二面角习题及答案

D’
且 MN = 2a ，A'C = 3a
A
’
∴Ｓ□AMC'N = MN 1 AC' 6 a 2
2
2
由于 AMC'N 在面 ABCD 上的射影即
为正方形 ABCD A
∴ Ｓ□ABCD = a 2
∴
cos 1
a2 6 6 a2 3
2
N D
∴
1 arccos
6 3
取 CC'的中点 M'，连结 DM'
二面角
2
1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC⊥平面 ABC，PC = ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是
3
P
边长为 2 的正三角形，求二面角 P-AB－C 的大小。
解
C D
B
A
2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA⊥底面 ABC，AB⊥BC，DE 垂直平分 SC，且分别交
AC、SC 于 D、E，又 SA =AB，BS =BC， 求以 BD 为棱，BDE 与 BDC 为面的二面角的度 S
∴EO∥平面 PBC，于是点 O 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离. 作 OF⊥BC 于 F，
∵EO⊥平面 ABCD，EO∥PC，PC 平面 PBC，∴平面 PBC⊥平面 ABCD，于是 OF⊥平
面 PBC，OF 的长等于 O 到平面 PBC 的距离.
a
a33
3
由条件可知，OB＝ 2 ,OF＝ 2 × 2 ＝ 4 a，则点 E 到平面 PBC 的距离为 4 a.
易证 △SAC∽△DEC
∴ ∠CDE =∠SAC =60°
3、解：取 OC 之中点 N，则 MN∥PO
P
∵ PO⊥面 ABCD
∴ MN⊥面 ABCD 且 MN =PO/2 =2，
M
过 N 作 NR⊥BD 于 R，连 MR，
D
C
则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角
N
过 C 作 CE⊥BD 于 S
数。
解：
D
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
A
B
3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于 O 点，P 是平面
ABCD 外一点，PO⊥面 ABCD，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。
解：
P
M
D
C
N
OR S
A
B
4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且 AB =BC =BD，∠ABC =∠DBC =1200 ，求
二面角 A-BD-C 的余弦值。
A
解：
E
B
C
D
5.已知正方体 AC'，M、N 分别是 BB'，DD'的中点，求截面 AMC'N 与面 ABCD，CC'D'D
所成的角。 解：
D’
C’
A ’
N
D
B’
M C
A
B
6.如图 AC⊥面 BCD，BD⊥面 ACD，若 AC =CD =1，∠ABC =30°，求二面角 C AB D
⊥平面 A1B1C1D1 ，过 A1 作 AH⊥l 于 H，连结 AH．则 AHA1 为二面角 A l A1 的平面
tan AHA1
角．可求得
5 arctan
2 ．因此所求角的大小为
5 π arctan 2或
5 2
14
、
解
析
：
（
1
）
若
CDC
90
，
∵
AC=a
，
∴
DC
DC
1 2
a
，
∴
y0
x1 4
1 0 1 1 2 ＝ 4，
即 4x-6y-1＝0. 由点到直线的距离公式可得
4 1 6 2 1
33
11
｜HM｜＝
42 62 ＝ 6 13 ，
2 6 13 4 13
4 13
∴tgθ＝ 3 · 11 ＝ 11 ，θ＝arctg 11 .
说明 运用解析法来求 HM 的值是本例的巧妙所在. 11、分析 本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识. 解 (1)∵AC＝BC，E 为 AB 中点，∴CE⊥AB 又∵ABC—A1B1C1 为直棱柱，∴CE⊥面 AA1BB 连结 EF，由于 AB＝2AA1 ∴AA1FE 为正方形 ∴AF⊥A1E，从而 AF⊥A1C (2)设 AF 与 A1E 交于 O，连结 CO，由于 AF⊥A1E，知 AF⊥面 CEA1 ∴∠COE 即为二面角 C—AF—B 的平面角
K BB1 ，
M CC1 ， 且
BK
1 4
BB1
，
CM
3 4
CC1
.．求：平面
AKM
与
ABCD
所成角的大小．
14. 如 图 ， 将 边 长 为 a 的 正 三 角 形 ABC 按 它 的 高 AD 为 折 痕 折 成 一 个 二 面 角
C AD C ． （1）若二面角 C AD C 是直二面角，求 CC 的长； （2）求 AC 与平面 CCD 所成的角； （3）若二面角 C AD C 的平面角为 120°，求二面角 A CC D 的平面角的正切
23
∴tan∠AGO＝ OG ＝ 3 ∴∠AGO＝arctan 3 .
