试求算：①最大主应力，最小主应力，以及最大剪应力τmax ？②求最大主应力作用面与x 轴的夹角θ?③根据1σ和3σ绘出相应的摩尔应力圆，并在圆上标出大小主应力及最大剪应力作用面的相对位置？
3-1分析：因为0==yz xz ττ，所以z σ为主应力。

解：由公式（3-3），在xoy 平面内，有：
kPa
2
2212101221010()1010(5.02()(215
.0222
/12231-=
±=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+-±+⨯=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-±+='xy y x y x τσσσσσσ比较知，kPa 2kPa 22kPa 403121-=='===σσσσσz ，于是：
应力圆的半径：kPa 21))2(40(5.0)(2
1
31=--⨯=-=
σσR 圆心坐标为：
kPa 19))2(40(5.0)(2
1
31=-+⨯=+σσ由此可以画出应力圆并表示出各面之间的夹角。

易知大主应力面与x 轴的夹角为90︒。

注意，因为x 轴不是主应力轴，故除大主应力面的方位可直接判断外，其余各面的方位须经计算确定。

有同学还按材料力学的正负号规定进行计算。

3-2
抽取一饱和黏土样，置于密封压力室中，不排水施加围压30kPa （相当于球形
压力），并测得孔隙压为30kPa ，另在土样的垂直中心轴线上施加轴压Δ1σ＝70kPa （相当于土样受到∆1σ—∆3σ压力），同时测得孔隙压为60kPa ，求算孔隙压力系数A 和B ？3-3砂样置于一容器中的铜丝网上，砂样厚25cm ，由容器底导出一水压管，使管中水面高出容器溢水面。

若砂样孔隙比e ＝0.7，颗粒重度s γ＝26.5kN/m 3，如图3－42所示。

求：
（1）当h ＝10cm 时，砂样中切面a －a 上的有效应力？
（2）若作用在铜丝网上的有效压力为0.5kPa ，则水头差h 值应为多少？
图3－42
习题3－3图
3-3解：（1）当cm 10=h 时，4.02510
==∆=
L h i ，3w s kN/m 70.97
.01105.26e 1=+-=+-='γγγkPa
57.0)4.0107.9(1.0)(w 2a =⨯-⨯=-'='
i h γγσ（2）
cm
25.19m 1925.025.077.077.077.010
25
.0/5.07.9kPa 5.0)107.9(25.0)(w 2b
==⨯=⨯=∆⇒=-=∆=⇒=⨯-⨯=-'='L h L h i i i h γγσ3-4根据图4－43所示的地质剖面图，请绘A —A 截面以上土层的有效自重压力分
布曲线。

图3－43习题3－4图
3-4解：图3-43中粉砂层的γ应为γs 。

两层土，编号取为1，2。

先计算需要的参数：
3
1
1s111kN/m 3.1682
.01)12.01(5.261)1(82.045
.0145
.01=++⨯=++==-=-=e w n
n e γγ3
2w 2s2sat 2kN/m 9.197
.0110
7.08.261=+⨯+=++=
e e γγγ地面：0
,
0,
01z 1z1===q u σ第一层底：kPa
9.48,
0,kPa 9.4833.161z 111z1===⨯==下下下q u h γσ第二层顶（毛细水面）：
kPa
9.5810)(9.48,
kPa 10110,
kPa 9.482z w 2z1z2=--=-=⨯-=-===上上下上q h u γσσ自然水面处：kPa
8.68,
0,kPa 8.6819.199.482z 2z2===⨯+=中中中q u σA-A 截面处：
kPa
5.98305.128,
kPa 30310,
kPa 5.12839.198.682z w 2z2=-==⨯===⨯+=下下下q h u γσ据此可以画出分布图形。

注意：1．毛细饱和面的水压力为负值（h w γ-），自然水面处的水压力为零；
2．总应力分布曲线是连续的，而孔隙水压力和自重有效压力的分布不一定。

3．只须计算特征点处的应力，中间为线性分布。

3-5
有一U 形基础，如图3－44所示，设在其x －x 轴线上作用一单轴偏心垂直荷
载P ＝6000kN,作用在离基边2m 的点上，试求基底左端压力1p 和右端压力2p 。

如把荷载由A 点向右移到B 点，则右端基底压力将等于原来左端压力1p ,试问AB 间距为多少？
⎦
⎣3
22311m 45.263.33.87m 3.327.23.87======y I W y I W 当P 作用于A 点时，e =3-2-0.3=0.7m ，于是有：
kPa 2.413
.327.06000306000kPa
3.3303
.327.060003060001211=⨯-=-=
=⨯+=+=W Pe A P p W Pe A P p 当P 作用于B 点时，有：
kPa
3.33045
.26600030600022='⨯+='+='e W e P A P p 由此解得：e’=0.57m ，于是，A 、B 间的间距为：m
27.157.07.0=+='+e e
注意：1．基础在x 方向上不对称，惯性矩的计算要用移轴定理；
2．非对称图形，两端的截面抵抗矩不同。

