高中数学选修1-1课时作业2：3.4 生活中的优化问题举例

3．4 生活中的优化问题举例
一、基础达标
1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为() A．4 B．6
C．4.5 D．8
[答案] A
[解析]设底面边长为x，高为h，
则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝256
x2
，
∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·256
x2＝x2＋4×256
x
，
∴S′(x)＝2x－4×256
x2.
令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝256
82
＝4.
2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为()
A．0.016 2 B．0.032 4
C．0.024 3 D．0.048 6
[答案] B
[解析]依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是
0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)．
所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0<x<0.048 6)，则y′＝0.097 2kx－3kx2.
令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)．
当0<x <0.032 4时，y ′>0； 当0.032 4<x <0.048 6时，y ′<0.
所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．
3．如果圆柱截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫
l 43π D.14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π [答案] A
[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ， ∴h ＝l －4r 2，
V ＝πr 2h ＝l 2πr 2－2πr 3⎝ ⎛
⎭⎪⎫0<r <l 4.
则V ′＝l πr －6πr 2，
令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l
6，而r >0，
∴r ＝l
6是其唯一的极值点．
∴当r ＝l 6时，V 取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭
⎪⎫l 63
π.
4．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( ) A ．120 000 cm 3 B ．128 000 cm 3 C ．150 000 cm 3 D ．158 000 cm 3
[答案] B
[解析] 设水箱底边长为x cm ，则水箱高h ＝60－x
2(cm)． 水箱容积V ＝V (x )＝x 2
h ＝60x 2
－x 3
2 (cm 3)(0<x <120)．
V ′(x )＝120x －32x 2
.
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝80.
可判断得x＝80 (cm)时，V取最大值为128 000 cm3.
5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
[答案] 3
[解析]设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝27 R2，
要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋
2π·27 R ，
∴S′(R)＝2πR－54π
R2
＝0，∴R＝3，则当R＝3时，S表最小．
6．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
[答案]16
[解析]设矩形的长为x m，
则宽为16－2x
2
＝(8－x)m(0＜x＜8)，
∴S(x)＝x(8－x)＝－x2＋8x，
∴S′(x)＝－2x＋8，令S′(x)＝0，
则x＝4，
又在(0,8)上只有一个极值点且x∈(0,4)时，S(x)单调递增，
x∈(4,8)时，S(x)单调递减，故S(x)max＝S(4)＝16.
7．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
解 设版心的高为x dm ，则版心的宽为 128
x dm ，此时四周空白面积为 S (x )＝(x ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫
128x ＋2－128
＝2x ＋512
x ＋8，x >0. 求导数，得S ′(x )＝2－512
x 2.
令S ′(x )＝2－512
x 2＝0，解得x ＝16(x ＝－16舍去)． 于是宽为128x ＝128
16＝8.
当x ∈(0,16)时，S ′(x )<0；当x ∈(16，＋∞)时，S ′(x )>0. 因此，x ＝16是函数S (x )的极小值点，也是最小值点．
所以，当版心高为16 dm ，宽为8 dm 时，能使四周空白面积最小． 二、能力提升
8．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( ) A.3
2 3 cm 2 B ．4 cm 2 C ．3 2 cm 2 D ．2 3 cm 2
[答案] D
[解析] 设一个正三角形的边长为x cm ，则另一个正三角形的边长为(4－x )cm ，则这两个正三角形的面积之和为S ＝34x 2＋34(4－x )2＝3
2[(x －2)2＋4]≥23(cm 2)，故选D.
9．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是
( ) A ．150 B ．200 C ．250 D ．300
[答案] D
[解析] 由题意得，总利润
P (x )＝⎩⎨
⎧
－x 3
900＋300x －20 000，0≤x ≤390，
70 090－100x ，x >390，
令P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D.
10．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长为a 米，高为b 米．已知流出的水中该杂质的质
量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a ＝________，b ＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)． [答案] 6 3
[解析] 设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝k
ab ，其中k (k >0)为比例系数．
依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小，根据题设，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a >0，b >0)得b ＝
30－a 2＋a
(0<a <30)．
于是y ＝k ab ＝k
30a －a 22＋a
＝k (2＋a )30a －a
2
.
令y ′＝a 2k ＋4ak －60k
(30a －a 2)2
＝0 得a ＝6或a ＝－10(舍去)．
∵本题只有一个极值点，∴此极值点即为最值点．
当a ＝6时，b ＝3，即当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；
(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m
x －1. 所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x
＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋m
x (2＋x )x ＝256m x ＋m x ＋2m －256.
(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12 ＝m 2x 2(x 3
2－512)．
令f ′(x )＝0，得x 3
2＝512，所以x ＝64.
当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；
当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值．
此时n ＝m x －1＝640
64－1＝9. 故需新建9个桥墩才能使y 最小．
12．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为
20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的
最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？
解设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.
则总费用f(x)＝(kx3＋200)·a
x ＝a(kx2＋200
x)．
由已知条件，得40＝k·203，∴k＝1
200
，
∴f(x)＝a(1
200x
2＋200x)．
令f′(x)＝a(x3－20 000)
100x2
＝0，
得x＝10320.
当0<x<10320时，f′(x)<0；
当10320<x<100时，f′(x)>0.
∴当x＝10320时，f(x)有最小值，
即速度为10320 km/h时，总费用最少．
三、探究与创新
13．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间
为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π
3立方米，且
l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．
(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r . 解 (1)设容器的容积为V ，
由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3，又V ＝80π
3，
故l ＝
V －43πr 3
πr
2
＝803r 2－43r ＝43(20
r 2－r )．
由于l ≥2r ，因此0<r ≤2.
所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43(20
r 2－r )×3＋4πr 2c ，因此y ＝4π(c －2)r 2＋160π
r ，0<r ≤2.
(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160π
r 2 ＝8π(c －2)r 2(r 3－20c －2)，0<r ≤2.
由于c >3，所以c －2>0.
当r 3
－20
c －2＝0时，r ＝ 320c －2
.
令
3
20
c －2
＝m ，则m >0， 所以y ′＝8π(c －2)
r 2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)． ①当0<m <2，即c >9
2时， 令y ′＝0，得r ＝m . 当r ∈(0，m )时，y ′<0； 当r ∈(m,2)时，y ′>0，
所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．②当m≥2，
即3<c≤9
2
时，
当r∈(0,2)时，y′≤0，函数单调递减，
所以r＝2是函数y的最小值点．
综上所述，当3<c≤9
2
时，
建造费用最小时r＝2；
当c>9
2时，建造费用最小时r＝
320
c－2
.。