非稳态传热

当Bi→0时，意味着物体的热导率很
大、导热热阻→0（Bi=hδ/λ ）。物体
内的温度分布趋于均匀一致。
可以忽略导热热阻
Bi→0 是一个极限情况，工程上把Bi<0.1看作是接近这种极限 的判据。Bi<0.1时，平壁中心温度与表面温度的差别≤5%， 接近均匀一致。——可用集总参数法求解
3、 正常情况阶段的温度实用计算方法－（诺谟图）
采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并
稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内
墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢
升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等
瞬态非稳态导热特点
(a).各时间温度分布为一族曲线,各点温度变化也是一族曲线。
(b).靠近热源处升温最快,由近及远,升温幅度逐渐降低。
Φτ表示单位面积平壁在经过 ? 小时所放出(或吸收)热量
? ? ? ???? ? c(t0 ? t ( x,? ))dv (dv ? 1 ?dx)
? ???? ? c(t0 ? t? ? t ( x,? ) ? t? )dx
? ? c ???? (? 0 ? ? ( x,? ))dx
?
2 ? c?? 0[1?
02b对于f0小于02仍然需要通过下式计算得到可见p212和p213的图929与930012sin2expcos2sincosnnnnnnaxxn??????????????????精品资料表示单位面积平壁在经过小时所放出或吸收热量0002fcvttc?????????单位面积平壁非稳态导热所能传递的最大热量2热量计算xxdxx0txt012sin2expcos2sincosnnnnnnaxxn??????????????????20200002021202112sin21sincos2sin1sincosnnfnnnnnnfnnnnnncttxdvdvdxctttxtdxcxdxcee????????????????????????????????????????????????????????????????精品资料2020212sin1sincosnfnnnnnne????????????????0fbifo????由上式可知
?
a
? 2?
?x2
0 0, ? ? t0 ? t? ? ? 0 ,0 ? x ? ?
?? ? 0
?x x?0
??0
?? ??
?x x??
? h? x? ?
??0
? 解的结果
* ? (x,? )
?0
?
?
?
n?1
?n
?
2sin ? n sin ? n cos ? n
第九章 导热
第三节 非稳态导热
0.非稳态导热的基本概念
(1) 非稳态导热的定义 . t ? f (x, y, z,? )
温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律 非稳态导热的导热微分方程式：
?c
?t
??
?
? ?x
(?
??xt )
?
? ?y
(?
?t ?y
)
?
? ?z
(?
?t ?z
)
?
??
(2) 非稳态导热的分类
总是用级数计算有点烦，能不能来点简单的？ 可以，看我的
以无限大平板为例，Fo>0.2 时，取其级数首项即可
? (x,?) ?0
?
?1
?
2sin?1 sin?1 cos?1
e?
?12F0
cos(?1
?x)
?
f (Fo,Bi,?x)
(9? 63)
3、 正常情况阶段的温度实用计算方法－（诺谟图）
? (x,?) ?0
采暖房屋外墙墙内温度变化过程
内表面 外
内
外表面
各个时刻墙体内温度变化
墙内各个地点温度变化
内、外表面穿过的热流 密度变化
墙外表面与墙内表面 热流密度变化过程
二者的差值， 内表面 为墙本身温度的
升高提供的热量 外
内
外表面
各个时刻墙体内温度变化
墙内各个地点温度变化
采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变
内、外表面穿过的热流 密度变化
cos(? n
x )exp(?
?
?
2 n
a? ?2
)
βn 为下面方程的根:
ctg
?n
?
?n
Bi
是曲线族: y1 ? ctg ?
与直线:
y2 ?
?
Bi
交点
曲线族与直线的交点有多少 个? 方程的根βn有多少个? 计算时取多少个?
? 解的结果
* ?
(x,? ) ?0
?
?
?
n?1
?n
?
2sin ? n sin ? n cos ? n
? 数学描述
由于平板对称，因此只取平板的一半进行研究，以平板的 中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。
(导热微分方程) (初始条件) (温度分布对称性)
(边界条件)
为使求解能进行，引入新变量，是谁？？－－过余温度
令
? (x,? ) ? t(x,? ) ? t?
大家好，我 们见过面了
上式化为：
?? ??
n?1 n
?
2sin 2 ? n ? n sin ? n cos ? n
e ] ?
(
?
