杭二高三热身考数学试卷2018.6.1

绝密★考试结束前
杭州二中2018届高三热身考
数学试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：
1．答题前务必将自己的姓名,准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。

参考公式：
球的表面积公式：2
4S R =π ，球的体积公式： 343R V π=（其中R 表示球的半径）
锥体的体积公式：13
V Sh =（其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高）
柱体的体积公式：V sh =（其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱的高）
台体的体积公式：()
1213
V h S S =（其中12S S ，分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高） 如果事件
A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+
第Ⅰ卷 选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。

1．已知集合{ 1 2 }P x x =-≤<，集合5
{ 0 }2
Q x x =<≤，则P Q =( ) A ．5[1,]2- B ．(0,2) C ．[1,2)- D ．5
(2,]2
2．已知数列{}n a 是等比数列，其公比为q ，则“1q >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若m //,,,n m n αβαβ⊥⊥⊥则
B ．若m //,,,αβα⊥⊥则n m n //β
C ．若m //,,αβ⊥n m //,αβ⊥则n
D ．若m //,,αβ⊥n m //,α则n //β
4．已知整数．．x ，y 满足27025>0+-≥⎧⎨
+-⎩，
，
x y x y 则34x y +的最小值是( ) A ．19 B ．17 C ．16 D ．14
5．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A ．
2 B ．22 C ．2 D ．22
6．若随机变量ξ满足(1)4E ξ-=，(1)4D ξ-=，则下列说法正确的是( )
A ．4,4E D ξξ=-=
B ．3,3E D ξξ=-=
C ．4,4E
D ξξ=-=- D ．3,4
E D ξξ=-=
7．如图，可导函数()=y f x 在点()()
00,P x f x 处的切线为():=l y g x ，设()()()=-h x f x g x ，则下列说法正确的是（ ）
A ．()00'0,==h x x x 是()h x 的极大值点
B ．()00'0,==h x x x 是()h x 的极小值点
C ．()00'0,≠=h x x x 不是()h x 的极值点
D ．()00'0,≠=h x x x 是()h x 的极值点
8．如图，已知椭圆22
1:111+=x C y ，双曲线()22222:10,0-=>>x y C a b a b
， 若以1C 的长轴为直径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且1C 与该
渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率为( ) A ．5 B ．5 C ．17 D ．
7
14
2 9．已知△ABC 的顶点A ∈平面α，点B C ，在平面α同侧，且2AB =，3AC =，若AB ，AC 与α所成
角分别为
,36
ππ
，则线段BC 长度的取值范围为( ) A ．[231]-， B ．[17]， C ．[77+23]， D ．[17+23]，
10．设函数2()min{|2|,,|2|}f x x x x =-+，其中min{,,}x y z 表示,,x y z 中的最小者．下列说法错误．．
的( )
A ．函数()f x 为偶函数
B ．若[1,)x ∈+∞时，有(2)()f x f x -≤
C ．若x R ∈时，(())()f f x f x ≤
D ．若[]4,4x ∈-时，|()2|()f x f x -≥
第Ⅱ卷 非选择题部分（共110分）
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11．若复数z 满足(12)3i z i -⋅=+（i 为虚数单位），则z = ；||z = ．
12
112
2
俯视图
侧视图
正视图
12．已知α∈R ，10
sin 2cos αα+=
，则tan α= ；tan2α= ． 13．已知多项式6222910
012910(1)(31)...x x a a x a x a x a x ++=+++++，则0a = ；
2a = ．
14．在ABC ∆中，,,A B C 角所对的边分别为,,a b c ，已知3
A π
∠=， 7a =， 5b =，点D 满足2BD DC =，
则c =__________； AD =__________．
15．有6张卡片分别写有数字1,1,1,2,3,4,从中任取3张,可排出不同的三位数的个数是______．(用数字作答) 16．已知点M 为单位圆2
2
1x y +=上的动点，点O 为坐标原点，点A 在直线2x =上，则AM AO ⋅的最
小值为 ． 17．已知函数2
()22f x x mx m =-++,()g x mx m =-，若存在实数0x R ∈，使得0()0f x <且0()0
g x <同时成立，则实数m 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共5小题，共74分）
18．（本题14分）已知函数()()sin 0,0,,2π
ωϕωϕ⎛
⎫
=+>><∈ ⎪⎝
⎭
f x A x A x R 的部分图象如图． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式．
（Ⅱ）求函数()f x 在区间50,12π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最值，并求出相应的x 值．
19．（本题15分）如图，在圆锥PO 中，已知2=PO ，⊙O 的直径2=AB ，点C 在AB 上，且
,30 =∠CAB D 为AC 的中点.
（Ⅰ）证明：AC ⊥平面POD ；
（Ⅱ）求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值.
20．（本题15分）已知函数()x x
x x f ln 2
2++=
， （Ⅰ）求曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：()0>x f .
21．（本题15分）如图，已知圆()2
224C x y +-=：，抛物线D 的顶点为(0,0)O ，准线的方程为1y =-，
()00,M x y 为抛物线D 上的动点，,过点M 作圆C 的两条切线与x 轴交于A,B.
（Ⅰ）求抛物线D 的方程；
(Ⅱ) 若04y >，求△MAB 面积S 的最小值.
22．（本题15分）已知正项数列．．．．
{}n a 满足2*1
111,()1
n n n na a a n N na ++==∈+. （Ⅰ）求2a 的值；
（Ⅱ）求证：110n n a a n
+<-<； （Ⅲ）求证：*
ln(n+1) ()n a n N >∈.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D
C C B
D B A B D
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．17
5
i
+
; 212. 3或
1
3
-；
3
4
-13．1 ；21；14．8；
261
3
．
15．34. 16．2 17．(3,)
+∞
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）(1);(2)见解析.
解：（）由图像可知，又，故．
周期，又，
∴．∴，，，．
．
（），，
∴，．
当时，，．
当时，，．
所以，．
19．（本题满分15分）
解：（I ）因为,OA OC D AC =⊥是的中点,所以AC OD. 又,,.PO O AC O AC OD ⊥⊂⊥底面
底面所以PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以
;AC POD ⊥平面
（II ）由（I ）知，,AC POD ⊥平面又,AC PAC ⊂平面所以平面,POD PAC ⊥平面在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H,则,OH PAC ⊥平面连结CH ，则CH 是OC PAC 在平面上的射影，所以OCH
∠是直线OC 和平面PAC
所成的角．在1
,3
Rt POD OH =
=
=中在,sin 3
OH Rt OHC OCH OC ∠=
=中 20．（本题满分15分）
解：（Ⅰ）()()()
()()()2223222
2212
3212411122+--+=+--+=+++-='x x x x x x x x x x x x
x x x f ---------------4分
所以()112f '=-
，则切线方程为13
22
y x =-+----------------------------------------------7分 （Ⅱ）令()2322
3
--+=x x x x h ，则()3432
-+='x x x h ，设()0='x h 的两根为21,x x ，由于
0121<-=x x ，不妨设0,021><x x ，则()x h 在()2,0x 是递减的，在()+∞,2x 是递增的。

