高考数学二轮复习函数的概念与基本初等函数多选题知识点总结及答案

高考数学二轮复习函数的概念与基本初等函数多选题知识点总结及答案
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知()f x 为定义在R 上且周期为5的函数，当[)0,5x ∈时，()243f x x x =-+.则下
列说法中正确的是（ ）
A ．()f x 的增区间为()()15,2535,55k k k k ++⋃++，k Z ∈
B ．若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1
C ．当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]
1,4 D ．若()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，则k 的取值范围为12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】BC 【分析】
首先作出()f x 的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利用数形结合可判断选项B 、C ；举反例如1k =时经分析可得()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，可判断选项D 不正确，进而可得正确选项. 【详解】
对于选项A ：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；
对于选项B ：由图知若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1， 故选项B 正确；
对于选项C ：()10f =，()43f =，由图知当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]
1,4，故选项C 正确；
对于选项D ：当1k =时，直线为2y x =-过点()5,3，()f x 也过点()5,3，当10x =时，1028y =-=，直线过点
()10,8，而点()10,8不在()f x 图象上，由图知：当
1k =时，直线为2y x =-与()y f x =有3个交点，由排除法可知选项D 不正确，
故选：BC 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
2．已知函数22,0
()(2),0
x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）
A ．函数()f x 在区间[2,4]上是减函数
B ．(2020)(2021)1f f +=
C ．若方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根，则11,46m ⎛⎫
∈-- ⎪⎝
⎭ D ．若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点(
)*
8,i x i i N ≤∈，则8
1
16i i x ==∑
【答案】BCD 【分析】
对于A ，画出函数的图象即可判断；对于B ，由函数的周期性可计算求解；对于C ，方程
()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线1y mx =+有5
个交点，画出图形即可判断求解；对于D ，函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，由对称性可求解. 【详解】
由题可知当0x ≥时，()f x 是以2为周期的函数，则可画出()f x 的函数图象，
对于A ，根据函数图象可得，()f x 在()2,3单调递增，在()3,4单调递减，故A 错误； 对于B ，()()()2020020f f f ==-=，()()()2021111f f f ==-=，则
(2020)(2021)1f f +=，故B 正确；
对于C ，方程()10()f x mx m R --=∈恰有5个不相等的实根等价于()y f x =与直线
1y mx =+有5个交点，如图，直线1y mx =+过定点()0,1A ，观察图形可知
AB AC k m k <<，其中()()4,0,6,0B C ，则11,46AB AC k k =-=-，故11,46m ⎛⎫
∈-- ⎪⎝⎭
，故
C 正确；
对于D ，若函数()y f x k =-在区间(,6)-∞上有8个零点，则()y f x =与y k =有8个交点，如图，可知这八个零点关于2x =对称，则
8
1
4416i
i x
==⨯=∑，故D 正确.
故选：BCD. 【点睛】
关键点睛：本题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是判断出函数的周期性，画出函数的图象，即可将方程的解的个数问题、函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合的思想可快捷解决问题.
3．已知函数1(),f x x x =+
221
()g x x x
=+则下列结论中正确的是（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是偶函数 C ．()()f x g x +的最小值为4 D ．()()f x g x ⋅的最小值为2
【答案】BC 【分析】
利用奇偶性的定义可得A 错B 对；利用均值不等式可得C 对；利用换元求导可得D 错. 【详解】
2211()()f x g x x x x x
+=+
++ ()
22
221111()()()f x g x x x x x x x x x ∴-+-=-+
+-+=+++-- ()()()()f x g x f x g x ∴+=-+- ()()f x g x ∴+是偶函数， A 错；
221(1)()x x x
f x x
g x ⎛
⎫+
⋅+ ⎪⎝
⋅=⎭
()()22221
111()()f x x x x x
g x x x x x ⎛⎫⎛
⎫-+
⋅-+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭-⎝∴-⋅-=⎭
()()()()f x g x f x g x ∴-⋅-=⋅
()()f x g x ∴⋅是偶函数，B 对；
2211()()224f x g x x x x x +=+
++≥+=，当且仅当1
x x =和221=x x 时，等号成立，即当且仅当21x =时等号成立，C 对；
221
(1)()x x x
f x x
g x ⎛
⎫+
⋅+ ⎪⎝
⋅=⎭
令1
t x x
=+
()2t ≥，则()23()()22f t t g t t x x ⋅-=-⋅=
[]232()()f x g x t '∴=-⋅，令2320t ->，得3t >
或3
t <- 2t ∴≥时，()()f x g x ⋅单调递增
∴当2t =有最小值，最小值为4，D 错
故选：BC. 【点睛】
本题综合考查奇偶性、均值不等式、利用导数求最值等，对学生知识的运用能力要求较高，难度较大.