3-6
有一填土路基，其断面尺寸如图3－45所示。

设路基填土的平均重度为
21kN/m 3，试问，在路基填土压力下在地面下2.5m 、路基中线右侧2.0m 的点处垂直荷载应力是多少？
图3－45
习题3－6图（单位：m ）
3-7
如图3－46所示，求均布方形面积荷载中心线上A 、B 、C 各点上的垂直荷载应
力z σ，并比较用集中力代替此均布面积荷载时，在各点引起的误差（用%表示）。

a
图3－46
习题3－7图(单位：m)
3-7解：按分布荷载计算时，荷载分为相等的4块，1/=b a ，各点应力计算如下：
A 点：kPa 84250084.04084.04-32/=⨯⨯===zA A k b z σ，，查表，
B 点：kPa 27250027.04027.04-34/=⨯⨯===zB B k b z σ，，查表，
C 点：kPa
13250013.04013.04-36/=⨯⨯===zC C k b z σ，，查表，近似按集中荷载计算时，0/0==z r r ，，查表（3-1），k =0.4775，各点应力计算
如下：
A 点：kPa 4.119222504775.02
2
2=⨯⨯=='z P k zA σB 点：kPa 8.29422504775.022
2=⨯⨯
=='z P k zB σC 点：
kPa 3.136
22504775.02
2
2=⨯⨯=='z P k zC σ据此算得各点的误差：
%3.213
13
3.13%
4.1027278.29%1.4284844.119=-==-==-=
C B A εεε，，可见离荷载作用位置越远，误差越小，这也说明了圣文南原理的正确性。

3-8
设有一条刚性基础，宽为4m ，作用着均布线状中心荷载p ＝100kN/m （包括
基础自重）和弯矩M ＝50kN·m/m ，如图3－47所示。

（1）试用简化法求算基底压应力的分布，并按此压力分布图形求基础边沿下6m 处A 点的竖向荷载应力z σ，（基础埋深影响不计）。

（2）按均匀分布压力图形（不考虑的作用）和中心线状分布压力图形荷载分别计算A 点的,并与（1）中结果对比，计算误差（%）。

图3－47
习题3－8图
3-9
有一均匀分布的等腰直角三角形面积荷载，如图3－48所示，压力为p （kPa ），
试求A 点及B 点下4m 处的垂直荷载应力z σ（用应力系数法和纽马克应力感应图法求算，并对比）。

图3－48
习题3－9图
3-10
有一浅基础,平面成L 形，如图3－49所示。

基底均布压力为200kPa ，试用
纽马克应力影响图估算角点M 和N 以下4m 处的垂直荷载应力z σ？
图3－49习题3－10图
第四章土的变形性质及地基沉降计算
4-1
设土样样厚3cm ，在100～200kPa 压力段内的压缩系数v a ＝2×10－4，当压力
为100kPa 时,e ＝0.7。

求：（a ）土样的无侧向膨胀变形模量；（b ）土样压力由100kPa 加到200kPa 时，土样的压缩量S 。

4-1解：（a ）已知kN /m 102,7.0240-⨯==v a e ，所以：
8.5MPa kPa 105.810
27.01113
40s =⨯=⨯+=+==
-v v a e m E （b ）
cm
035.03)100200(7
.0110214
0=⨯-+⨯=⋅∆+=-h p e a S v 4-2
有一饱和黏土层，厚4m ，饱和重度s γ＝19kN/m 3，土粒重度s γ＝27kN/m 3，
其下为不透水岩层，其上覆盖5m 的砂土，其天然重度γ＝16kN/m 3，如图4－32。

现于黏土层中部取土样进行压缩试验并绘出e －lg p 曲线，由图中测得压缩指数C c 为0.17，若又进行卸载和重新加载试验，测得膨胀系数C s ＝0.02，并测得先期固结压力为140kPa 。

问：（a ）此黏土是否为超固结土？（b ）若地表施加满布荷载80kPa ，黏土层下沉多少？
不透水岩层
图4－32
习题4－2图
4-3
有一均匀土层，其泊松比υ＝0.25，在表层上作荷载试验，采用面积为1000cm 2
的刚性圆形压板，从试验绘出的曲线的起始直线段上量取p ＝150kPa ，对应的压板下沉量S ＝0.5cm 。

