李雅普诺夫稳定性的定义.ppt

x2
本节讨论的李雅普诺夫稳定性即为内部稳定性。
外部稳定性只适用于线性系统,内部稳定性不但适用于 线性系统,而且也适用于非线性系统。
对于同一个线性系统,只有在满足一定的条件下两 种定义才具有等价性。
概述(6/5)
早在1892年,俄国学者李雅普诺夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov ， 1857 – 1918) 发表题为“运动稳定性一般问题” 的著名文献,建立了关于运动稳定性研究的一般理论。 百余年来,李雅普诺夫 理论得到极大发展,在 数学、力学、控制理论、 机械工程等领域得到广 泛应用。
Ch.5 李雅普诺夫稳定性 分析
本章简介(1/2)
本章简介
本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。
主要介绍 李雅普诺夫稳定性的定义及 分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法; 着重讨论 李雅普诺夫第二法及其在线性系统和3类非线性系统 的应用、 李雅普诺夫函数的构造、 李亚普诺夫代数(或微分)方程的求解等。
非线性系统,甚至
离散时间系统、 离散事件动态系统、 逻辑动力学系统 等复杂系统的稳定性,这正是其优势所在。
概述(9/5)
可是在相当长的一段时间里,李雅普诺夫第二法并没有引起 研究动态系统稳定性的人们的重视,这是因为当时讨论系统 输入输出间关系的经典控制理论占有绝对地位。
随着状态空间分析法引入动态系统研究和现代控制理论 的诞生,李雅普诺夫第二法又重新引起控制领域人们的 注意,成为近40年来研究系统稳定性的最主要方法,并得 到了进一步研究和发展。
目录(1/1)
目 录
概述 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理
5.3 线性系统的稳定性分析
5.4 非线性系统的稳定性分析 5.5 Matlab问题
本章小结
概述(1/5)
概 述
一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系 统。 例如,电压自动调解系统中保持电机电压为恒定的能力; 电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力 以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。 具有稳定性的系统称为稳定系统。 稳定性的定义为： 当系统受到外界干扰后,显然它的平衡被破坏,但在外扰 去掉以后,它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。 如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。
x1 范数下球域 x1
李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(1/4)
3) 李雅普诺夫稳定性定义 基于上述数学定义和符号,我们有如下 李雅普诺夫意义下稳定性的定义。
x2

x1
x(0) x(0)
图5-1
李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(2/4)
定义5-2(李雅普诺夫稳定性) 若状态方程 x’=f(x,t) 所描述的系统, 对于任意的>0和任意初始时刻t0, 都对应存在一个实数(,t0)>0,
不稳定性
平衡态稳定性与输入输出稳定性的关系
平衡态(1/4)
5.1.1 平衡态
设我们所研究的系统的状态方程为 x’=f(x,t) 其中x为n维状态变量; f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性向量函 数。 对该非线性系统,其平衡态的定义如下。
平衡态(2/4) —定义1
李雅普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近 的局部稳定性问题。
它是一种具有普遍性的稳定性理论, 不仅适用于线 性定常系统,而且也适用于非线性系统、时变系统、 分布参数系统。 本节先讨论李雅普诺夫稳定性理论的基础--李雅普 诺夫稳定性定义。
李雅普诺夫稳定性的定义(4/4)
下面将分别介绍如下李雅普诺夫稳定性有关定义。 平衡态 李雅普诺夫意义下的稳定性 渐近稳定性 大范围渐近稳定性 难点,要理解喔!
李雅普诺夫把分析一阶常微 分方程组稳定性的所有方法 归纳为两类。
概述(7/5)
第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化,然后 通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来 讨论原非线性系统的稳定性问题。
这是一种较简捷的方法,与经典控制理论中判别稳 定性方法的思路是一致的。
该方法称为间接法,亦称为李雅普诺夫第一法。
概述(4/5)
再则，对于非线性或时变系统,虽然通过一些系统转化 方法,上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用, 但是难以胜任一般系统。 现代控制系统的结构比较复杂,大都存在非线性或时变因素, 即使是系统结构本身, 往往也需要根据性能指标的要求而加 以改变,才能适应新的情况,保证系统的正常或最佳运行状态。 在解决这类复杂系统的稳定性问题时,最通常的方法是 基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论,即李 雅普诺夫稳定性定理。
从经典控制理论知道,线性系统的输入输出稳定性取 决于其特征方程的根,与初始条件和扰动都无关,而非 线性系统则不然。
李雅普诺夫稳定性的定义(2/4)
非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言的,我们很难笼 统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。 对于非线性系统,其不同的平衡态有着不同的稳定性, 故只能分别讨论各平衡态附近的稳定性。 对于稳定的线性系统,由于只存在唯一的孤立平衡态, 所以只有对线性系统才能笼统提系统的稳定性问题。
x e, 2
0 1
0 x e,3 1
平衡态(6/4)
对于孤立平衡态,总是可以通过坐标变换将其移到状态空间的 原点。 因此,不失一般性,为了便于分析,我们常把平衡态取为状 态空间的原点。 值得指出的是，由于非线性系统的李雅普诺夫稳定性具有局 部性特点,因此在讨论稳定性时,通常还要确定平衡态的稳定 邻域(区域)。
第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳 定性,而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函 数来分析判别稳定性。
由于不用解方程就能直接判别系统稳定性,所以第 二种方法称为直接法,亦称为李雅普诺夫第二法。
概述(8/5)
李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统,而且 也能用来研究 时变系统、
xe
渐近稳定 平衡态 稳定 平衡态
平衡态(4/4)
显然,对于线性定常系统 x’=Ax 的平衡态xe是满足下述方程的解。 Axe=0 当矩阵A为非奇异时,线性系统只有一个孤立的平衡态xe=0; 而当A为奇异时,则存在无限多个平衡态,且这些平衡态不 为孤立平衡态,而构成状态空间中的一个子空间。 对于非线性系统,通常可有一个或几个孤立平衡态,它们 分别为对应于式f(x,t)0的常值解。
定义5-1 动态系统 x’=f(x,t) 的平衡态是使 f(x,t)0 的状态,并用xe来表示。 从定义5-1可知,平衡态即指状态空间 中状态变量的导数向量为零向量的 点(状态)。
平衡态
平衡态
由于导数表示的状态的运动变 化方向,因此平衡态即指能够保 持平衡、维持现状不运动的状 态,如上图所示。
i
李雅普诺夫意义下的稳定性--球域(1/1)
2) 球域 以n维空间中的点xe为中心,在所定义的范数度量意义下的长 度为半径内的各点所组成空间体称为球域,记为S(xe,), 即S(xe,)包含满足||x-xe||的n维空间中的各点x。
x2
x2
x2
xe x1 2范数下球域 x1
xe x1 1范数下球域 x1 xe
x2

