数学知识点考数学总复习 第二部分 热点题型攻略 题型五 二次函数中存在、探究问题一(pdf)【含解析】
初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理
初中数学中考复习二次函数知识点总结归纳整理二次函数是中学数学中非常重要的一个内容，也是中考数学中的重点。
下面是对初中数学中考复习二次函数知识点的总结和归纳整理。
一、二次函数的定义1. 二次函数的一般形式：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
2.二次函数的图像为抛物线，开口方向与a的正负有关。
-当a>0时，抛物线开口向上。
-当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的性质1.对称轴：二次函数的对称轴与抛物线的开口方向垂直，其方程为x=-b/2a。
2.顶点：二次函数的顶点位于对称轴上，其坐标为（-b/2a,f(-b/2a)）。
-当a>0时，顶点是抛物线的最低点。
-当a<0时，顶点是抛物线的最高点。
3. 判别式：对于二次函数y = ax² + bx + c，其判别式Δ = b² -4ac表示方程ax² + bx + c = 0的根的情况。
-当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
-当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
-当Δ<0时，方程没有实根。
4.单调性：-当a>0时，二次函数在对称轴左侧单调递增，右侧单调递减。
-当a<0时，二次函数在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增。
三、二次函数的图像特征1.a的正负决定了抛物线的开口方向。
2.，a，的大小决定了抛物线的陡峭程度，a，越大抛物线越陡峭。
3.当b=0时，抛物线经过原点。
4.当c=0时，抛物线经过x轴。
5.当a>0时，函数值在顶点处取得最小值。
6.当a<0时，函数值在顶点处取得最大值。
四、二次函数的方程求解1. 解二次方程ax² + bx + c = 0的一般步骤：- 利用判别式Δ = b² - 4ac判断方程的根的情况。
-若Δ>0，方程有两个不相等的实根，可以用求根公式x₁=(-b+√Δ)/2a和x₂=(-b-√Δ)/2a求解。
中考复习二次函数知识点,解题方法、真题.doc
2对二次函数图象和性质存在思维误区；
3忽略二次函数自变量取值范围；
4平移抛物线时，弄反方向。
5.二次函数作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系.这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.
中考复习二二次函数图像及性质；二次函数解析式的确定。
【规律方法】
1.求函数与坐标轴的交点，分别设x=0，或y=0即可。
2.二次函数的平移以及配方法求二次函数解析式顶点坐标以及交点式求二次函数解析式。抛物线平移规律：上加下减，左加右减。
【特别提醒】
2014年中考数学总复习课件_第二部分热点题型攻略(共6种题型)
例１ （’13 重庆Ａ卷）万州某运输公司的一艘轮 船在长江上航行，往返于万州、朝天门两地，假设 轮船在静水中的速度不变，长江的水流速度不变， 该轮船从万州出发，逆水航行到朝天门，停留一段 时间（卸货、装货、加燃料等），又顺水航行返回 万州，若该轮船从万州出发后所用的时间为 x（小 时），轮船距万州的距离为 y（千米），则下列各 图中，能够反映 y 与 x 之间函数关系的大致图象是 （ C）
为
④正确
热点题型攻略
【点评拓展】解答此类问题，首先要明白二次函数 的表达式中各系数所代表的意义以及系数正负和大 小对函数图象的影响：a＞0，函数开口向上，a＜0， 函数开口向下；b值的大小影响函数的开口大小，b 值越大函数开口越大；a和b值的符号同时决定了函 数图象对称轴的位置，ab＞０对称轴在x轴负半轴， ab＜０对称轴在x轴正半轴，当b＝０时，对称轴为y 坐标轴．|ｃ|值代表函数图象在y坐标轴上的截距，c ＞０时截点在y轴正半轴，c＜０时截点在y轴负半 轴．其次是要清楚二次函数的顶点坐标和对称轴的 b b 4ac b2 表达式，顶点坐标为 ( , ,对称轴为 x )
y 4a 2b c 0 ，∴③错误
热点题型攻略
∵二次函数 y ax 2 bx c 图象的对称轴
x 1 ∴点 (5, y1 ) 关于对称轴的对称 ④ √ 点的坐标是 (3, y1 ) ，根据当x 1时，y随 5 x的增大而增大，∵ 3，∴ y2 y1 ，∴ 2
考虑，分析在不同的阶段运动的变化情况，
考虑函数图象的变化规律，明白每段直线所 代表的实际意义及拐点的含义和实际情况．
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热点题型攻略
类型二 二次函数图象性质
2 y ax bx c 例 （’13 烟台）如图是二次函数
2024中考备考热点05 二次函数的图象及简单应用(8大题型+满分技巧+限时分层检测)
热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。
此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。
只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线； 对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳
二次函数与幂函数的知识点总结与题型归纳1．二次函数的定义与解析式(1) 二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)的函数叫作二次函数．(2) 二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠ 0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠ 0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠ 0)．2．二次函数的图象和性质3. 幂函数形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．4．幂函数的图象及性质(1) 幂函数的图象比较(2) 幂函数的性质比较1(1) 已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2) 已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式．(3) 已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．2． 幂函数的图象(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴，在 (1，＋ ∞) 上幂函数中指数越大，函数图象越远离 x 轴．1(2)函数 y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 2，y ＝x －1 可作为研究和学习幂函数 图象和性质的代表．题型一 求二次函数的解析式例1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是8， 试确定此二次函数．思维启迪： 确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件 灵活运用．解 方法一 设 f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∴所求二次函数解析式为 f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 设 f(x)＝a(x －m)2＋n ，a ≠ 0.∵f(2)＝f(－1)，2＋ － 1 1 1 ∴抛物线对称轴为 x ＝ 2 ＝ 2.∴m ＝ 2. 又根据题意函数有最大值为 n ＝ 8，12∴y ＝f(x)＝a (x )2 ＋8.依题意有4a ＋2b ＋c ＝－1， a －b ＋c ＝－1， 4ac －b 2 4a ＝8， a ＝－4，解之，得 b ＝4， c ＝7，∵f(2)＝－1，∴a(x 1) ＋8＝－1，解之，得a＝－ 4.2∴f(x)＝－4(x 1)2＋8＝－4x2＋4x＋7.2方法三依题意知，f(x)＋1＝0 的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0.即f(x)＝ax2－ax－2a－1.4a －2a－1 －a2又函数有最大值y max＝8，即4a＝8，解之，得a＝－4或a＝0(舍去)．∴函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．题型二二次函数的图象与性质例 2 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈［－4,6］．(1)当a＝－2 时，求f(x)的最值；(2)求实数 a 的取值范围，使y＝f(x)在区间［－4,6］上是单调函数；(3) 当a＝1 时，求f(|x|)的单调区间．思维启迪：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解：(1)当a＝－2 时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈［－4,6］，∴f(x)在［－4,2］上单调递减，在［2,6］上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在［－4,6］上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3) 当a＝1 时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈［－6,6］，x2＋2x＋3，x∈0，6］且f(x)＝2，x2－2x＋3，x∈［－6，0］∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6］，单调递减区间是［－6,0］．探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．题型三二次函数的综合应用例 3 若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋ c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间［－1,1］上，不等式f(x)>2x＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．思维启迪：对于(1)，由f(0)＝1可得c，利用f(x＋1)－f(x)＝2x恒成立，可求出a，b，进而确定f(x)的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．解(1)由f(0)＝1，得c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴ a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，2a＝2，a＝1，即2ax＋a＋b＝2x，∴∴a＋b＝0，b＝－ 1.因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)>2x＋m 等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在［－1,1］上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在［－1,1］上的最小值大于0 即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m 在［－1,1］上单调递减，∴g(x)min ＝g(1) ＝－m－1，由－m－1>0 得，m<－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式（尤其是恒成立）问题是高考命题的热点．