试求：
（a ）该土层的压缩模量E s 。

（b ）假如换另一面积为5000cm 2的刚性方形压板，取相同的压力p ，求对应
的压板下沉量。

（c ）假如在原土层1.5m 下存在软弱土层，这对上述试验结果有何影响？4-4
在原认为厚而均匀的砂土表面用0.5m 2方形压板作荷载试验，得基床系数（单
位面积压力/沉降量）为20MPa/m ，假定砂层泊松比υ＝0.2，求该土层变形模量E 0。

后改用2m ×2m 大压板进行荷载试验，当压力在直线断内加到140kPa ，沉降量达0.05m ，试猜测土层的变化情况。

4-5
设有一基础，底面积为5m ×10m ，埋深为2m ，中心垂直荷载为12500kN （包
括基础自重），地基的土层分布及有关指标示于图4－33。

试利用分层总和法（或工民建
规范法，并假定基底附加压力等0p 于承载力标准值k f ），计算地基总沉降。

黏
土
细砂
00
γ=20β=0.43
γ=19β=0.76
图4－33
习题4－5图
4-6
有一矩形基础m m 84⨯，埋深为2m ，受4000kN 中心荷载（包括基础自重）
的作用。

地基为细砂层,其3/kN 19m =γ，压缩资料示于表4－14。

试用分层总和法计算基础的总沉降。

a e 0.680 0.654 0.635 0.620
p/kP 50 100 150 200表4－14 细砂的e-p 曲线资料
4z 1z 3）附加应力：
kPa 1258
44000=⨯==A P p ，kPa 872191250=⨯-=-=H p p γ，kPa
870=∴σ为计算方便，将荷载图形分为4块，则有：2
,m 2,m 4===a/b b a
分层面1：218
.0,8.0/,m 6.1111===k b z z kPa
86.7587218.044011=⨯⨯==p k z σ分层面2：148
.0,6.1/,m 2.3222===k b z z kPa
50.5187148.044022=⨯⨯==p k z σ分层面3：098
.0,4.2/,m 8.4333===k b z z kPa
10.3487098.044033=⨯⨯==p k z σ分层面4：
067
.0,2.3/,m 4.6344===k b z z kPa
32.2387067.044044=⨯⨯==p k z σ因为：445z z q σ>，所以压缩层底选在第④层底。

4）计算各层的平均应力：
第①层：kPa 63.134kPa 43.81kPa 2.53z1z111=+==σσq q z z 第②层：kPa 28.147kPa 68.63kPa 6.83z2z222=+==σσq q z z 第③层：kPa 8.156kPa 8.42kPa 0.114z3z333=+==σσq q z z 第④层：kPa 11.173kPa
71.28kPa
4.144z4z444=+==σσq q z z 5）计算S i ：
第①层：
037
.0,
641.0,678.011101=∆==e e e cm 54.3160678
.01037
.0110111=⨯+=+∆=
h e e S 第②层：
026
.0,
636.0,662.021202=∆==e e e cm 50.2160662
.01026
.0120222=⨯+=+∆=
h e e S 第③层：
016
.0,
633.0,649.031303=∆==e e e cm 56.1160649
.01016
.0130333=⨯+=+∆=
h e e S 第④层：
0089
.0,
628.0,637.041404=∆==e e e cm 87.0160637
.010089
.0140444=⨯+=+∆=
h e e S 6）计算S ：
cm
47.887.056.150.254.3=+++==∑i S S 4-7某土样置于压缩仪中，两面排水，在压力p 作用下压缩，经10min 后，固结度达50%，试样厚2cm.试求：
（a ）加载8min 后的超静水压分布曲线；（b ）20min 后试样的固结度；
（c ）若使土样厚度变成4cm （其他条件不变），要达到同样的50%固结度需要
多少时间？
4-8
某饱和土层厚3m ，上下两面透水，在其中部取一土样，于室内进行固结试验（试
样厚2cm ），在20min 后固结度达50%。

求：
（a ）固结系数v c ；
（b ）该土层在满布压力作用下p ，达到90%固结度所需的时间。

4-8解：（a ）5
.0)4exp(8
145-4,%502
2=--==v T U U ππ
），有：由公式（解得：196.0=v T ，当然，也可直接用近似公式（4-46）求解：
196
.05.04
4,%60%5022=⨯==<=∴ππU T U v h
/0.588cm s /cm 000163.060
201196.0222
22==⨯⨯==⇒=t H T c H t c T v v v v 由（b ） 3.70y 1352d h 32449588
.0150848.0,%902
290===⨯===v v c H T t U 注意H 的取法和各变量单位的一致性。