2 n
F0
)
由上式可知:
?? ?0
?
f ( Bi, Fo )
图9-31 P214
圆柱体、球体在第三类边界条件下非稳态导热
圆柱体、球体半径R ,λ=const, a=const, ?& ? 0
τ=0,t=t0 ；τ＞ 0，与流体tf 接触，壁面与流体间的表面 传热系数 h，t0 ≠t f ，外表面与流体间对流换热将使圆柱体 和球体吸热或放热，它们内部将产生温度差，且温度分布曲 线将随着时间变化。内部发生非稳态导热过程，加热（冷却） 开始。
的对数都随时间按线性规律变化，变化曲线的斜率都相等
对无限大平板，当 F0 ? 0.2 取级数的首项，误差小于1%
2、Bi数对温度分布的影响
当Bi→∞ 时，意味着表面传热系
数h→∞（Bi=hδ/λ），对流换热
热阻趋于0。平壁的表面温度几乎 从冷却过程一开始，就立刻降到流
体温度t∞。
可以忽略对流换热热阻
解：查附录14：材料的导热系数0.648 W/(M2·K)，a=15.7×10-8(m2/s)
毕渥数：
Bi ?
h? ?
?
20? 0.025 / 2 0.648
?
0.385
1 ? 2.59 Bi
傅立叶数：
Fo
?
a? ?2
?
15.7 ? 10?8 ? 1200 (0.025 / 2)2
? 1.204
查 得：
?n
?
2sin ? n sin ? n cos ? n
cos(? n
x
?
)exp(?
?
2 n
a? ?2
)
2) 热量计算
?
( x,? )
?
?0
?
?
n?1
?n
?
2sin ? n sin ? n cos
?n
cos(? n
?x )exp( ?
?
2 n
a? ?2
)
单位面积平壁非稳态导热所能传递的最大热量
? 0 ? ? cV ( t 0 ? t f ) ? 2 ? c?? 0
(c). 两个不同的阶段 非正规状况阶段 (不规则情况阶段)
正规状况阶段 (正常情况阶段)
物体内温度变化速率不 同,温度分布主要受初始 温度分布控制
物体内温度变化速率相 同,温度分布主要取决于 边界条件及物性
(d). 各等温面上传导的热流密度不再相等 (即使是最简单 的平壁),为什么?
B. 周期性非稳态导热
周期性非稳态导热 瞬态非稳态导热
A. 瞬态非稳态导热
瞬态非稳态导热：从某一初始状态起，物体内温度随时间不断升高（加热） 或降低（冷却），在经历了相当长时间后，物体内温度趋于稳定，重新与 外界达到热平衡。
瞬态非稳态导热就是指这一温度持续变化的导热过程。物体内温度重 新趋于稳定时，瞬态非稳态导热也结束。
cos(? n
x )exp(?
?
?
2 n
a? ?2
)
β取决于Bi。
毕渥准则数
傅里叶数—无量纲时间 无量纲距离
该公式是在第三类边界条件下无限大平壁冷却时得到的解， 保持过余温度的定义不变，该公式对于加热过程仍是正确的。 ---计算时，只要满足这种情况，可以直接代入使用
主要用来求解某物体突然进入某一高温或低温环境的问题
为时间常数，用 ? 表示。可用来表示测 c
温元件的反应快慢。（？）
如果导热体的热容量（ ?Vc ）小、换热条件好（h大），
那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时
间常数 ( ?Vc / hA) 小。
在周期性变化的边界条件下,物体内温度及热流量随时间周期变化
夏季 空调 房间 墙体 温度
室外空 气温度
室外墙 面温度
某时刻 温度
墙内最 高温度
平均 温度
墙内最 低温度
特点： 1）同一时刻， 周期性波动； 2）不同时刻， 同一位置 周期性波动
1. 一维非稳态导热问题的分析解
(1).无限大平壁冷却或加热的分析解简介
)
?
-?Vc
dt
d?
为什么 取负号?
1）引入过余温度: ? (? ) ? t(? ) ? t?
则有:
? ?
hA?
?
?
-?Vc d? d?
??? ? ?0 ? t0 ? t? ? ? 0
控制方程 初始条件
2）控制方程式改为：
d? ?
?
?
hA
? Vc
d?
3）解方程
d? ? ? hA d? ? ?Vc
积分 ??