4．对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ） A ．,[]1x x x ∃∈+R
B ．,,[][][]x y x y x y ∀∈++R
C ．函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)
D ．若t ∃∈R ，使得345
1,2,3,
,2n
t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则正整数n 的
最大值是5 【答案】BCD 【分析】
由取整函数的定义判断，由定义得[][]1x x x ≤<+，利用不等式性质可得结论． 【详解】
[]x 是整数， 若[]1x x ≥+，[]1x +是整数，∴[][]1x x ≥+，矛盾，∴A 错误；
,x y ∀∈R ，[],[]x x y y ≤≤，∴[][]x y x y +≤+，∴[][][]x y x y +≤+，B 正确；
由定义[]1x x x -<≤，∴0[]1x x ≤-<，∴函数()[]f x x x =-的值域是[0,1)，C 正确；
若t ∃∈R ，使得345
1,2,3,,2n t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则1t ≤<，
t ≤<t ≤<t ≤<，
，t ≤<
=
6n ≥，则不存在t 同时满足1t ≤<t <5
n ≤
时，存在t ∈满足题意，
故选：BCD ． 【点睛】
本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础．由新定义把问题转化不等关系是解题关键，本题属于难题．
5．下列选项中a 的范围能使得关于x 的不等式2
20x x a +--<至少有一个负数解的是（ ） A ．9,04⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．()2,3
C ．1,2
D ．0,1
【答案】ACD 【分析】
将不等式变形为2
2x a x -<-，作出函数2
,2y x a y x =-=-的图象，根据恰有一个负数解时判断出临界位置，再通过平移图象得到a 的取值范围. 【详解】
因为2
20x x a +--<，所以2
2x a x -<-且2
20x ，
在同一坐标系中作出2
,2y x a y x =-=-的图象如下图：
当y x a =-与2
2y x =-在y 轴左侧相切时，
2
2x a x -=-仅有一解，所以()1420a ∆=++=，所以94
a =-
， 将y x a =-向右移动至第二次过点()0,2时，02a -=，此时2a =或2a =-（舍）， 结合图象可知：9,24a ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，所以ACD 满足要求. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查函数与方程的综合应用，着重考查数形结合的思想，难度较难.利用数形结合可解决的常见问题有：函数的零点或方程根的个数问题、求解参数范围或者解不等式、研究函数的性质等.