题型四幂函数的图象和性质例 4 已知幂函数f（x）＝xm2－2m－3 （m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞ ）上是减函数，求满足（a＋1）－m3<（3－2a）－m3的 a 的取值范围．思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3<0，再结合m 是整数，及幂函数是偶函数可得m 的值．解∵函数在（0，＋∞）上递减，∴ m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，1∴m＝1.而f（x）＝x－3在（－∞，0），（0，＋∞）上均为减函数，11∴（a＋1）－3<（3 －2a）－3等价于a＋1>3－2a>0 或0>a＋1>3－2a 或 a＋1<0<3－2a.2 3 2 3解得a<－1 或3<a<2. 故 a 的取值范围为a|a<－1或3<a<2 .探究提高（1）幂函数解析式一定要设为y＝xα（α为常数的形式）；（2）可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．方法与技巧1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数 形结合来解，一般从 ①开口方向； ②对称轴位置； ③判别式； ④端点 函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时， 一般需借助于二次函数的图 象、性质求解．2． 与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax 2＋ bx ＋ c>0， a ≠ 0 恒成立的充要条件是(2)ax 2＋ bx ＋ c<0， a ≠ 0 恒成立的充要条件是3． 幂函数 y ＝x α(α∈R)，其中 α为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变 量，指数 α为常数．失误与防范1． 对于函数 y ＝ ax 2＋bx ＋ c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明 a ≠0时，就要讨论 a ＝0和 a ≠0两种情况. 2． 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象a>0 b 2－4ac<0a<0最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.。
二次函数动点问题常见题型解法探究
2023-10-28CATALOGUE 目录•引言•二次函数动点问题概述•二次函数动点问题常见题型一：直线与抛物线的交点问题•二次函数动点问题常见题型二：三角形面积最值问题CATALOGUE 目录•二次函数动点问题常见题型三：实际应用问题•二次函数动点问题解题方法总结与优化•研究结论与展望01引言二次函数动点问题在中考和高考中占据重要地位，这类问题通常以压轴题的形式出现，考察学生的综合运用能力和数学思维。
解决二次函数动点问题对于提高学生的数学成绩和培养其数学素养具有重要意义。
研究背景与意义研究目的与方法研究目的通过对二次函数动点问题的常见题型进行归纳和分类，总结出相应的解题方法和技巧，帮助学生更好地理解和掌握这类问题的解法。
研究方法采用文献综述和案例分析的方法，对二次函数动点问题的常见题型进行梳理和总结，结合具体例题进行分析和讲解，提出相应的解题策略和技巧。
02二次函数动点问题概述二次函数动点指在二次函数图像上移动的点，其坐标满足二次函数关系。
动点问题的本质是利用函数的图像和性质，解决与动点有关的问题。
二次函数动点的定义综合性强涉及的知识面广，需要综合运用数学知识。
解题思路独特需要针对不同的题型采取不同的解题思路。
变化多样动点的位置和运动轨迹不确定，导致题型变化多样。
二次函数动点问题的特点二次函数动点问题的分类按照动点的运动方式分类：匀速运动和变速运动问题。
按照动点的数量分类：单动点和多动点问题。
按照解决问题的难度分类：简单问题和复杂问题。
03二次函数动点问题常见题型一：直线与抛物线的交点问题解题思路与问题建模定义变量和方程定义直线和抛物线的方程，通常涉及两个未知数。
求解方程解方程求出交点坐标。
建立数学方程根据题目条件建立方程，通常是一个二次方程。
总结题目背景本题型主要涉及直线与抛物线的交点问题，是二次函数动点问题中的一种常见类型。
实例分析•引入实例：例如，已知抛物线y=x^2-4x+4，直线y=x+2与抛物线交于A、B两点，求A、B两点的坐标。
中考复习二次函数知识点总结
中考复习二次函数知识点总结二次函数是中考数学中的重要知识点之一、下面我将从函数的定义、图像特征、解析式以及一些常见题型进行总结，希望对中考复习有所帮助。
一、函数的定义：函数是数学中最基本的概念之一，它是描述两个集合之间对应关系的规则。
在二次函数中，我们通常用y来表示函数的值，用x表示自变量。
二、图像特征：1.开口方向：二次函数的图像在x轴上开口的方向可以通过二次项的系数（即a的正负性）来判断。
当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
2.对称轴：二次函数的图像总是关于一个垂直于x轴的直线对称。
这条直线称为二次函数的对称轴，它的方程为x=-b/(2a)。
3.顶点坐标：对称轴与二次函数图像的交点称为顶点，它的坐标为：(-b/(2a),f(-b/(2a)))4.单调性：当a>0时，二次函数图像在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；当a<0时，二次函数图像在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减。
注意：二次函数的图像开口向上时，在对称轴上有一个最小值，反之开口向下时，在对称轴上有一个最大值。
三、解析式：一般情况下，二次函数的解析式可以写成：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
特殊情况下，二次函数的解析式还有以下两种形式：1.完全平方式：y=a(x-p)^2+q，其中p、q为常数。
此时，二次函数的对称轴的方程为x=p，顶点的坐标为(p,q)。
2.二次项因式可能性：y=a(x-h)(x-k)，其中h、k为常数。
此时，二次函数的对称轴的方程为x=(h+k)/2，顶点的坐标为((h+k)/2,a(h+k)/4)。
四、常见题型：1.求顶点坐标：根据二次函数的解析式，可以直接读出顶点的坐标。
2.求对称轴方程：根据二次函数的解析式，可以直接读出对称轴的方程。
3.求图像开口方向：判断二次项的系数a的正负性即可。
4.求单调性：根据图像特征可以判断。
5. 求零点：令y=0，解方程ax^2+bx+c=0即可。
中考数学热点题型专练二次函数含解析
热点09 二次函数【命题趋势】中考中对二次函数的考查除定义、识图、性质、求解析式等常规题外,还会出现与二次函数有关的贴近生活实际的应用题,阅读理解和探究题,二次函数与其他函数方程、不等式、几何知识的综合题在压轴题中出现的可能性很大． 【满分技巧】一、二次函数表达式的确定 步骤:（1）设二次函数的表达式；（2）根据已知条件,得到关于待定系数的方程组；（3）解方程组,求出待定系数的值,从而写出函数的表达式． 二、二次函数的实际应用（1）利用二次函数解决实际生活中的利润问题,应理清变量所表示的实际意义,注意隐含条件的使用,同时考虑问题要周全,此类问题一般是运用“总利润=总售价－总成本”或“总利润=每件商品所获利润×销售数量”,建立利润与价格之间的函数关系式；（2）最值:若函数的对称轴在自变量的取值范围内,顶点坐标即为其最值,若顶点坐标不是其最值,那么最值可能为自变量两端点的函数值；若函数的对称轴不在自变量的取值范围内,可根据函数的增减性求解,再结合两端点的函数值对比,从而求解出最值． 三、二次函数的图象与几何图形的关系将函数知识与几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将问题转化函数模型,善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,并注意挖掘题目中的一些隐含条件． 【限时检测】（建议用时:30分钟） 一、选择题 1．抛物线y =﹣21(23)2x -+1的顶点坐标为 A ．（3,1） B ．（﹣3,1） C ．（32,1） D ．（﹣32,1） 【答案】C【解析】∵抛物线y =﹣21(23)2x -+1中,2x ﹣3=0时,x =32,故抛物线y =﹣21(23)2x -+1的顶点坐标为:（32,1）． 故选C ．2．对于函数y =–2（x –3）2,下列说法不正确的是 A ．开口向下 B ．对称轴是3x = C ．最大值为0 D ．与y 轴不相交【答案】D【解析】对于函数y =–2（x –3）2的图象,∵a =–2<0,∴开口向下,对称轴x =3,顶点坐标为（3,0）,函数有最大值0, 故选项A 、B 、C 正确,选项D 错误, 故选D ．3．若二次函数y =|a |x 2+bx +c 的图象经过A （m ,n ）、B （0,y 1）、C （3-m ,n ）、D ,y 2）、E （2,y 3）,则y 1、y 2、y 3的大小关系是A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 3<y 1【答案】D【解析】∵经过A （m ,n ）、C （3-m ,n ）,∴二次函数的对称轴x =32,∵B （0,y 1）、D ,y 2）、E （2,y 3）与对称轴的距离B 最远,D 最近,∵|a |>0, ∴y 1>y 3>y 2,故选D ．4．当x =a 和x =b （a ≠b ）时,二次函数y =2x 2﹣2x +3的函数值相等、当x =a +b 时,函数y =2x 2﹣2x +3的值是 A ．0 B ．﹣2 C ．1 D ．3【答案】D【解析】∵当x =a 或x =b （a ≠b ）时,二次函数y =2x 2﹣2x +3的函数值相等, ∴以a 、b 为横坐标的点关于直线x =12对称,则122a b +=,∴a +b =1, ∵x =a +b ,∴x =1,当x =1时,y =2x 2﹣2x +3=2﹣2+3=3,故选D ． 5．若函数y =（m ﹣1）x 2﹣6x +32m 的图象与x 轴有且只有一个交点,则m 的值为A ．﹣2或3B ．﹣2或﹣3C ．1或﹣2或3D ．1或﹣2或﹣3【答案】C【解析】当m =1时,函数解析式为:y =﹣6x +32是一次函数,图象与x 轴有且只有一个交点, 当m ≠1时,函数为二次函数, ∵函数y =（m ﹣1）x 2﹣6x +32m 的图象与x 轴有且只有一个交点, ∴62﹣4×（m ﹣1）×32m =0, 解得,m =﹣2或3,故选C ． 6．将抛物线2yx 向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为A ．2(2)3y x =++B ．2(2)3y x =-+C ．2(2)3y x =+-D ．2(2)3y x =--【答案】B【解析】抛物线y =x 2先向右平移2个单位长度,得:y =（x –2）2；再向上平移3个单位长度,得:y =（x –2）2+3．故选B ．7．反比例函数k y x=的图象如图所示,则二次函数y =2kx 2﹣4x +k 2的图象大致是A ．B ．C．D．【答案】D【解析】∵函数kyx=的图象经过二、四象限,∴k<0,由图知当x=﹣1时,y=﹣k<1,∴k>﹣1,∴抛物线y=2kx2﹣4x+k2开口向下,对称轴为x=﹣422k-⨯=1k,﹣1<1k<0,∴对称轴在﹣1与0之间,∵当x=0时,y=k2>1．故选D．8．已知两点A（﹣5,y1）,B（3,y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上,点C（x0,y0）是该抛物线的顶点．若y1<y2≤y0,则x0的取值范围是A．x0>﹣1 B．x0>﹣5C．x0<﹣1 D．﹣2<x0<3【答案】A【解析】∵点C（x0,y0）是该抛物线的顶点．且y1<y2≤y0,∴a<0,x0﹣（﹣5）>|3﹣x0|,∴x0>﹣1．故选A．9．（福建省厦门市集美区2019年初中毕业班总复习练习（二模）数学试题）二次函数y=x2+bx﹣t的对称轴为x=2．