评析 本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法， 三垂线定理及逆定理的应用. 10、设 G 在底面 ABCD 上的射影为 H，H∈BD，
GH GB 2 ∵ D1D ＝ D1B ＝ 3
2 ∴GH＝ 3
C D
B
A
易求 ∠PAC =30°
2、解：∵ BS =BC，又 DE 垂直平分 SC S
∴ BE⊥SC，SC⊥面 BDE
∴ BD⊥SC，又 SA⊥面 ABC
D
∴ SA⊥BD，BD⊥面 SAC ∴ BD⊥DE，且 BD⊥DC
E
C
A
则 ∠EDC 就是所要求的平面角
设 SA =AB =a，
B
则 BC =SB = 2 a 且 AC = 3
∴ cos 3 3
即所求角的大小为 arccos
3
。
3
7、解：由已知条件∠BAC =90°，AB =AC，
A
设 BC 的中点设为 O，则 OA =OC = 3
BC = 2 3
B
DC BC tan 300 2 3 3 2 3
∴ AD2 AO2 OC2 CD2 2AO CD cos
(3)过 O 作 OG⊥EB 于 G，连接 AG ∵OE⊥AC，BD⊥AC ∴AC⊥平面 BDE ∴AG⊥EB(三垂线定理) ∴∠AGO 是二面角 A—EB—D 的平面角
11
3
∵OE＝ 2 PC＝ 2 a,OB＝ 2 a
OE OB 3
1
∴EB＝a.∴OG＝ EB ＝ 4 a 又 AO＝ 2 a.
AO 2 3
O
C
D
解之得：
cos 1 2
∴ 150
9、解析：(1)设 O 是 AC，BD 的交点，连结 EO. ∵ABCD 是菱形，∴O 是 AC、BD 的中点， ∵E 是 PA 的中点，∴EO∥PC，又 PC⊥平面 ABCD，
∴EO⊥平面 ABCD，EO 平面 BDE，∴平面 BDE⊥平面 ABCD. (2)EO∥PC，PC 平面 PBC，
值．
参考答案
解：由已知条件，D 是 BC 的中点
P
∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形
∴ AD =CD =BD =2
∴ D 是△ABC 之外心又在 BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB⊥AC， 又 PC⊥面 ABC ∴ PA⊥AB (三垂线定理) ∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角，
则平行四边形 DM'C'N 是四边形 AMC'N 在 CC'D'D 上的射影，
Ｓ□DM'C'M
= 1 a2 2
∴
cos 2
1 a2 2 6 a2
6 6
2
∴ 2
arccos
6 6
6. 解：作 DF⊥AB 于 F，CE⊥AB 于 E，
A
∵ AC =CD =1 ∠ABC =30°
∴ AD = 2 ，BC = 3 ，
作 HM⊥EF 于 M，连 GM，由三垂线定理知 GM⊥EF，则∠GMH＝θ就是平面 BFG 与底
GH 面 ABCD 所成的二面角的平面角，tanθ＝ HM .
下面求 HM 的值. 建立如图所示的直角坐标系，据题设可知.
12 1
1
H( 3 ， 3 )、E( 4 ，0)、F(1， 2 )
∴直线 EF 的方程为
＝2a,AC＝BC＝ 3 a.