6．下列说法中，正确的有（ ）
A ．若0a b >>，则
b a a b
> B ．若0a >，0b >，1a b +=，则11
a b
+的最小值为4 C ．己知()11212
x
f x =
-+，且()()2
110f a f a -+-<，则实数a 的取值范围为()2,1- D ．已知函数()()
2
2log 38f x x ax =-+在[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是
(]11,6--
【答案】BCD 【分析】
利用不等式的基本性质可判断A 选项的正误；将+a b 与
11
a b
+相乘，展开后利用基本不等式可判断B 选项的正误；判断函数()f x 的单调性与奇偶性，解不等式
()()2110f a f a -+-<可判断C 选项的正误；利用复合函数法可得出关于实数a 的不等
式组，解出a 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，0a b >>，则1a b
b a
>>，A 选项错误； 对于B 选项，
0a >，0b >，1a b +=，
(
)1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫
∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
， 当且仅当12a b ==
时，等号成立，所以，11
a b
+的最小值为4，B 选项正确； 对于C 选项，函数()f x 的定义域为R ， 任取1x 、2x R ∈且12x x <，则21220x x >>， 所以，
()()()()
2112121
2121
1111122021221221212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，
即()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的减函数，
()()()()
2211112212221212x
x
x x x f x -+-=-==+++，
则()()()()()
()2121221
2122212221x x x x x x x x
f x f x --------====-+⋅++，
所以，函数()f x 为R 上的奇函数，且为减函数， 由()(
)2
110f a f a
-+-<可得()()()2
2
111f a f a f a
-<--=-，
所以，211a a -<-，即220a a +-<，解得21a -<<，C 选项正确； 对于D 选项，对于函数()()
2
2log 38f x x ax =-+，令238u x ax =-+，
由于外层函数2log y u =为增函数，则内层函数238u x ax =-+在[)1,-+∞上为增函数，
所以min 16380
a
u a ⎧≤-⎪⎨⎪=++>⎩，解得116a -<≤-，D 选项正确.
故选：BCD. 【点睛】
方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；
（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
7．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】AD 【分析】
根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x
x f x e e -=+为偶函数，
当1k =-时，()x
x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．
【详解】
由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x e
e -=+为偶函数，
当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t
=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()x x f x e e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误； 当1k =-时，()x
x f x e
e -=-为奇函数，
当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t
=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()x
x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.
故选:AD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.
8．已知函数()2221,0
21,0x x x f x x x x ⎧++≥=⎨-++<⎩
,则下列判断正确的是（ ）
A ．()f x 为奇函数
B ．对任意1x ,2x R ∈,则有()()()12120x x f x f x --≤⎡⎤⎣⎦
C ．对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=
D ．若函数()y f x mx =-有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞
【答案】CD 【分析】
根据函数的奇偶性以及单调性判断AB 选项；对x 进行分类讨论，判断C 选项；对选项D ，构造函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可得出实数m 的取值范围. 【详解】
对于A 选项，当0x >时，0x -<，则
()
22()()2()121()f x x x x x f x -=--+-+=-+-≠-
所以函数()f x 不是奇函数，故A 错误； 对于B 选项，221y x x =++的对称轴为1x =-，221y x x =-++的对称轴为1x =
所以函数221y x x =
++在区间[0,)+∞上单调递增，函数221y x x =-++在区间(,0)
-∞上单调递增，并且2202010201+⨯+=-+⨯+ 所以()f x 在R 上单调递增
即对任意()1122,,x x x x R <∈，都有()()12f x f x <
则()()()()()121212120,00x x f x f x x x f x f x ⎡⎤-<-⇒--⎣⎦，故B 错误； 对于C 选项，当0x >时，0x -<，则 2
2
()()2()121f x x x x x -=--+-+=--+
则22()()21212f x f x x x x x +-=++--+= 当0x =时，(0)(0)1f f -==，则(0)(0)2f f -+=
当0x <时，0x ->，则2
2
()()2()121f x x x x x -=-+-+=-+ 则2
2
()()21212f x f x x x x x +-=-+++-+= 即对任意x ∈R ,则有()()2f x f x +-=，故C 正确；
对于D 选项，当0x =时，()010y f ==≠，则0x =不是该函数的零点 当0x ≠时，()()0f x f x x
m x m -=⇔=
令函数()()g x f x x
=
，函数y m =
由题意可知函数y m =与函数()()g x f x x
=
的图象有两个不同的交点
因为()0f x ≥
时，)1x ⎡∈+∞⎣，()0f x <
时，(,1x ∈-∞-
所以12,012,12)01
,1(x x x x x x x x x g x ⎧
++>⎪⎪
⎪
-++<⎨⎪⎪--<-⎩
=⎪
当0x >时，设1
20
1x x ，()()()()121212121212
111x x x x g x g x x x x x x x ---=+
--= 因为12120,10x x x x -<-<，所以()()120g x g x ->，即()()12g x g x > 设121x x <<，()()
()()12121212
10
x x x x g x g x x x ---=<，即()()12g x g x <
所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增
同理可证，函数()g x
在区间)1⎡⎣
上单调递减，在区间(,1-∞上单调递增
1
1241)1
(g ++==
函数()g x 图象如下图所示
由图可知，要使得函数y m =与函数()()g x f x x
=的图象有两个不同的交点
则实数m 的取值范围是()()–,04,∞+∞，故D 正确；
故选：CD 【点睛】
本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及奇偶性，由函数零点的个数求参数的范围，属于较难题.