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0在﹣1<x<3的范围内有实数解,则t的取值范围是A．﹣4≤t<5 B．﹣4≤t<﹣3C．t≥﹣4 D．﹣3<t<5【答案】A【解析】∵抛物线的对称轴x =2b -=2, ∴b =﹣4,则方程x 2+bx ﹣t =0,即x 2﹣4x ﹣t =0的解相当于y =x 2﹣4x 与直线y =t 的交点的横坐标, ∵方程x 2+bx ﹣t =0在﹣1<x <3的范围内有实数解, ∴当x =﹣1时,y =1+4=5, 当x =3时,y =9﹣12=﹣3, 又∵y =x 2﹣4x =（x ﹣2）2﹣4,∴当﹣4≤t <5时,在﹣1<x <3的范围内有解． ∴t 的取值范围是﹣4≤t <5, 故选A ．10．已知抛物线()()1y x a x a =+--（a 为常数,0a ≠）．有下列结论:①抛物线的对称轴为12x =；②方程()()11x a x a +--=有两个不相等的实数根；③抛物线上有两点P （x 0,m ）,Q （1,n ）,若m n <,则001x <<,其中,正确结论的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【解析】∵()()1y x a x a =+--=x 2–x –a 2–a ,∴对称轴为直线x =121--⨯=12． ∴①正确,∵()()1x a x a +--=x 2–x –a 2–a =1, ∴x 2–x –a 2–a –1=0,∴∆=（–1）2–4×1×（–a 2–a –1）=1+4a 2+4a +4=（2a +1）2+4>0,∴方程（x +a ）（x –a –1）=1有两个不相等的实数根； ∴②正确,∵P （x 0,m ）,Q （1,n ）在抛物线上,∴m =x 02–x 0–a 2–a ,n =12–1–a 2–a =–a 2–a , ∵m <n ,∴x02–x0–a2–a<–a2–a,∴x02–x0<0,∴x0（x0–1）<0∵x0>x0–1,∴x0>0且x0–1<0,即0<x0<1,∴③正确,综上所述:正确的结论有①②③,共3个,故选D．11．如图,抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2,与x轴的一个交点在（﹣3,0）和（﹣4,0）之间,其部分图象如图所示则下列结论:①4a﹣b=0；②c<0；③c>3a；④4a﹣2b>at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣72,y1）,（﹣52,y2）,（312y,）是该抛物线上的点,则y2<y1<y3,其中,正确结论的个数是A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=﹣2,∴4a﹣b=0,所以①正确；∵与x轴的一个交点在（﹣3,0）和（﹣4,0）之间,∴由抛物线的对称性知,另一个交点在（﹣1,0）和（0,0）之间, ∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,即c<0,故②正确；∵由②知,x=﹣1时y>0,且b=4a,即a﹣b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c>0,所以③正确；由函数图象知当x=﹣2时,函数取得最大值,∴4a ﹣2b +c ≥at 2+bt +c ,即4a ﹣2b ≥at 2+bt （t 为实数）,故④错误； ∵抛物线的开口向下,且对称轴为直线x =﹣2, ∴抛物线上离对称轴水平距离越小,函数值越大, ∴y 2>y 1>y 3,故⑤错误,故选C ． 二、填空题12．二次函数2245y x x =--+的最大值是__________．【答案】7【解析】222452(1)7y x x x =--+=-++, 即二次函数245y x x =--+的最大值是7, 故答案为:7．13．已知函数y =﹣x 2+2x ﹣2图象上两点A （2,y 1）,B （a ,y 2）,其中a >2,则y 1与y 2的大小关系是__________．（填“<”“>”或“=”） 【答案】>【解析】y =﹣x 2+2x ﹣2=﹣（x ﹣1）2﹣1, 对称轴x =1,∵A （2,y 1）,B （a ,y 2）,其中a >2, ∴点A 与B 在对称轴的右侧, ∵–1<0,∴x >2时,y 随x 的增大而减小, ∴y 1>y 2, 故答案为:>．14．已知抛物线y =ax 2+bx +c （a >0）的对称轴是直线x =2,且经过点P （3,1）,则a +b +c 的值为__________．【答案】1【解析】∵抛物线y =ax 2+bx +c （a >0）的对称轴是直线x =2, ∴P （3,1）对称点坐标为（1,1）, ∴当x =1时,y =1, 即a +b +c =1, 故答案为:1．15．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =5的一个根是2,且二次函数y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线x =2,则抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点坐标为__________． 【答案】（2,5）【解析】∵二次函数y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线x =2,方程ax 2+bx +c =5的一个根是2, ∴当x =2时,y =ax 2+bx +c =5, ∴抛物线的顶点坐标是（2,5）． 故答案为:（2,5）．16．将抛物线y =2（x ﹣1）2+3绕它的顶点旋转180°后得到的抛物线的函数表达式为__________．【答案】y =﹣2（x ﹣1）2+3【解析】抛物线y =2（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1,3）,由于抛物线y =2（x ﹣1）2+3绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变,只是开口方向相反, 则所得抛物线解析式为y =﹣2（x ﹣1）2+3, 故答案为:y =﹣2（x ﹣1）2+3．17．如图,若被击打的小球飞行高度h （单位:m ）与飞行时间t （单位:s ）之间具有的关系为2205h t t =-,则小球从飞出到落地所用的时间为__________s ．【答案】4【解析】依题意,令0h =得:∴20205t t =-, 得:(205)0t t -=,解得:0t =（舍去）或4t =, ∴即小球从飞出到落地所用的时间为4s ,故答案为:4． 三、解答题18．已知抛物线224y x x c =-+与x 轴有两个不同的交点．（1）求c 的取值范围；（2）若抛物线224y x x c =-+经过点()2,A m 和点()3,B n ,试比较m 与n 的大小,并说明理由．【解析】（1）()2244816 8b ac c c -=--=-,由题意,得240b ac ->, ∴16 80c ->,∴c 的取值范围是2c <． （2）m n <,理由如下: ∵抛物线的对称轴为直线1x =, 又∵20a =>,∴当1x ≥时,y 随x 的增大而增大, ∵23<,∴m n <．19．已知抛物线26y x x c =-++．（1）若该抛物线与x 轴有公共点,求c 的取值范围；（2）设该抛物线与直线21y x =+交于M ,N 两点,若MN =,求C 的值；（3）点P ,点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点,PA QB ，都垂直于x 轴,垂足分别为A ,B ,若OPA OQB △≌△,求c 的取值范围．【解析】（1）∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点, ∴一元二次方程260x x c -++=有实根．240b ac ∴∆=-,即264(1)0c -⨯-⨯．解得9c -．（2）根据题意,设()()1122,21,,21M x x N x x ++由2621y x x cy x ⎧=-++⎨=+⎩,消去y ,得2410x x c -+-=①． 由2(4)4(1)1240c c ∆=---=+>,得3c >-．∴方程①的解为1222x x ==()()()()22221212122121520(3)MN x x x x x x c ∴=-++-+=-=+⎡⎤⎣⎦, 20(3)20c ∴+=,解得2c =-．（3）设点P 的坐标为(, )m n ,则点Q 的坐标为(,)n m ,且0,0,m n m n >>≠,2266m m c n n n c m⎧-++=∴⎨-++=⎩,两式相减,得227()0n m m n -+-=,即()(7)0m n m n -+-= 7m n ∴+=,即7n m =-2770m m c ∴-+-=,其中07m <<由0∆,即274(1)(7)0c -⨯-⨯-,得214c -． 当214c =-时,72m n ==,不合题意． 又70c ->,得7c <． ∴c 的取值范围是2174c -<<． 20．我市某超市销售一种文具,进价为5元/件．售价为6元/件时,当天的销售量为100件．在销售过程中发现:售价每上涨0.5元,当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x 元/件（x ≥6,且x 是按0.5元的倍数上涨）,当天销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）要使当天销售利润不低于240元,求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%,要想当天获得利润最大,每件文具售价为多少元？并求出最大利润．【解析】（1）由题意,y =（x -5）（100-60.5x -×5）=-10x 2+210x -800, 故y 与x 的函数关系式为:y =-10x 2+210x -800． （2）要使当天利润不低于240元,则y ≥240, ∴y =-10x 2+210x -800=-10（x -10.5）2+302.5=240, 解得,x 1=8,x 2=13,∵-10<0,抛物线的开口向下,∴当天销售单价所在的范围为8≤x ≤13． （3）∵每件文具利润不超过80%, ∴50.8x x-≤,得x ≤9, ∴文具的销售单价为6≤x ≤9,由（1）得y =-10x 2+210x -800=-10（x -10.5）2+302.5, ∵对称轴为x =10.5,∴6≤x ≤9在对称轴的左侧,且y 随着x 的增大而增大,∴当x =9时,取得最大值,此时y =-10（9-10.5）2+302.5=280,即每件文具售价为9元时,最大利润为280元．21．如图,已知抛物线经过点A （–1,0）,B （4,0）,C （0,2）三点,点D 与点C 关于x 轴对称,点P 是线段AB 上的一个动点,设点P 的坐标为（m ,0）,过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ,交直线BD 于点M ．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）在点P 运动过程中,是否存在点Q ,使得△BQM 是直角三角形？若存在,求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由；（3）连接AC ,将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°,得到△A 1O 1C 1,点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“和谐点”,请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标．【解析】（1）设抛物线解析式为y =ax 2+bx +c ,将点A （–1,0）,B （4,0）,C （0,2）代入解析式,∴001642a b c a b c c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩,∴1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴y =–212x +32x +2． （2）∵点C 与点D 关于x 轴对称,∴D （0,–2）．设直线BD 的解析式为y =kx –2．∵将（4,0）代入得:4k –2=0,∴k =12． ∴直线BD 的解析式为y =12x –2．当P 点与A 点重合时,△BQM 是直角三角形,此时Q （–1,0）； 当BQ ⊥BD 时,△BQM 是直角三角形,则直线BQ 的直线解析式为y =–2x +8,∴–2x +8=–21x 2+32x +2,可求x =3或x =4（舍）, ∴x =3；∴Q （3,2）或Q （–1,0）．（3）两个和谐点； AO =1,OC =2,设A 1（x ,y ）,则C 1（x +2,y –1）,O 1（x ,y –1）,①当A 1、C 1在抛物线上时,∴()2213222131(2)2222y x x y x x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩, ∴13x y =⎧⎨=⎩, ∴A 1的横坐标是1；当O 1、C 1在抛物线上时,()22131222131(2)2222y x x y x x ⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩, ∴12218x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴A 1的横坐标是12．。