x1
x(0) x(0)
使得对于任意位于平衡态xe的球域 S(xe,)的初始状态x0,
当从此初始状态x0出发的状态方程的解x都位于球域 S(xe,)内, 则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳定的,
李雅普诺夫意义下的稳定性—稳定性定义(3/4)
即逻辑关系式 >0 t0 >0 x0S(xe,) t t0 x(t)S(xe,) 为真,则xe是李雅普诺夫意义下稳定的 。
本章将详细介绍李雅普诺夫稳定性的定义,李雅普诺夫 第一法和第二法的理论及应用。
概述(10/5)
本章需解决的问题: 动态系统的状态稳定性理论--李雅普诺夫稳定性 基本概念: 平衡态、李雅普诺夫稳定性、渐近稳定性、 不稳定性 重点与难点！ 基本方法:李雅普诺夫第一法、 李雅普诺夫第二法 李雅普诺夫第二法在线性定常系统的应用--李雅普诺 夫方程的求解 重点！
李雅普诺夫意义下的稳定性(1/1)
5.1.2 李雅普诺夫意义下的稳定性
在叙述李雅普诺夫稳定性的定义之前,我们先引入如下几个数 学名词和符号：
范数
球域 然后介绍
李雅普诺夫意义下的稳定性的定义。
李雅普诺夫意义下的稳定性—范数(1/2)
1) 范数 范数在数学上定义为度量n维空间中的点之间的距离。 对n维空间中任意两点x1和x2,它们之间距离的范数记为 ||x1-x2||。 由于所需要度量的空间和度量的意义的不同,相应有各种 具体范数的定义。 在工程中常用的是2-范数,即欧几里德范数,其定义式为
平衡态
平衡态(3/4)
李雅普诺夫稳定性研究的平衡 态附近(邻域)的运动变化问题。 若平衡态附近某充分小邻 域内所有状态的运动最后 都趋于该平衡态,则称该 平衡态是渐近稳定的; 若能维持在平衡态附近某 个邻域内运动变化则称为 稳定的,如上图所示。
xe
x2
xe
x1
不稳定 若发散掉则称为不稳定的, 平衡态
概述(3/5)
分析一个控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最 重要问题。 对于简单系统，常利用经典控制理论中线性定常系统 的稳定性判据。 在经典控制理论中,借助于常微分方程稳定性理论,产生 了许多稳定性判据,如劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判 据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别 系统稳定性的方法。 但这些稳定性判别方法仅限于讨论SISO线性定常系统 输入输出间动态关系,讨论的是 线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性, 未研究系统的内部状态变化的稳定性。也不能推广到时变 系统和非线性系统等复杂系统。
概述(2/5)
也可以说,系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后,系统状 态变量或输出变量的偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过 渡过程的收敛性,用数学方法表示就是
Lim x(t )
t
式中，x(t)为系统被调量偏离其平衡位置的变化量;
为任意小的规定量。
如果系统在受到外扰后偏差量越来越大,显然它不 可能是一个稳定系统。
李雅普诺夫稳定性的定义(1/4)
5.1 李雅普诺夫稳定性的定义
系统稳定性是动态系统一个重要的,可以用定量方法研究和表 示的定性指标。 它反映的是系统的一种本质特征。这种特征不随系 统变换而改变,但可通过系统反馈和综合加以控制。
这也是控制理论和控制工程的精髓。
在经典控制理论中,讨论的是在有界输入下,是否产生有界 输出的输入输出稳定性问题。
概述(5/5)
实际上 ,控制系统的稳定性,通常有两种定义方式： 外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状 态,即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定 性。 经典控制理论讨论的确有界输入有界输出稳定即 为外部稳定性 。
内部稳定性：是关于动力学系统的内部状态变化所呈 现稳定性,即系统的内部状态稳定性。
x1 x2
2 ( x x ) 1,i 2,i i 1
n
其中x1,i和x2,i分别为向量x1和x2的各分量。
李雅普诺夫意义下的稳定性—范数(2/2)
常用的n为维空间中的其他范数有: 1-范数 -范数
x1 x2 1 x1,i x2,i
i 1
n
x1 x2

max x1,i x2,i
平衡态(5/4)
例如,对于非线性系统
x1 x1 3 x x x x 1 2 2 2
其平衡态为下列代数方程组
x1 0 3 x x x 1 2 2 0
的解,即下述状态空间中的三个状态为其孤立平衡态。
0 xe,1 0