------10分
而()()()02,01,00><<h h h ，所以()x h 在()+∞,0上存在唯一零点，且()2,10∈x 所以()x f 在()0,0x 单调递减，在()+∞,0x 单调递增--------------------------------------------12分
所以，()()00200ln 2x x x x f x f ++=
≥，因为()2,10∈x ，0ln 0>x ，()02
2
0>+>x x x f 所以()0>x f -----------------------------------------------------------------------------------------15分
21. （本题满分15分）
解：（Ⅰ）设抛物线C 的方程为()x py p 2
=2>0，
则
12,2
p
p =∴= 所以抛物线C 的方程是24x y = .
（Ⅱ）设切线00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，
切线与x 轴交点为00,0y x k ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，圆心到切线的
距离为2d =
=,化简得()()222
000042240x k x y k y y -+-+-= 设两切线斜率分别为12,k k ，则()2
000012122
2
00224,4
4
x y y y k k k k x x --+=-=--,04y >
0122
000001212
1
12
2k k y y S x x y y k k k k -⎛⎫⎛⎫=
---⋅=
⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭020024y y ==- ()0016248324y y ⎡⎤
=+-+≥⎢⎥-⎣⎦
，当且仅当08y =时取等号． 所以两切线与x 轴围成的三角形面积S 的最小值为32． 22. （本题满分15分）
证：（Ⅰ）解：221221,01
a a a a ==>+
，则2a =
....................3分 证明：（Ⅱ）
211
1111,11
n n n n n n n na a a a a na na ++++++-=-
=++0n a >，....................5分 ∴10n n a a +->,..............................................................................................6分
另一方面，111111
,1n n n n n n a a a a na na n
+++++-=
<=+..............................................................8分
∴11
0n n a a n
+<-<
.........................................................................................9分 （Ⅲ）21111111
,1
11n n n n n n n n
na a a a a na na n a ++++++-=-==+++且11n a a ≥=
∴11
1
n n a a n +-≥+.............................................................................................11分 ∴111
1...23n a n ≥+
+++ (2n ≥)时，而11a ≥ *111
1...()23n a n N n ∴≥++++∈..............................................................12分
ln(1)ln(1)ln ln ln(1)...ln 2ln1ln1n n n n n +=+-+--++-+
12ln
ln ...ln 11n n n n +=+++-.........................................................................13分 而111
ln ln(1)n n n n +=+< 111
1...ln(1)23n a n n ≥++++>+...................................................................15分。