二次函数知识点总结归纳及考查重点与常见题型
二次函数知识点归纳及考查重点与常见题型一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y a x b x c=++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y a x b x c=++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y a x c =+的性质：上加下减。
3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。
4. ()2y ax h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y ax h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或mc bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或cm x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y ax h k =-+与2y a x b x c =++的比较 从解析式上看，()2y ax h k =-+与2y a x b x c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b a c b y a xa a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b a c b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y a x b x c=++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y a x b x c =++化为顶点式2()y a x h k=-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y a x b x c=++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b a c b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b a c b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a<-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y a x b x c=++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a xxxx =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y a x b x c=++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c=++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y a x b x c=---； ()2y ax h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y ax h k =---； 2. 关于y 轴对称2y a x b x c=++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y a x b x c=-+； ()2y ax h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y ax h k =++； 3. 关于原点对称 2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y a x b x c=-+-；()2y ax h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y ax h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by a x b x c a=--+-； ()2y ax h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y ax h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称()2y ax h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20a x b x c ++=是二次函数2y a x b x c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b a c ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A xB x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200a x b xc a ++=≠的两根．这两点间的距离21A B x x =-② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y a x b x c=++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2y a x b x c=++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)a xb xc a++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：2y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)22-32十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
中考数学复习二次函数知识点总结
中考数学复习二次函数知识点总结二次函数是中学数学中的重要内容，也是考试中常见的题型之一、在复习二次函数时，需要掌握其基本概念、性质、图像和应用等方面的知识。
下面是关于二次函数的知识点总结。
一、基本概念1.二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，且a为二次函数的二次系数。
2.二次函数的导数与二次系数的关系二次函数的导数为一次函数，二次系数a决定了导数的单调性，当a>0时，导数在整个定义域上单调递增；当a<0时，导数在整个定义域上单调递减。
3.二次函数的对称轴二次函数的对称轴是二次函数的图像关于该轴对称的直线。
对称轴的方程为x=-b/2a，其中a、b是二次函数的系数。
4.二次函数的顶点二次函数的顶点是二次函数的图像的最低点或最高点，对称轴上的点。
顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标为代入对称轴横坐标得到的纵坐标。
二、性质1.零点性质二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的零点是方程ax²+bx+c=0的解，当方程有解时，二次函数与x轴交于两点，也可能与x轴重合。
2.二次函数图像的开口方向当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
3.二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标。
4.判别式二次函数方程ax²+bx+c=0的判别式Δ=b²-4ac可以判断二次函数方程的解的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等实数解；当Δ=0时，方程有两个相等实数解；当Δ<0时，方程没有实数解。
三、图像1.开口向上的二次函数图像特点开口向上的二次函数图像在顶点处为最小值，两侧递增；对称轴为y 轴且在第四象限，二次系数a为正数。
2.开口向下的二次函数图像特点开口向下的二次函数图像在顶点处为最大值，两侧递减；对称轴为y 轴且在第一象限，二次系数a为负数。
二次函数知识点、考点、典型试题集锦（带详细解析答案）
⼆次函数知识点、考点、典型试题集锦（带详细解析答案）⼆次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)⼀、中考要求：1．经历探索、分析和建⽴两个变量之间的⼆次函数关系的过程，进⼀步体验如何⽤数学的⽅法描述变量之间的数量关系．2．能⽤表格、表达式、图象表⽰变量之间的⼆次函数关系，发展有条理的思考和语⾔表达能⼒；能根据具体问题，选取适当的⽅法表⽰变量之间的⼆次函数关系．3．会作⼆次函数的图象，并能根据图象对⼆次函数的性质进⾏分析，逐步积累研究函数性质的经验．4．能根据⼆次函数的表达式确定⼆次函数的开⼝⽅向，对称轴和顶点坐标．5．理解⼀元⼆次⽅程与⼆次函数的关系，并能利⽤⼆次函数的图象求⼀元⼆次⽅程的近似根．6．能利⽤⼆次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进⾏预测．⼆、中考卷研究(⼀)中考对知识点的考查：:(⼆)中考热点：⼆次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容，本章主要考查⼆次函数的概念、图象、性质及应⽤，这些知识是考查学⽣综合能⼒，解决实际问题的能⼒．因此函数的实际应⽤是中考的热点，和⼏何、⽅程所组成的综合题是中考的热点问题．三、中考命题趋势及复习对策⼆次函数是数学中最重要的内容之⼀，题量约占全部试题的10％～15％，分值约占总分的10％～15％，题型既有低档的填空题和选择题，⼜有中档的解答题，更有⼤量的综合题，近⼏年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近⽣活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应⽤题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和⽅法，全⾯地考查学⽣的计算能⼒，逻辑思维能⼒，空间想象能⼒和创造能⼒。
针对中考命题趋势，在复习时应⾸先理解⼆次函数的概念，掌握其性质和图象，还应注重其应⽤以及⼆次函数与⼏何图形的联系，此外对各种函数的综合应⽤还应多加练习. ★★★(I)考点突破★★★考点1：⼆次函数的图象和性质⼀、考点讲解：1．⼆次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为⼆次函数． 2．⼆次函数的图象及性质：⑴⼆次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是⼀条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开⼝向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开⼝向下，顶点是最⾼点；a 越⼩，抛物线开⼝越⼤．y=a(x －h)2＋k 的对称轴是x=h ，顶点坐标是（h ，k ）。