4-9
如图4－34所示饱和黏土层A 和B 的性质与4-8题所述的黏土性质完全相同，
厚4m ，厚6m ，两层土上均覆有砂层。

B 土层下为不透水岩层。

求：
（a ）设在土层上作用满布压力200kPa ，经过600天后，土层A 和B 的最大超静水压力各多少？
（b ）当土层A 的固结度达50%，土层B 的固结度是多少？
p=200kN/m 不透水层
2
图4－34习题4－9图
4-9解：（a ）由前已知：h /cm 588.02=v c ，所以：
对于土层A ，有：212.0200
24
600588.022=⨯⨯==
H t c T v v 对于土层B ，有：0235.0600
24
600588.02
2=⨯⨯==H t c T v v ()
kPa
9.150212.04exp 2sin 200
4014exp 2sin 422max =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯-⋅⨯=
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛⋅=∴ππ
π
πππm T H H p u v A 项取
()
[]
+-+-⨯=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯=-⎪⎭⎫
⎝⎛=∑
∞
=0083.00469.01978.09437.06.2540235.0425exp 510235.049exp 310235.04exp 2400425exp 25sin 5249exp 23sin 324exp 2sin 22002exp sin 12222
22220max ππππππ
πππππππv v v v
m B T T T T M H Mz M
p u 所以，取1项时，kPa 3.240max ≈B u ，取2项时，kPa 9.189max ≈B u ，取3项时，
kPa 8.201max ≈B u ，取4项时， kPa 7.199max ≈B u 。

可以看到这是一个逐步收敛的过程。

所以对于土层B ，应取4项以上进行计算才能得到合理的结果，其最终结果约为200kPa 。

注意：当项数太少时，计算结果显然是不合理的。

（b ）
2196.0%50vA
v vA A H t
c T U ===，0218.06
2196.0196.0196.0222
2
22
=⨯==⇒
=⨯=∴
B A vB
v
B vB v A
H H T c H T c H t 因为T v 太小，故不能用公式（4-45）计算U B ，现用公式（4-44）计算如下：
()
()()()[]
++++⨯-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-+-+-⨯-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=--=∑∞
=0015.00104.00685.09476.081.01)636.2exp(4913447.1exp 2514841.0exp 91
0538.0exp 81425exp 254
425exp 25449exp 944exp 421exp 1
21222222222202πππππππππ
v v v v v m B T T T T T M M
U
167.0168.0177.0232.04321≈≈≈≈∴
B B B B U U U U 当然，本题也可采用近似公式（4-46）计算，结果如下：
166
.00218.04
446-42=⨯=⇒=ππB B vB U U T ）：由（可见两者的计算结果极为近似。

注意：本题当计算项数太少时，误差很大。

121页（4-45）式上两行指出，当U >30%时，可取一项计算。

而当U =30%时，T v =0.07，可供计算时参考。

在本题中，T v =0.0235<0.07，故应多取几项计算。

4-10
设有一砾砂层，厚2.8m ，其下为厚1.6m 的饱和黏土层，再下面为透水的卵
石夹砂（假定不可压缩），各土层的有关指标示于图4－35。

现有一条形基础，宽2m ，埋深2m ，埋于砾砂层中，中心荷载300kN/m ，并且假定为一次加上。

试求：
（a ）总沉降量；
（b ）下沉总沉降量时所需的时间。

v
v
s
22-5-4-833图4－35
习题4－10图
4-11
设有一宽3m 的条形基础，基底一下为2m 砂层，砂层下面有厚的饱和软黏土
层，再下面为不透水的岩层。

试求：
（a ）取原状饱和黏土样进行固结试验，试样厚2m ，上面排水，测得固结度为90%时所需时间为5h ，求其固结系数；
（b ）基础荷载是一次加上的，问经过多少时间，饱和黏土层将完成总沉降量的60%。

4-11解：（a ）848
.09.0==v T U cm/h
1696.05
1848.02
902=⨯==t H T c v v （b ）由荷载和排水情况对照图4-27知本题属于情况2，所用的基本公式为（4-52）：
6.0)(1
1
2=-+-+=B A A U U r r U U （1）
注意：由于本题的荷载应力图形为梯形，故不能用公式24/U T v ⨯=π（4-46）计算T v 。