? m ? 0.73 ?0
中心温度： tm ? t0 ? 0.7? 0 ? 250 ? 0.7 ? (20 ? 250) ? 89 ℃
3.集总参数法的简化分析
1 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
分析方法。此时，Bi ? 0.1 时，，温度分布只与时间有
关，即 t ? f (? ) ，与空间位置无关，因此，也称为
?
? ?n ? 1
2 n
?
2sin 2 ? n ? n sin ? n cos
?n
e ] ?
(
?
2 n
F0
)
?
?
0[1 ?
?
? ?n ? 1
2 n
?
2sin 2 ? n ? n sin ? n cos ? n
e ] ?
(
?
2 n
F0
)
-δ
t t(x,τ)
0
δx
x x+dx
?
?
?
?
0 [1?
?
? ? 2
hA ? cV ?
?W ??m2K
??????m2
??
? kg ??m3
???????kgJ?K
??[m3 ?
]
?
W J
?
1 s
6）分析
即与 1 的量纲相同
?
hA ? cV
?
?W ??m2K
??????m2
??
? kg ??m3
???????kgJ?K
??[m3 ?
]
?
W J
?
1 s
?Vc
称 hA
? 物理问题描述
厚度2δ 的无限大平壁，λ、
a为已知常数,无内热源；τ=0 时温度为t0;突然把两侧介质温
度降低为t ∞ 并保持不变,壁中温 度下降，冷却开始。壁表面与
介质之间的表面传热系数为h。
建立坐标系，Ｘ轴垂直壁面，原点在壁面中心面上。壁左 右两表面坐标＋δ、－δ。因两边对称，只研究半块平壁。
? 分析解的讨论
1、Fo≥0.2时无量纲温度可以表达为：
? ( x,? ) ?0
?
?1
?
2sin ? 1 sin ? 1 cos
?1
cos(
?1
x
?
)e ?
?
2 1
F0
(9 ? 63)
两边取对数：
Bi和位置x/δ 的函数
令
m?
?
2 1
a
?2
表明：Fo≥0.2时（τ*≥0.2δ2/a）平壁内所有各点过余温度
?
?
1
?
2sin ?1 sin?1 cos?1
e?
?12F0
cos(?1
x )
?
?
x f (Fo, Bi, )
?
(9? 63)
线算图
见图9-29
θm-平壁中心过余温度
以上两式相比：
? ( x,? ) ? m (? )
?
cos(
?1
x)
?
?
f ( Bi , x )
?
绘制其线算图 见图9-30 因此，平板中任一点的温度为
仍然令:
? (r ,? ) ? ? (r ,? ) ?m ,
?0
?m ?0
?m ? f (Bi, Fo), 查图(9-32) ?0
但是: ? (r ,? ) ? f (Bi, r ), 查图(9-33)
?m
R
在温度为250℃烘箱内烤洋山芋，洋山芋可看成5㎝的球。初始温度 是20℃。其物性可取50℃水的值，试估算20min后洋山芋中心的温度。山 芋与环境间的表面传热系数20 W/(m2·K)。
? ( x,? ) ? ? ( x,? ) ?? m
?0
?m
?0
可见P212和P213 的图9-29与9-30
解的应 A 书中的图仅适用恒温介质的第三类边界条件或第 用范围 一类边界条件的加热及冷却过程，并且F0>0.2
B 对于F0小于0.2，仍然需要通过下式计算得到
?
( x,?
)
?
?0
?
?
n?1
零维问题。
2 温度分布
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
? ? 0时，t ? t0
将其突然置于温度恒为 t? 的流 体中。to ≠t∞，h≠0
以物体被冷却时（t0>t∞ ）为例,列能量守恒方程，为：
hA(t ? t? )d? ? -?Vcdt
取物体内部和表面各 点温度均匀一致
hA(t
?
t?
分离变量
?
? ?
ln
? ? hA ?
? 0
?Vc
??
?0
d? ?
?
?
hA
?Vc
?0?
d?
?
? t ? t?
?
e?
hA ? ?Vc
?0 t0 ? t?
其中的指数：
过余温度比
hA ? ? hV ? ? A2 ? ? h(V A) ? a?
? cV ? A ? c V2
? (V A)2
27
hA ? ? h(V A) ? ? ? ? ? h(V A) ? a?