《二次函数》章节知识点复习建议
《二次函数》章节知识点复习建议作为初中阶段数学学习的主要内容，二次函数是函数内容中最重要、也是学生掌握、灵活运用最困难的部分，其概念、性质、图像与其他数学知识有着广泛的联系，在实际生活和生产应用中，具有鲜明的数学模型作用，因此二次函数在各地中考试卷中普遍分量较重。
本人根据连续10年任教毕业班的经验认为：在进行二次函数的复习教学中，应立足于初中数学函数教学的地位，着眼于中考方向，根据学生对二次函数的学习及掌握情况，从梳理知识点出发采用以习题带知识点的形式，上好复习课。
一、中考目标要求1、直接考查二次函数的图象与性质：利用对二次函数的概念、性质和图象特征的认识，从题目所给的条件和图象中获取信息，凭借抽象、联想、类比等手段，转化为二次函数系数的关系理解，会用描点法画出二次函数的图象，或根据二次函数的性质画出二次函数的草图，或从图象上认识二次函数的性质，重点考查“数形结合”等数学思想。
2、结合已知条件（代数的或几何的）确定解析式：通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，灵活考查函数关系式的建立和转化能力，是目前中考中常见要求。
关键是结合题目中的已知条件和数学语言描述，领会题意并运用掌握的代数、几何知识解决问题。
3、结合实际问题背景考查二次函数的建模：此类问题多结合现实背景，考生需要将题目中的语句转化为数学语言，利用二次函数建立函数模型，解决简单的实际问题。
4、综合考查函数知识和函数思想：主要体现在与方程、不等式知识的横向联系，动态几何问题的应用及侧重函数的意义、性质、思想和方法等方面。
以二次函数为背景的压轴题综合性强，涉及初中数学的函数、几何作图、方程、相似形等知识，结合动态问题、存在性问题、最值问题等方面，能最大限度的调动考生的综合应变能力、计算能力；对提高学生的分析、判断能力起到其他知识不能替代的作用，具有较好的区分度和选拔功能。
二、学生应掌握的知识要点1、形如y＝ax2＋bx＋c （a、b、c是常数，a≠0）的函数，那么y叫做x的二次函数。
(完整word版)二次函数知识点总结和题型总结
二次函数知识点总结和题型总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵a b c，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．例题：例1、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。
练习、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围 为 。
二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
c的性)2h的性4.()2y a x h k=-+的性质：二次函数的对称轴、顶点、最值如果解顶点式－则最值果解析般式y=ax2+bx+c则最值为4ac-b24a）1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。
2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴6．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ 。
三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质例题：1．抛物线y=x 2+4x+9的对称轴是 。
中考数学复习二次函数知识点
中考数学复习二次函数知识点二次函数是数学中的重要概念，它在高中数学以及各类数学竞赛中都有广泛的应用。
了解和掌握二次函数的知识点对于中考数学复习非常重要。
以下是关于二次函数的知识点的详细介绍：一、二次函数的定义和基本形式二次函数是指形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c是实数且a ≠ 0。
其中，a 称为二次函数的二次项系数，b 称为一次项系数，c 称为常数项。
二次函数的图像是一个拱形，开口的方向由二次项系数a的正负决定，当a>0时，图像开口朝上；当a<0时，图像开口朝下。
二、二次函数的顶点二次函数的顶点是图像的最高点或最低点，它的横坐标为x=-b/2a，纵坐标为y=f(-b/2a)。
顶点是对称轴x=-b/2a上的一个点，它将图像分为两部分。
三、二次函数的轴对称性二次函数的图像关于对称轴x=-b/2a对称，即对称轴左侧和右侧的部分是相同的。
四、二次函数的平移与伸缩在二次函数的基本形式上，通过变换可以得到平移和伸缩后的二次函数。
(1) 平移：将二次函数的图像沿着 x 轴或 y 轴平移。
在标准的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 上平移 h 个单位，得到 f(x-h) = a(x-h)^2 + b(x-h) + c。
(2) 伸缩：将二次函数的图像横向或纵向拉长或缩短。
在标准的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 上横向伸缩为 y = a(x-h)^2 + k。
五、二次函数的解析式二次函数的解析式是对二次函数 y = ax^2 + bx + c 进行化简得到的表达式。
(1) 一般形式：y = ax^2 + bx + c(2)顶点式：y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)是函数的顶点坐标。
(3)因式分解式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2是函数的零点或根。
(4)标准式：y=a(x-p)(x-q)，其中p和q是函数的零点或根。
新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳 第5讲 基本初等函数、函数与方程(解析版)
第5讲 基本初等函数、函数与方程[考情分析] 1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现．基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质． 【知识要点】1．一次函数：y ＝kx ＋b (k ≠0)(1)定义域为R ，值域为R ； (2)图象如图所示，为一条直线；(3)k ＞0时，函数为增函数，k ＜0时，函数为减函数；(4)当且仅当b ＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数． (5)函数y ＝kx ＋b 的零点为⋅-kb2．二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方，函数的解析式可以变形为⋅-++=a b ac ab x a y 44)2(22 (1)定义域为R ：当a ＞0时，值域为),44[2+∞-a b ac ；当a ＜0时，值域为]44,(2ab ac --∞；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为abx 2-=，顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --．当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下． (3)当a ＞0时，]2,(a b --∞是减区间，),2[+∞-ab是增区间； 当a ＜0时，]2,(a b --∞是增区间，),2[+∞-ab是减区间． (4)当且仅当b ＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．(5)当判别式∆＝b 2－4ac ＞0时，函数有两个变号零点aacb b 242-±-；当判别式∆＝b 2－4ac ＝0时，函数有一个不变号零点ab 2-； 当判别式∆＝b 2－4ac ＜0时，函数没有零点． 3．指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1) (1)定义域为R ；值域为(0，＋∞)．(2)a ＞1时，指数函数为增函数；0＜a ＜1时，指数函数为减函数； (3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数．(1)定义域为(0，＋∞)；值域为R．(2)a＞1时，对数函数为增函数；0＜a＜1时，对数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为1．5．幂函数y＝xα(α∈R)幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．要注意：因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象．根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．6．指数与对数(1)如果存在实数x ，使得x n ＝a (a ∈R ，n ＞1，n ∈N ＋)，则x 叫做a 的n 次方根． 负数没有偶次方根．),1()(+∈>=N n n a a n n ；⎩⎨⎧=为偶数时当为奇数时当n a n a a nn|,|,)( (2)分数指数幂，)0(1>=a a a n n；,0()(>==a a a a n m m n nm n ，m ∈N *，且nm为既约分数)． *N ,,0(1∈>=-m n a aanm nm ，且nm为既约分数)． (3)幂的运算性质a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，a 0＝1(a ≠0)．(4)一般地，对于指数式a b＝N ，我们把“b 叫做以a 为底N 的对数”记为log a N ， 即b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)． (5)对数恒等式：Na alog ＝N ．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)； 底的对数是1，1的对数是0． (7)对数的运算法则及换底公式：N M NMN M MN a a aa a a log log log ;log log )(log -=+=； M M a a log log αα=； bNN a a b log log log =.(其中a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1，M ＞0，N ＞0).【复习要求】1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，21,1x y xy ==这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．函数的图象 在函数图象上，定义域、值域、对应关系、单调性、奇偶性和周期性一览无遗．因此，快速准确地作出函数图象成为学习函数的一项基本功，而读图也从“形”的角度成为解决函数问题及其他相关问题的一种重要方法．【知识要点】作函数图象最基本的方法是列表描点作图法．常用的函数图象变换有：1．平移变换y＝f(x＋a)：将y＝f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移｜a｜个单位可得．y＝f(x)＋a：将y＝f(x)的图象向上(a＞0)或向下(a＜0)平移｜a｜个单位可得．2．对称变换y＝－f(x)：作y＝f(x)关于x轴的对称图形可得．y＝f(－x)：作y＝f(x)关于y轴的对称图形可得．3．翻折变换y＝｜f(x)｜：将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴的上方，其他部分不变即得．y＝f(｜x｜)：此偶函数的图象关于y轴对称，且当x≥0时图象与y＝f(x)的图象重合．【复习要求】1．