先确定r ，b
a /σσ=r 条基宽度为3m ，设基底下的应力为p 0，则：
粘土层顶面，x =0，z =2m ，所以：
667.03/2/0/===b z b x 查表3-2，得：718.0)5.0667.0(5
.075.0668
.082.082.0a =-⨯---
=k 粘土层底面，x =0，z =5m ，所以：
667.13/5/0/===b z b x 查表3-2，得：366.0)5.1667.1(5.12306
.0396.0396.0b =-⨯---
=k 96
.1366.0718
.0b a 0b 0a b a =====∴k k p k p k r σσ代入（1）式，得：
6.0)(1
96.1196.1=-+-+B A A U U U 得到：
6.032.032.1=-B A U U （2）
由公式（4-45），有：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--≈v A T U 4exp 8
122ππ由公式（4-50），有：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--≈v B T U 4exp 32
123ππ代入（2）并化简，有：54.04exp 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-v T π解之，得：
2497
.0=v T 15.13y
5522d h 1325221696
.03002497.022===⨯=⋅=∴
v v c H T t 4-12
基础平面尺寸为6m ×18m,埋深2m ，地基为4m 厚的中砂和4m 厚的饱和黏土
层，其下为不透水岩层，有关土的各项资料示于图4－36。

假定中心荷载由零开始随时间按直线增加，到60天后达到32400kN ，以后保持不变。

问：
（a ）最终地基沉降量是多少？
（b ）开工后60天和120天的沉降量是多少？
=18.5kN/m a =5×10 m /kN e =0.45
不透水岩层
3
v v 2
2
-4-5a =4×10 m /kN e =0.7
k =0.7cm/年
图4－36习题4－12图
第五章土的抗剪强度
5-1当一土样遭受一组压力（1σ，3σ）作用，土样正好达到极限平衡。

如果此时，在大小主应力方向同时增加压力∆σ，问土的应力状态如何？若同时减少∆σ，情况又将如何？
5-1解：同时增加∆σ时土样进入弹性平衡状态，同时减少∆σ时土样破坏。

（应力圆大小不变，位置移动。

注意不要用τmax 和s 进行比较。

）
5-2设有一干砂样置入剪切合中进行直剪试验，剪切合断面积为60cm 2，在砂样上作用一垂直荷载900N ，然后作水平剪切，当水平推力达300N 时，砂样开始被剪破。

试求当垂直荷载为1800N 时，应使用多大的水平推力砂样才能被剪坏？该砂样的内摩擦角为多大？并求此时的大小主应力和方向。

5-2解：砂土，c =0，所以：N 600900
1800
300121
221
21=⨯==⇒
=N N T T T T
N N 此时，
︒=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==⨯⨯==--43.181800600arctan arctan arctan kPa 100106010600224
3
2N T A T f f στϕτ应力圆半径：kPa
4.10543.18cos 100cos =︒
==ϕτf r 圆心坐标：
()kPa 4.33343.18sin 4.105sin 21
31=︒==+ϕσσr kPa
0.2284.1054.333kPa
8.4384.1054.33331=-==+=∴σσ由应力圆知，大主应力作用面与剪破面的夹角为：︒
=+︒=2.542/45ϕα5-4设有一含水量较低的黏性土样作单轴压缩试验，当压力加到90kPa 时，黏性土样开始破坏，并呈现破裂面，此面与竖直线呈35°角，如图5-39。

试求其内摩擦角ϕ及黏聚力c。

图5－39习题5－4图
5-4解：水平面为大主应力面，kPa 901=σ；竖直面为小主应力面，03=σ；由图5-39的小主应力面与剪破面的夹角为35︒，即有：。

以b ）液压为5kPa 的三轴试验时，垂直压力加到多大（三轴试验的垂直压力包括液压）土样将被剪破？5-6解：（a ）单轴试验时，03=σ，由公式（5-7），有：
kPa 28.3422045tan 1220245tan 2245tan 231=⎪⎭
⎫ ⎝⎛︒+︒⨯⨯+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+︒+⎪⎭⎫ ⎝⎛+︒=ϕϕσσc （b ）三轴试验时，kPa 53=σ，由公式（5-7），有：
kPa
47.4422045tan 12222045tan 5245tan 2245tan 2231=⎪⎭⎫ ⎝
⎛︒+︒⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛︒+︒⨯=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+︒+⎪⎭⎫ ⎝⎛+︒=ϕϕσσc 注：本题使用公式计算比较简单。

5-7设砂土地基中一点的大小主应力分别为500和180kPa ，其内摩擦角ϕ=36°。

求：（a ）该点最大剪应力为若干？最大剪应力作用面上的法向应力为若干？
（b ）哪一个截面上的总剪应力偏角最大？其最大偏角值为若干？
（c ）此点是否已达极限平衡？为什么？
（d ）如果此点未达极限平衡，若大主应力不变，而改变小主应力，使达到极限平衡，这时的小主应力应为若干？
5-8已知一砂土层中某点应力达到极限平衡时，过该点的最大剪应力平面上的法向应
力和剪应力分别为264kPa 和132kPa 。