(1)求证：AF⊥A1C (2)求二面角 C—AF—B 的大小
12 ． 如 图 ABCD A1B1C1D1 是 长 方 体 ， AB=2 ， AA1 AD 1， 求 二 平 面 AB1C 与 A1B1C1D1 所成二面角的大小．
13.
在正方体
ABCD A1B1C1D1 中 ，
OR S
1
A
B
则 RN = CE
在 Rt△BCD 中，CD·BC =BD·CE
2
∴ CE CD BC 8
BD
5
∴ RN 4 5
tan MRN MN 5 RN 2
∴ MRN arctan 5 2
4. 解：过 A 作 AE⊥CB 的延长线于 E， 连结 DE， ∵ 面 ABC⊥面 BCD ∴ AE⊥面 BCD ∴ E 点即为点 A 在面 BCD 内的射影 ∴ △EBD 为△ABD 在面 BCD 内的射影
∵AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝ 3 a
2a
2
2a
∴CE＝ 2 a,OE＝ 2 a,∴tan∠COE＝ 2 ＝2.
∴二面角 C—AF—B 的大小是 arctan2.
12、解析：∵ 平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1 ，∴ 平面 AB1C 与平面 A1B1C1D1 的交线 l 为
过点 B1 且平行于 AC 的直线．直线 l 就是二平面 AB1C 与 A1B1C1D1 所成二面角的棱．又 AA1
E
AB =2， BD = 2
在 Rt△ABC 中，
C F
C’ B’ M
C B
D
B
CE AC BC 1
3
3
，
AB
22
同理 DF AD BD 2 2 1
AB
2
∴ BF BD2 DF2 1 ∴ EF 2 1 1 1
22
AE AC2 CE 2 1 2
∴ CD2 CE 2 DF2 EF2 2EF DF cos
设 AB =a
则 AE =DE =ABsin60°=
3 a
2
∴ AD = 6 cos ABD 1 ，
2
4
15
∴ sin∠ABD =
4
∴
SABD
1 a2 2
15 4
15 a 2 8
又 BE 1 a 2
∴
SBDE
1 2
3a1a 22
3 a2 8
∴ cos SBDE 5
SABD
5
5. 解：设边长为 a，易证 ANC'N 是菱形
角 A—EB—D 的平面角大小. 解析： 10. 如图，已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1，E、F 分别在棱 AB、BC 上，G 在
1
1
对角线 BD1 上，且 AE＝ 4 ，BF＝ 2 ，D1G∶GB＝1∶2，求平面 EFG 与底面 ABCD 所成
的二面角的大小.
11. 如图，设 ABC—A1B1C1 是直三棱柱，E、F 分别为 AB、A1B1 的中点，且 AB＝2AA1
的大小。
A
解：
E D
C
F
B
7. 三棱锥 A-BCD 中，∠BAC =∠BCD =90°，∠DBC =30°，AB =AC = 6 ，AD =4，求
二面角 A-BC-D 的度数。
解：
A
O
C
B
D
9. 如图所示，四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的菱形，∠A＝60 °，PC⊥平面 ABCD，PC＝a,E 是 PA 的中点. (1)求证平面 BDE⊥平面 ABCD.(2)求点 E 到平面 PBC 的距离.(3)求二面
AE CC ， DE CC ， ∴ ∠ AED 为 二 面 角 A CC D 的 平 面 角 ， ∵
CDC
120
，
CD
CD
1 2
a
，∴
DE
1 4
a
，在
Rt△AED
中，
AD
3a 2 ，∴
tan AED AD
3a 2 2
3．
DE 1 a
4
CC 2 a 2．
（2）∵ AD DC ，AD⊥DC，∴ AD⊥平面 DCC ．∴ ACD 为 AC 与
平面
DCC
所成的角，在
Rt△
ADC
中，
DC
DC
1 2
AC
，∴
DAC
30 ，于是
ACD 60 ．
（ 3 ） 取 CC 的 中 点 E ， 连 结 AE 、 DE ， ∵ DC DC ， AC AC ， ∴