能够在对函数性质作一定的讨论之后，用描点法作出函数的图象．2．能够对已知函数y＝f(x)的图象，经过适当的图象变换得到预期函数的图象．3．通过读图能够分析出图形语言所表达的相关信息(包括函数性质及实际意义)，运用数形结合的思想解决一些与函数有关的问题．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼1．指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同．2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．【例题分析】1.＝（）A．2B．C．D．﹣2【考点】有理数指数幂及根式．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用根式与有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质求解即可．【解答】解：原式＝．故选：B．【点评】本题考查了有理数指数幂及根式的运算，主要考查了有理指数幂的互化以及有理指数幂的运算性质，属于基础题．2.函数y＝2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，1]D．[0，1）【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【答案】C【分析】本题可利用指数函数的值域．【解答】解：∵y＝2x（x≤0）为增函数，且2x＞0，∴20＝1，∴0＜y≤1．∴函数的值域为（0，1]．故选：C．【点评】本题考查的是函数值域的求法，关键是要熟悉指数函数的单调性，本题计算量极小，属于容易题．3.如果函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（）A．b＜﹣1B．﹣1＜b＜0C．0＜b＜1D．b＞1【考点】指数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．【答案】B【分析】利用函数图象的平移变换，得到关于b的不等式，再求出b的范围．【解答】解：∵函数f（x）＝3x+b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，∴函数f（x）＝3x+b是由函数f（x）＝3x的图象向下平移|b|个单位长度得到，且|b|＜1，又∵图象向下平移，∴b＜0，∴﹣1＜b＜0，故选：B．【点评】本题主要考查了函数图象的平移变换，是基础题．函数的最值最大值与最小值是研究变量问题时常需要考虑的问题，也是高中数学中最重要的问题之一．函数的最大值、最小值问题常与实际问题联系在一起．函数的最值与值域在概念上是完全不同的，但对于一些简单函数，其求法是相通的． 【知识要点】本节主要讨论两类常见的函数最值的解决方法及其应用．1．基本初等函数在特定区间上的最值(或值域)问题．解决这类问题的方法是：作出函数图象，观察单调性，求出最值(或值域)．2．一些简单的复合函数的最值问题．解决这类问题的方法通常有： (1)通过作出函数图象变成第1类问题； (2)通过换元法转化成第1类问题； (3)利用平均值定理求最值；(4)通过对函数单调性进行讨论进而求出最值．其中讨论单调性的方法可以用单调性定义或导数的知识(导数的方法在后面相应章节复习)； (5)转化成几何问题来求解，如线性规划问题等． 【复习要求】从整体上把握求函数最值的方法，明确求最值的一般思路．函数与方程【知识要点】1．如果函数y ＝f (x )在实数a 处的值等于零，即f (a )＝0，则a 叫做这个函数的零点． 函数零点的几何意义：如果a 是函数y ＝f (x )的零点，则点(a ，0)一定在这个函数的函数图象上，即这个函数与x 轴的交点为(a ，0)． 2．零点的判定如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是不间断的，而且f (a )f (b )，则这个函数在区间[a ，b ]上至少有一个零点．这也是二分法的依据．注意：上述判定零点的方法只是判断零点存在的充分条件．这种判定零点方法主要适用于在无法对函数进行作图而且也不易对函数所对应的方程求根的情况下．如果可以画出函数的图象(这时判断函数零点的方法将是非常直观的)，如果函数所对应的方程可以求根，那么就可以用“作图”和“求根”的方法判断零点． 3．用二分法求函数y ＝f (x )，x ∈D 零点的一般步骤为：第一步、确定初始区间，即在D 内取一个闭区间[a ，b ]，使得f (a )f (b )＜0； 第二步、求中点及其对应的函数值，即求)(21b a x +=＜0以及f (x )的值，如果f (x )＝0，则计算终止，否则进一步确定零点所在的区间；第三步、计算精确度，即计算区间的两个端点按给定的精确度取近似值时是否相等，若相等，则计算终止，否则重复第二步．【复习要求】1、结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2、能够用二分法求相应方程的近似解．考点二函数的零点核心提炼判断函数零点个数的方法：(1)利用零点存在性定理判断法．(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法【例题分析】1.函数f（x）＝﹣lnx的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（e，+∞）【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【答案】B【分析】由函数的解析式可得f（2）•f（3）＜0，再利用函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．【解答】解：∵函数满足f（2）＝＞0，f（3）＝1﹣ln3＜0，∴f （2）•f（3）＜0，根据函数的零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选：B ．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 2.已知函数f （x ）＝﹣log 2x ，在下列区间中，函数f （x ）有零点的是（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，4）D ．（4，+∞）【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用． 【答案】B【分析】首先判断函数f （x ）＝﹣log 2x 在（0，+∞）上是减函数，且连续；从而由零点的判定定理判断即可．【解答】解：易知函数f （x ）＝﹣log 2x 在（0，+∞）上是减函数，且连续； f （1）＝1﹣0＝1＞0，f （2）＝﹣1＝﹣＜0； 故函数f （x ）有零点的区间是（1，2）； 故选：B ．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用及零点的判定定理的应用，注意掌握基本初等函数的性质．3.函数24,0()(),0x x f x g x x ⎧->=⎨<⎩是奇函数，则函数()f x 的零点是 2± ．【答案】2±．【考点】函数的零点；函数奇偶性的性质与判断【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算 【分析】由已知函数解析式及奇函数的对称性即可求解． 【解答】解：当0x >时，()240x f x =-=， 解得，2x =，根据奇函数的对称性可知，2x =-也是函数()f x 的零点， 故答案为：2±．【点评】本题主要考查了函数零点的求解，属于基础题．考点3 函数零点的判定定理 【例题分析】1.在下列区间中，存在函数3()2f x lnx x =-+的零点的是( )A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】AD【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据题意，求出函数的导数，分析()f x 的单调区间，由函数零点判断定理依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，3()2f x lnx x =-+，其定义域为(0,)+∞，其导数11()1xf x x x -'=-=，在区间(0,1)上，()0f x '>，()f x 为增函数， 在区间(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 为减函数， 依次分析选项：对于A ，()f x 在1(0,)2上递增，2222111311()022f ln e e e e =-+=--<，1113()12022222ef ln ln ln =-+=-=>，在()f x 在1(0,)2上存在零点，A 正确，对于B ，()f x 在1(2，1)上递增，1()1202f ln =->，f （1）3111022ln =-+=>，在()f x 在1(2，1)上不存在零点，B 错误，对于C ，()f x 在(1,2)上递减，f （1）102=>，f （2）31222022ln ln =-+=->， 在()f x 在(1,2)上不存在零点，C 错误， 对于D ，()f x 在(2,3)上递减，f （2）1202ln =->，f （3）33333022ln ln =-+=-<， 在()f x 在(2,3)上存在零点，D 正确， 故选：AD ．【点评】本题考查函数的零点判断定理，解题的关键是确定区间端点对应的函数值异号，属于基础题．2.函数2()2log f x x x =-+的零点所在的一个区间是( ) A ．(4,5) B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)【答案】D【考点】函数零点的判定定理【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】由函数解析式，判断f （1）f （2）0<，由零点的存在性定理进行分析求解即可． 【解答】解：因为2()2log f x x x =-+， 所以f （1）212log 110=-+=-<， f （2）222log 210=-+=>，所以f （1）f （2）0<，由零点的存在性定理可得，函数2()2log f x x x =-+的零点所在的一个区间是(1,2)． 故选：D ．【点评】本题考查了函数零点的问题，主要考查了函数零点的存在性定理的应用，属于基础题．3.利用二分法求方程20lnx x +-=的近似解，已求得()2f x lnx x =+-的部分函数值的数据如表：A ．1.55B ．1.62C ．1.71D ．1.76【答案】A【考点】函数零点的判定定理【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理【分析】利用表格中的数据，在结合零点的存在性定理进行分析求解即可． 【解答】解：根据表中的数据可得，(1.5)0.0945f =-，(1.5625)0.0088f =， 故函数()f x 的零点在区间(1.5,1.5625)之间， 只有1.55符合要求． 故选：A ．【点评】本题考查了函数零点的求解，涉及了零点存在性定理的应用，解题的关键是熟练掌握函数零点的存在性定理，属于基础题． 函数零点与方程根的关系 【例题分析】1.已知函数2,12()1,21log x x f x x x <⎧⎪=⎨>⎪-⎩，若方程()0f x a -=至少有两个实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1)B ．(0，1]C ．[0，2)D ．[0，2]【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；数形结合；转化思想；演绎法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算【分析】首先将问题转化为两个函数交点个数的问题，然后数形结合即可确定实数a的取值范围．【解答】解：原问题等价于函数y a与函数()f x至少有两个交点，绘制函数图象如图所示，观察可得，实数a的取值范围是(0,1)．故选：A．【点评】本题主要考查由函数的零点个数求参数的方法，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，属于基础题．