试求：
（a ）该点处的大主应力1σ和小主应力3σ；
（b ）过该点的剪切破坏面上的法向应力f σ和剪应力τf ；
f （d ）()︒
=︒+︒⨯=+︒=∴6030905.0902αϕα 5-9现对一扰动过的软黏土进行三轴固结不排水试验，测得不同围压3σ下，在剪破时的压力差和孔隙水压力（表5-1）。

试求算：（a ）土的有效应力强度指标c 、ϕ'和总应力强度指标c cu 、ϕcu ；（b ）当围压为250kPa 时，破坏的压力差为多少？其孔隙压力是多少？
表5-1围压与压力差和孔隙水压的关系
围压3σ/kPa
剪破时(1σ-3σ)f /kPa u f /kPa 150
117110350
242227750468455
5-10对饱和黏土样进行固结不排水三轴试验，围压3σ为250kPa ，剪坏时的压力差(1σ-3σ)f =350kPa ，破坏时的孔隙水压u f =100，破坏面与水平面夹角ϕ=60°。

试求：
（a ）剪裂面上的有效法向压力f σ'和剪应力τf ；
（b ）最大剪应力max τ和方向？
5-10解：由已知条件，算得：kPa 2003=σ，()kPa
5503502003131=+=-+=σσσσ()︒
=⇒︒=+︒⨯=3060905.0ϕϕα（a ）()()kPa 5.187100)30sin 350750(5.0sin 21213131=-︒-⨯=---+='f f u ϕσσσσσ()kPa 6.15130cos 3505.0cos 2131=︒⨯=-=ϕσστf （b ）()︒==⨯=-=45kPa 1753505.02
131max ασστ
第六章天然地基承载力
6-1有一条形基础，宽度b =3m ，埋深h =1m ，地基土内摩擦角ϕ=30°，黏聚力c =20kPa ，天然重度γ=18kN/m 3。

试求：
（a ）地基临塑荷载；
（b ）当极限平衡区最大深度达到0.3b 时的均布荷载数值。

6-1解：（a ）由公式（6-5），得
kPa 5.2591186
26cot )1186cot 20(2cot )cot (a =⨯++-⨯+=++-+⋅=πππππγϕπϕγϕπH H c p （b ）由公式（6-4），当
b H
c H p z 3.0tan )2(cot max =--+--=ϕ
γϕπϕγπγ时，有：
9.033.01)
6/tan(1820)626(cot 18118=⨯=--+-⨯⨯-πππππp 化简后，得到：p 0.3b =333.8kPa
6-4某浅基的埋深为2m,平面尺寸为4m ×6m,地基为亚黏土,γ=18kN/m 3,ϕ=20°,c=9kPa 。

试用勃朗特—维西克公式，并考虑基础形状的影响，计算地基极限荷载。

6-4解：基本计算公式（公式（6-19））：γγγξγξξN bi N ci N i q p c c c q q q 2
10k ++=由于无水平力，各倾斜修正系数i 等于1，另外：
kPa 362180=⨯==H q γ由︒=20ϕ，查表6-1，得：N c =14.83，N q =6.4，N γ=5.39
另外，由表6-2，有：
733.0644.014.01288.183.144.6641)(1243.120tan 6
41tan 1=⨯-=-==⋅+=+==︒+=+
=a b N N a b a b c q c q γξξϕξkPa 5.60039.5733.04185.083.14288.194.6243.136k =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=∴p 6-6水塔基础直径4m ，传递中心垂直荷载5000kN ，基础埋深4m ，地基土为中等密实未饱和细砂，γ=18kN/m 3,ϕ=32°，求地基强度安全系数（用勃朗特—维西克公式）。

解：由ϕ=32°查表6-1，得：
N q =23.18，N c =35.49，N γ=30.22
因为基础为圆形，垂直荷载，查表6-2，得
625
.132tan 1tan 1=︒+=+=ϕξq 653.149
.3518.2311=+=+=c q
c N N ξ6
.0=γξ1
===γi i i c q 代入公式（6-19），得
kPa 81.336422
.306.014185.0049.35653.1141818.23625.1121k =⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⋅+
⋅+⋅=γγγξγξγξN i b c N i H N i p c c c q q q 荷载作用下的基底压力为
kPa 89.397250002
=⨯==πA F p 地基强度的安全系数为46.889.39781.3364k ===
p p K 6-7某地基表层为4m 厚的细砂，其下为饱和黏土，地下水面就是地表面，如图6-20所示。