二、导数及其应用多选题
9．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦上的平均变化率为
194
B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线4
27
y =
有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称
D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】
运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，
先得出1x ，2x 为方程()2
3210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选
项． 【详解】
对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，
则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()
119
123
19222
1412
⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；
对于B ，当1a =时，()()2
3212f x x x x x x =-=-+，
()()()2341311f x x x x x '=-+=--，
可得下表：
因为327
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227f =>，结合()f x 的单调性可知，
方程()427f x =
有两个实数解，一个解为1
3
，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()2
3
1211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦
， 则有()()()()()()3
3
211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，
()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，
令()0f x '=，可得方程()2
3210x a x a -++=，
因为()
()2
2
412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，
所以1x ，2x 为方程()2
3210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧
+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--
()()()()33
221212121x x a x x a x x =+-++++
()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦
()()()2221122121222123
3a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦
()()()()()2124221
2113
327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦
因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.
10．对于定义在1D 上的函数()f x 和定义在2D 上的函数()g x ，若直线y kx b =+(),k b R ∈同时满足：①1x D ∀∈，()f x kx b ≤+，②2x D ∀∈，
()g x kx b ≥+，则称直线y kx b =+为()f x 与()g x 的“隔离直线”.若()ln x
f x x
=，()1x g x e -=，则下列为()f x 与()g x 的隔离直线的是（ ）
A ．y x =
B ．12
y x =-
C ．3e
x y =
D ．1122
y x =
- 【答案】AB 【分析】
根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】
根据隔离直线的定义，函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点， 由函数()ln x f x x =
，可得()21ln x
f x x
-'=， 所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，
因为()10f =，()11f '=，此时函数()f x 的点(1,0)处的切线方程为1y x =-， 且函数()f x 的图象在直线1y x =-的下方； 又由函数()1
x g x e
-=，可得()1
e
0x g x -'=>，()g x 单调递增，
因为()()111g g '==，所以函数()g x 在点(1,1)处的切线方程为11y x -=-，即y x =， 此时函数()g x 的图象在直线y x =的上方，
根据上述特征可以画出()y f x =和()y g x =的大致图象，如图所示，
直线1y x =-和y x =分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线y x =平行的直线都满足隔离直线的条件，所以A ，B 都符合；
设过原点的直线与函数()y f x =相切于点00(,)P x y ， 根据导数的几何意义，可得切线的斜率为0
2
1ln x k x -=，
又由斜002000ln 0y x k x x -=
=-，可得00
21
00
ln 1ln x x x x -=，解得0x e =， 所以2
1ln 1
2()
e k e e -=
=，可得切线方程为2x y e =， 又由直线3x
y e
=与曲()y f x =相交，故C 不符合； 由直线1122
y x =
-过点()1,0，斜率为1
2，曲线()y f x =在点()1,0处的切线斜率为1，
明显不满足，排除D. 故选：AB.
【点睛】
对于函数的新定义试题：
（1）认真审题，正确理解函数的新定义，合理转化；
（2）根据隔离直线的定义，转化为函数()y f x =的图象总在隔离直线的下方，()y g x =的图象总在隔离直线的上方.。