2.若方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则实数b的取值范围是．【考点】函数的零点；函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理．【答案】（2，+∞）∪{0}．．【分析】根据函数与方程之间的关系，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数y＝|2x﹣2|的图象如图：要使方程|2x﹣2|＝b有一个零点，则函数y＝|2x﹣2|与y＝b有一个交点，则b＞2或b＝0，故实数b的取值范围是b＞2或b＝0，即（2，+∞）∪{0}．故答案为：（2，+∞）∪{0}．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，作出函数图象，利用数形结合是解决本题的关键，是基础题．3.已知关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，且212x x =，则实数a 的值是() A ．5 B ．6 C ．7 D ．15【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】方程思想；转化法；高考数学专题；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据条件可得3log (10)(010)x a a =±<<，然后由212x x =，得到33log (10)2log (10)a a +=-或33log (10)2log (10)a a -=+，再求出a 的值．【解答】解：关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，∴由|310|x a -=，可知010a <<，3log (10)(010)x a a ∴=±<<，关于x 的方程|310|x a -=有两个不同的实根1x ，2x ，且212x x =， 33log (10)2log (10)a a ∴+=-或33log (10)2log (10)a a -=+ 210(10)a a ∴+=-或210(10)a a -=+，6a ∴=±或15a =±，又010a <<， 6a ∴=．故选：B ．【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查了方程思想和转化思想，属基础题．。
中考二轮复习微专题探究——含参数的二次函数中对称轴、区间、函数值之间的关系探究
中考二轮复习微专题探究含参数的二次函数中对称轴㊁区间㊁函数值之间的关系探究刘长松１㊀陈㊀超２(１.江苏省苏州高新区实验初级中学锦峰路校区ꎬ江苏苏州２１５０００ꎻ２.江苏省苏州高新区实验初级中学金山路校区ꎬ江苏苏州ꎻ２１５０００)摘㊀要:微专题的复习具有短小㊁精炼㊁实战性强等特点ꎬ文章以含参数的二次函数中对称轴㊁区间㊁函数值之间的关系为例ꎬ列举了四类基本问题:定轴定区间㊁定轴动区间㊁动轴定区间㊁动轴动区间.重点解决定轴动区间㊁动轴定区间㊁动轴动区间问题ꎬ复习巩固数形结合㊁分类讨论等思想方法ꎬ学会寻找关键界点ꎬ对照图形㊁分类讨论㊁动中取静ꎬ体会 数缺形时少直观ꎬ形少数时难入微 的数形结合思想方法ꎬ感受数学的运动美㊁对称美.关键词:二次函数ꎻ对称轴ꎻ区间ꎻ函数值ꎻ分类讨论中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０２－００２０－０３收稿日期:２０２３－１０－１５作者简介:刘长松(１９８２.９－)ꎬ男ꎬ江苏省盐城人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事初中数学教学研究.基金项目:本文系江苏省苏州市教育科学 十四五 规划课题 深度学习视角下初中数学微专题设计的实践研究 的阶段性成果(项目编号:２０２１/Ｃ/０２/０１９/０３)㊀㊀二次函数问题一直是中考的热点问题ꎬ其中函数的取值范围及最值问题一直是困扰学生的难点ꎬ此类问题的突破也是困扰一线教师的难点.这类问题往往穿插在综合题中ꎬ有很强的区分度和选拔功能ꎬ对学生的空间想象㊁数形结合能力要求比较高ꎬ如何依据条件合理分类讨论是关键.笔者以近５年江苏省乃至全国各地的中考试题为例ꎬ分析含参数的二次函数的区间㊁对称轴㊁函数值的关系问题ꎬ以期抛砖引玉ꎬ供读者参考.１问题背景含参数的二次函数问题主要是指二次函数关系式中含有参数或者给定的区间中含有参数.这类问题形式多样ꎬ常见的题型有:求参数的值或范围㊁讨论二次函数的最值㊁解含参数的二次不等式㊁不等式的恒成立问题㊁一元二次方程的根的分布情况㊁二次函数的图像与直线的交点个数问题等ꎬ这类问题属于高中二次函数知识点在初中的渗透.近些年在江苏省内外的中考中时常出现ꎬ如南京２０２１年第２６题㊁２０２０年第１６题㊁２０１７年第２６题ꎻ南通２０２１年第２６题㊁２０２０年第２５题㊁２０１９年第２６题㊁２０１８年第２６题ꎻ扬州２０１７年第８题ꎻ泰州２０２１年第２５题㊁２０１８年第２４题ꎻ北京２０２１年第２６题㊁２０２０年第２５题㊁２０１９年第２６题㊁２０１８年第２６题ꎻ大连２０２１年第２６题㊁２０２０年第２５题㊁２０１９年第２６题㊁２０１８年第２６题ꎻ杭州２０２１年第２２题㊁２０２０年第２２０２题㊁２０１９年第２２题㊁２０１８年第２２题ꎬ等等.２常见题型２.１定轴定区间问题例１㊀如图１ꎬ已知二次函数ｙ＝ｘ２－４ｘ－５. (１)当－１ɤｘɤ０时ꎬｙ的取值范围是㊀㊀ꎻ(２)当３ɤｘɤ４时ꎬｙ的取值范围是㊀㊀ꎻ(３)当０ɤｘɤ３时ꎬｙ的取值范围是㊀㊀ꎻ(４)当－５ɤｙɤ０时ꎬｘ的取值范围是㊀㊀ꎻ图１㊀例１题图请说一说二次函数的对称轴和区间之间的关系[１].本题给定了二次函数的表达式ꎬ从两个不同角度设计问题ꎬ一是已知自变量ｘ的取值范围求对应的函数值ｙ的取值范围ꎻ二是已知函数值ｙ的取值范围求对应的自变量ｘ的取值范围.共设置了４个小问题ꎬ分别是ｘ的取值范围都在对称轴的同侧(左侧或右侧)ꎬ取值范围从对称轴左侧增加到对称轴右侧ꎬ包含顶点的这种情况.设计问题(１)(２) (３)的目的是为了引导学生在已知ｘ的取值范围时ꎬ要分两种情况讨论ꎬ即在对称轴同侧和异侧ꎬ对于异侧的这种情况要找三个界点来确定函数值的取值范围.初步让学生感知对称轴确定时如何求函数值的取值范围.设计问题(４)的目的是感知函数值ｙ的取值范围一定时ꎬｘ会有两部分取值范围ꎬ进一步感受二次函数的对称美.２.２定轴动区间问题例２㊀已知二次函数ｙ＝ｘ２－４ｘ－５. (１)当ｍɤｘɤｍ＋１(ｍ为常数)时ꎬ函数的最小值为１ꎬ则ｍ＝ꎻ(２)若此二次函数在０ɤｘɤｍ(ｍ为常数且ｍ>０)的图像的最高点与最低点的纵坐标之差为ｈꎬ写出ｈ关于ｍ的函数关系式[２].本题已给定二次函数的表达式ꎬ由二次函数的性质易知其对称轴为直线ｘ＝２ꎬ问题(１)中给定的ｘ的取值范围是一个随着ｍ的变化而变化的动区间ꎬ在这个动区间里ꎬ函数值最小值为１ꎬ如何引导学生思考怎样确定参数ｍ的取值是关键.问题(２)中ｘ的取值范围为０ɤｘɤｍꎬ而对称轴为直线ｘ＝２ꎬ所以函数图象经过一组对称点(０ꎬ－５)ꎬ(４ꎬ－５).参数ｍ的取值需要分三种情况进行讨论ꎬ即０ɤｍɤ２ꎬ２<ｍɤ４ꎬｍ>４.２.３动轴定区间问题例３利用二次函数的性质解答下列问题: (１)已知二次函数ｙ＝ｘ２－２ｍｘ－３(ｍ为常数)ꎬ当ｘ<１时ꎬｙ随ｘ的增大而减小ꎬｍ的范围是㊀㊀. (２)二次函数ｙ＝ｘ２－２ｍｘ＋２ｍ２(ｍ为常数)ꎬ当２ɤｘɤ５时ꎬｙ的最小值为１ꎬｍ＝㊀㊀.本题涉及的取值范围属于一个定区间ꎬ但是二次函数关系式中含有参数ｍꎬ从而二次函数图象的对称轴是随着参数ｍ的变化而变化的动轴.在问题(１)中ꎬ当ｘ<１时ꎬｙ随ｘ的增大而减小ꎬ由二次函数的性质易求得它的对称轴是直线ｘ＝ｍꎬ而此抛物线开口向上ꎬ可以确定对称轴在直线ｘ＝１的右侧ꎬ进而可得参数ｍ的取值范围ꎻ在问题(２)中ꎬ二次函数图象的对称轴是直线ｘ＝ｍꎬ它是一条动直线ꎬ而给定的区间是２ɤｘɤ５ꎬ它是一个定区间ꎬ因此可以分为三种情况进行分类讨论:①当ｍɤ２ꎬｘ＝２时ꎬｙ取得最小值１ꎻ②当２<ｍ<５ꎬｘ＝ｍ时ꎬｙ取得最小值１ꎻ③当ｍȡ５ꎬｘ＝５时ꎬｙ取得最小值１.２.４动轴动区间问题例４㊀如图２ꎬ点ＡꎬＢꎬＣ都在抛物线ｙ＝ａｘ２－２ａｍｘ＋ａｍ２＋２ｍ－５(－１４<ａ<０)上ꎬＡＢʊｘ轴ꎬøＡＢＣ＝１３５ʎꎬ且ＡＢ＝４[３].(１)抛物线的顶点坐标为㊀㊀.(用含ｍ的代１２图２㊀例４题图数式表示)ꎻ(２)әＡＢＣ的面积为㊀㊀.(用含ａ的代数式表示)ꎻ(３)若әＡＢＣ的面积为２ꎬ当２ｍ－５ɤｘɤ２ｍ－２时ꎬｙ的最大值为２ꎬ则ｍ＝㊀㊀.本题是二次函数综合题ꎬ主要考查二次函数图象上点的坐标特征㊁等腰直角三角形的性质㊁一元二次方程的解法及二次函数最值的求法ꎬ解决本题的关键是:①利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式ꎻ②利用参数求出点Ｃ的坐标ꎻ③分别按ｍ<２ꎬ２ɤｍɤ５及ｍ>５三种情况进行分类讨论.２.５二次函数图象与直线的交点个数问题在含参数的二次函数问题中ꎬ二次函数图象与直线的交点个数问题也是近年中考的热点问题.例５㊀已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象经过(－２ꎬ１)ꎬ(２ꎬ－３)两点.(１)求ｂ的值ꎻ(２)设点(ｍꎬ０)是该函数的图象与ｘ轴的一个公共点.当－１<ｍ<３时ꎬ结合函数的图象ꎬ直接写出ａ的取值范围[４].本题主要考查二次函数的图象与性质ꎬ解决本题的关键在于理解二次项系数ａ对函数图象的影响ꎬ包括开口方向和开口大小ꎬ都要熟记于心ꎬ否则问题(２)很难正确解答ꎻ在问题(２)中ꎬ将(ｍꎬ０)代入ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ中ꎬ写出判别式的值ꎬ根据图象经过(－２ꎬ１)ꎬ(２ꎬ－３)两点ꎬ分－１<ｍ<２和２<ｍ<３两种情况讨论即可.例６㊀已知二次函数ｙ＝ｘ２－４ｘ＋３ａ＋２(ａ为常数).在同一平面直角坐标系中ꎬ若该二次函数的图象在ｘɤ４的部分与一次函数ｙ＝２ｘ－１的图象有两个交点ꎬ求ａ的取值范围.本题是由南通市２０１９年中考题改编而来的ꎬ可根据二次函数的图象与一次函数ｙ＝２ｘ－１的图象有两个交点ꎬ则方程ｘ２－４ｘ＋３ａ＋２＝２ｘ－１的判别式Δ>０ꎬ易求得ａ<２.将ｘ＝４和代入ｙ＝２ｘ－１ꎬ求得函数值ｙ＝７.将(４ꎬ７)代入ｙ＝ｘ２－４ｘ＋３ａ＋２ꎬ可得到关于ａ的一元一次方程ꎬ解方程即可求得ａ＝５３.根据题意求出ａ的取值即可.本题主要考查二次函数的图象和性质㊁一次函数的性质㊁一元二次方程的根的判别式㊁一元一次方程的解法等知识ꎬ其综合性较强ꎬ具有一定的难度.３结束语中考二轮复习是一个非常关键的总结提升阶段.二轮复习不是单纯地做练习㊁讲练习ꎬ教师要深度把握中考的方向ꎬ研究中考命题规律ꎬ从学生的实际情况出发ꎬ提高复习的效率ꎬ总结出一些适合学生的学习方法.微专题就是一种很好的形式ꎬ精炼实用.这样的研究任重道远ꎬ需要一线教师系统地研究规律㊁总结方法ꎬ要善于对题型进行归类ꎬ善于引导学生进行分析㊁探索㊁归纳和总结ꎬ培养学生的思维能力ꎬ从而使学生逐步掌握自主的学习方法.参考文献:[１]施海鹰.中考复习:二次函数的考点剖析[Ｊ].科学大众(科学中考)ꎬ２０２１(８):２１－２３.[２]于彬ꎬ单雪梅.一题ꎬ一类ꎬ一课:以 二次函数专题复习铅垂高模型 为例[Ｊ].中学数学ꎬ２０２１(２４):３４－３５.[３]程国云.含有参数的二次函数最值问题[Ｊ].试题与研究(教学论坛)ꎬ２０１６(２６):１６－１９.[４]吕梅英.认清本质抓关键:浅析２０１２年中考二次函数考点[Ｊ].中学数学ꎬ２０１２(２４):６１－６２.[责任编辑:李㊀璟]２２。
中考数学复习知识点专题讲解9---二次函数考点探究
是( ) A．a＞0 B．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大 C．c＜0 D．3 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的一个根 考点二、利用二次函数图象判断 a，b，c 的符号 【例 2】如图，是二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，给出下列命题：
①a＋b＋c＝0；②b＞2a；③ax2＋bx＋c＝0 的两根分别为－3 和 1；④a－2b＋c＞0.其 中正确的命题是__________．(只要求填写正确命题的序号)
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点 A(1,0)及点 B.