细砂的γs =26.5KN/m 3，e =0.7，而黏土的w L =38%，w P =20%，w =30%，γs =27KN/m 3，现拟建一基础宽6m ，长8m ，置放在黏土层面（假定该层面不透水），试按《桥规》公式计算该地基的容许承载力［σ］。

（或试用《建规》计算地基承载力设计值，已知承载力回归修正系数ψi =0.9
）。

图6－20习题6－7图
6-7解：由题给条件算得：细砂：3w s sat kN/m 7.197.01107.05.261=+⨯+=++==e e γγγγ粘土：556.018
2030182038P L P L P L P =-=--==-=-=w w w w I w w I 81.01
10273.0r w s r s =⨯⨯===S w S wG e γγ查表6-3（内插），得：kPa 8.230)5.0556.0(5
.06.022********=-⨯---=σ查表6-9，因为持力层为粘土，且有I L >0.5，故有：5
.1021==k k
因为持力层不透水，所以γ2用饱和重度，由公式（6-33），得：[]kPa
4.260)34(7.19
5.108.230)3()2(22110=-⨯⨯++=-+-+=H k b k γγσσ6-8某地基由两种土组成。

表层厚7m 为砾砂层，以下为饱和细砂，地下水面在细砂层顶面。

根据试验测定，砾砂的物理指标为：w =18%，γs =27KN/m 3，e max =1.0，e min =0.5，e =0.65。

细砂的物理指标为：γs =2
6.8KN/m 3，e max =1.0，e min =0.45，e =0.7,Sr =100%。

现有一宽4m 的桥梁基础拟放在地表以下3m 或7m 处，试从地基的强度的角度来判断，哪一个深度最适于作拟定中的地基（利用《桥规》公式）。

地质剖面示于图6-21。

图6－21习题6－8图
6-9有一长条形基础，宽4m ，埋深3m ，测得地基土的各种物性指标平均值为：γ=17kN/m 3，w =25%，w L =30%，w P =22%，，γs =27kN/m 3。

已知各力学指标的标准值为：c =10kPa ，ϕ=12°。

试按《建规》的规定计算地基承载力设计值：
（1）由物理指标求算（假定回归修正系数ψi =0.95）；
（2）利用力学指标和承载力公式进行计算。

6-9解：（1）由题给条件算得：985.0117
)25.01(271)1(s =-+=-+=γγw e 375.08
222582230P L P L P L P =-=--==-=-=w w w w I w w I 因为I P <10，故该地基土为粉土，由表6-12查得：kPa 8.118)985.01(9
.011151401150=-⨯--+=f 因为ψf =0.95，所以由公式（6-36），有：kPa
8.1128.11895.00f k =⨯==f f ψ由表6-22，因为e >0.85，查得：1
.10d b ==ηη所以，由公式（6-39）算得：
kPa
6.159)5.03(171.108.112)5.0()3(0d b k =-⨯⨯++=-+-+=d b f f γηγη（2）由︒=12k ϕ，查表6-23得：42.494
.123
.0c d b ===M M M ，又因
3m
d m 4kN/m 17kPa 1030k =====b c γγ代入公式（6-40），得地基承载力设计值f v
kPa
8.1581042.431794.141723.0k c 0d b v =⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=c M d M b M f γγ
第七章土压力
7-10已知某挡土墙高为H ，墙后为均质填土，其重度为γ，试求下列情况下的库仑主动土压力E a 和被动土压力E p ：
（1）α=0,β=+β,ϕ=ϕ,δ=0;
（2）α=0,β=0,ϕ=δ;
（3）α=0,β=δ,ϕ=ϕ;
（4）α=0,β=ϕ=δ;
（5）α=β=ϕ=δ;
（6）α取-α,β取-β,ϕ=ϕ,δ=0;
7-11某一挡土墙高为H ，墙背垂直，填土面水平，土面上作用有均布荷载q 。

墙后填土为黏性土，单位黏聚力为c ，重度为γ，内摩擦角为ϕ。

用郎肯理论计算作用在墙背上的主动土压力，并讨论q 为何值时墙背处将不出现裂纹？
土层③：6.225
.01=⨯===∴w G S r s r kPa 70.1965.01)25.01(106.21)1(1)1(w =++⨯⨯=++=++==e w G e w s s sat γγγγ283.0)23445(tan 245(tan 7.9107.1922a3w 3=︒-︒=-︒==-=-='=ϕγγγγK sat
注：土层③位于水下，故饱和度S r =100%。

计算各土层的土压力分布如下：
土层①：上表面kPa
65.16333.0)500()(a1aA =⨯+=+=K q z p γ下表面
kPa 42.28333.0)50267.17()(a1ab =⨯+⨯=+=K q z p γ土层②：上表面
kPa 81.30361.0)50267.17()(a2ab =⨯+⨯=+=K q z p γ下表面
kPa 22.50361.0)50393.17267.17()(a2ac =⨯+⨯+⨯=+=K q z p γ土层③：上表面
kPa 37.39283.0)50393.17267.17()(a3ac =⨯+⨯+⨯=+=K q z p γ墙踵处kPa
60.47283.037.937.39)(a1aB =⨯⨯+=+=K q z p γ水压力的分布为三角形，在c 点处为0，B 点处为：kPa 30310w wB =⨯==z p γ于是画出墙后的土压力和水压力的分布如图。

7-13某一挡土墙高为H ，墙背垂直，填土面水平，如图7-45所示。

墙后填土分为三层，其主要物理力学指标已在图中标注，试用朗肯土压力理论求各层土的主动土压力p a 和合力E a 。

图7－45习题7－13图
7-14某挡土墙高为6m ，墙背垂直、光滑，填土面水平，土面上作用有连续均匀荷载q =30kPa ，墙后填土为两层性质不同的土层，他物理力学指标见图7-46所示。

试计算作用于该挡土墙上的被动土压力及其分布。

图7－46
习题7－14图7-14解：先求主动土压力系数：49.0)22045(tan )245(tan 22
a1=︒-︒=-︒=ϕK 406.0)22545(tan )245(tan 22a2=︒-︒=-︒=ϕK
临界深度：m 71.018
3049.01815
22a10=-⨯⨯=-=γγq K c
z 再求各控制点的土压力强度。

土层①：下表面kPa 98.2849.015249.0)30418(2)(a11a11ab =⨯⨯-⨯+⨯=-+=K c K q h p γ土层②：上表面kPa 47.18406.0182406.01022)(a22a21ab =⨯⨯-⨯=-+=K c K q h p γ墙底
kPa
71.34406.0182406.0)220102(2)(a22a21ac =⨯⨯-⨯⨯+=-+=K c K q h p γ根据上述结果利用土压力在每层土内为线性分布的规律可画出土压力沿墙高的分布图。

7-15某挡土墙墙背直立、光滑，高6m ，填土面水平，墙后填土为透水的砂土，其天然重度γ=16.8KN/m 3，内摩擦角ϕ=35°原来地下水位在基底以下，后由于其他原因使地下水位突然上升至距墙顶2m 处。

水中砂土重度γ=9.3kN/m 3，ϕ假定不受地下水位的影响仍为35°，试求墙背侧向水平力的变化。

7-16某挡土墙墙背光滑、垂直，填土面水平，墙后填土分为三层，各层填土高度、黏聚力和内摩擦角由上往下分别为H 1、c 1、ϕ1；H 2、c 2、ϕ2；H 3、c 3、ϕ3。

挡土墙高为H ，γi 为各分层土重度，试用朗肯土压力理论求出下列情况下主动土压力随墙高的分布形式：
（1）ϕ1=ϕ2=ϕ3，γ1＜γ2＜γ3；
（2）ϕ1=ϕ2=ϕ3，γ1＞γ2＞γ3；
（3）ϕ1＜ϕ2＜ϕ3，γ1=γ2=γ3；
（4）ϕ1＞ϕ2＞ϕ3，γ1=γ2=γ3；
补充题挡墙的墙背竖直，高度为6m ，墙后填土为砂土，相关土性指标为：
γ=18kN/m ，ϕ=30︒，设δ和β均为15︒，试按库仑理论计算墙后主动土压力的合力E a 的大小。

如用朗肯理论计算，其结果又如何？
解：按库仑理论，由公式（7-27），有：
373
.0)15cos(15cos )1530sin()1530sin(115cos 130cos )cos()cos()sin()sin(1)cos(cos )(cos 22222a =⎥⎦
⎢⎣⎡︒-︒︒-︒︒+︒+︒⨯︒=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⋅+-⋅+++⋅-=βαδαβϕδϕδαααϕK 由公式（7-26），有：kN/m 84.120373.06185.0212a 2a =⨯⨯⨯==K H E γ按朗肯理论，因为填土面倾斜，由公式（7-20），有：
373
.015sin 30sin 15cos 15sin 30sin 15cos 15cos sin sin cos sin sin cos cos 22222222a =︒-︒+︒︒-︒-︒︒=-+--=βϕββ
ϕββK
算得总土压力：kN/m 84.120373.06185.0212a 2a =⨯⨯⨯==K H E γ两种方法算出的E a 相同。