(第 5 题图) (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象，写出满足 kx＋b≥(x－2)2＋m 的 x 的取值范围． 6．已知：如图，抛物线 y＝a(x－1)2＋c 与 x 轴交于点 A(1－ 3，0)和点 B，将抛 物线沿 x 轴向上翻折，顶点 P 落在点 P′(1,3)处．
3. ∴抛物线的解析式为 y＝－ 3(x－2)2＋ 3. 解法二：设这个抛物线的解析式为 y＝ax2＋bx＋c，由已知抛物线经过 A(1,0)，
B(3,0)，C(2， 3)三点，
a＋b＋c＝0， 得9a＋3b＋c＝0，
4a＋2b＋c＝ 3，
a＝－ 3， 解这个方程组，得b＝4 3，
c＝－3 3.
∴抛物线的解析式为 y＝－ 3x2＋4 3x－3 3.
(1)求原抛物线的解析式； (2)学校举行班徽设计比赛，九年级 5 班的小明在解答此题时顿生灵感：过点 P′作 x 轴的平行线交抛物线于 C，D 两点，将翻折后得到的新图象在直线 CD 以上的部分去 掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为 W，“W”图案似大鹏展翅，寓意 深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分
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)*+,
# $ % 0 4 & ) %& / !4 是常数" ! $ # ! "# 怀化 已知函数 ' % $ ! " " 若该函数的图象与 & 轴只有一个交点$ 求 4 的 $ $ 值( $ ! % " 若点 7! " $4 " 在某反比例函数的图象上$ 要使 $ $ # % 04 & ) %& / 都是 ' 该反比例函数和二次函数 ' $ % $ 随& 的增大而增大$求 4 应满足的条件以及 & 的取 $ $ 值范围( $ # % $ 0 4 & ) %& / 与& !& ! # " 设抛物线 ' 轴交于 2 " $( "$3 $ % $ % % 在' 轴上$是否存 !& & & "! % $(" 两点$且 & " 4 % $& " / % 0 $ $ $使+2 3 9是直角三角形- 若存在$求出点 9 在点 9 $ 及+2 3 9的面积 直 线 运 动$ 经 过 < $ %' " 秒 时 恰 好 使 $ 9 L为等腰三角形$请求出满足条件的 < 值! +3 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 第 & 题图 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 中$二次函数 ' : ' 0 $ * ! "$ 常州 在平面直角坐标系 & $ " % # 轴交于点 2 / & / % 的图象与 & $3 ! 点 3在点 ) & $ % % $ $ 轴交于点 5 过动点 C 2的左侧"$与 ' ! !($* " 作平行 $ " # % $ 于& 轴的直线 E 与二次函数 ' $直线 E 0) & / & % % $ $ / % 的图象相交于点 6 $@ ! $ ! " " 写出点 2 $点 3的坐标( $ $ 轴相 ! % " 若 *3 ( $以 6 @为直径作2L $当2L与 & $ 切时$求 *的值( $ $ ! # " 直线 E $ 使得 +2 5 A是等腰 上是否存在一点 A $ 直角三角形- 若存在$ 求 * 的值( 若不存在$ 请说 $ $ 明理由! $ $ $ $ $ $ $ $ $ 第 * 题图 $
" " " $ " 思路分析 $ 根据抛物线过原点 故为 ' !& 形式 将点 3的坐 " " !!!! 标代入抛物线 ' !& 直接可求解" "
针对演练
& " '
" 解1二次函数的图象的顶点在原点 " " 2可设二次函数的解析式为 ' !& " $ $ " $ 代入 ' !& 得!- " 将点 3 ( ( " $ " - &" " 2二次函数的解析式为 ' ( " >的长度用点 $的坐标表示出 " " 思路分析 通过勾股定理将 $ 8 的长度用 $点坐标表示出来可以得到二者相等 根据等 " 来将 $ " 边对等角和平行线性质可以说明结论" " $ " - & 上 " 证明1点 $在抛物线 ' ( " $ " " 2可设点 $的坐标为 & & ( " $ " " 如解图过点 $作 $ 4 轴于点 4 则 4 >- & & $ $ 4& )' ( " " $ " $ " " J $ >中$ >- & & $ " 4 & - & 4 $ '4 " 2在 I ( ( " 8 垂直于直线 ' -& $ " 1$ $ " " 2$ 8- & 4 $ ( " " 2$ >$ 8 " 2*$ > 88 > " *$ " 又1$ 8 轴 +' " I8 > *$ " 2*8> " 2*$ > 88 > I * " 2> 8 平分*7 > $ " " 难点突破 本题第 " 问证明角平分线是本题的难点 而在解决此 " >的长进而得到 '$ > 8 为等腰三角形 " 难点时通过作辅助线求出 $ " 是突破该难点的关键" " . 思路分析 由 " 知 $ >-$ 8 若 '$ > 8 为等边三角形 故 $ > " $ 8 > 8 用点 $ 的坐标表示 > 8 根据 $ 8 > 8 列方程可求解 " " $ 8 是等边三角形时*$ 8 >,# # " 解 当 ' > " 2*> 8 I.# # " 在I J > I中8 >"> I"8 "(" '8 " 1 $ > $ 8 > 8 " " 2$& " 4 $( ( " " 解得 & -A "槡 . " $ $ " " 2 & - 8 $" . ( ( " " 2满足条件的点 $的坐标为 " 槡 . . 或 & "槡 . . " "" " $ 思路分析 由图易知抛物线的顶点坐标是原点 # # 因此抛 " " 物线解析式中一次项系数 常数项都是 # 可以设抛物线的解析式 " 形式 代入抛物线经过的另一点坐标 即可确定其解析 " 为 '-!& " 式 " 点 $在抛物线上设点 $横坐标是 *则纵坐标满足函数解 " 析式点 $到点 3 # " 的距离可以运用 * 的代数式表示出来 比 " 即是圆的半径 与点 $的坐标的大小关系 即可解答 较这个距离 " 8 9是等腰三角形应当分 8 9是等腰三角形的底边或等腰 " . '3 " 三角形的一条腰进行分类讨论 注意构造直角三角形 运用勾股定 " 理求相关线段的长度" " " $ 解根据题意抛物线的顶点为原点 ) # " 2( " " 2可设抛物线的解析式为 ' !& " " $ $ ! 则 !槡 ! - " 代入点槡 $, $, " " 1抛物线开口向上 # " 2! <
$ ! "% 衡阳 如图所示$ 已知抛物线的顶点为坐标 $ $矩形 2 3 5 6的顶点 2 $6在抛物线上$且 2 6$ 原点 : $ $2 3的中点 @在 & 平行 & 轴 $交 ' 轴于点 A 轴上$3$ $ ! "$ # " 在抛物线上运动! 点的坐标为 ! % $" " $ 点 9 $ ! 点 9异于点 : " $ $ ! " " 求此抛物线的解析式( $ ! % " 过点 9作 5 3所在直线的垂线$垂足为点 G $ $ $ A0 9 G ( !求证#9 $ $ 使得 +9 A G为等边三角形- 若 $ "是否存在点 9 存在$求出点 9的坐标(若不存在$请说明理由( $ $ A交抛物线于另一点 L $ 过 L作 3 5所在 $ #延长 9 $ 直线的垂线$垂足为 ?$试判断+G ?A的形状! $ $ $ $ $ $ $ $ 第 $ 题图 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ & ! "$ 张家界 如图$ 在平面直角坐标系中$ :为坐 $ $ % 0 "& / # & / ) ! "#( " 过 : '3 '5三 $ 标原点$抛物线 ' $ %$ "' 点 $3 '5坐标分别为 ! "( $( " 和 ! $ ) " $ 以 : 3$ & & $ 为直径的22经过 5点$直线 E 垂直 & 轴于 3点! $ $ ! " " 求直线 3 5的解析式( $ ! % " 求抛物线解析式及顶点坐标( $ $3 " $ 过点 7$ ! # " 点 7 是 22上一动点 ! 不同于 : $ 作22的切线$ 交 ' 轴于点 @ 于点 A $ 交直线 E $设 $ 线段 7 @长为 * $7 A长为 %$请猜想 * ,% 的值$并 $ $ 证明你的结论( $ ! $ " 若点 9从 :出发$以每秒一个单位的速度向点 $ $ 3作直线运动$点 L同时从 3出发$以相同速度向 $
$ $ " ! "$ 贺州 二次函数图象的顶点在原点 : $经过点 $ $ " $ 轴上$ 直线 ' 2 ! " $ " (点 A ! ( $" " 在 ' 0) "与' $ $ $ ! 轴交于点 C $ ! " " 求二次函数的解析式( $ 轴的垂 $ ! % " 点 9是! " " 中图象上的点$ 过点 9作 & $ 线与直线 ' 0) " 交于点 7$求证#A 7 平分3: A 9 ($ ! # " 当+A 9 7 是等边三角形时$求 9点的坐标! $ $ $ $ $ $ $ $ $ 第 " 题图 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ % % ! "$ 长沙 如图$抛物线 ' 0 "& / # & / ) ! "$ # $) 是$ $ "$ $ 轴$且经过! ( $( " 和! 槡 常数$"#( " 的对称轴为 ' $ " " 两点$ 点 9在该抛物线上运动$ 以点 9为圆心 $ "* $ $ ! ( $% " ! 的29总经过定点 2 $ 的值( ! " " 求 " $# $) $ ! % " 求证# 在点 9运动的过程中$ 29始终与 & 轴$ $ 相交( $ ! # " 设29与 & !& 轴相交于 7! & " $( " $ 8 % $( " ! & " 4$ $ & 7 8为等腰三角形时$ 求圆心 9的 $ % " 两点 $当 + 2 $ 纵坐标! $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 第 % 题图 $ $