山东省春季高考数学基础知识点

⼭东省春季⾼考数学基础知识点
中职数学基础知识汇总
预备知识：
2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 1.完全平⽅
和（差）公式：(a+b)
2.平⽅差公式： a
2-b2=(a+b)(a-b)
3.⽴⽅和（差）公式： a
3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
第⼀章集合
1. 构成集合的元素必须满⾜三要素：确定性、互异性、⽆序性。

2. 集合的三种表⽰⽅法：列举法、描述法、图像法（⽂⽒图）。

+（正整数集）3. 常⽤数集：N（⾃然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）、N 4. 元素与集合、集合与集合之间的关系：
（1）元素与集合是“”与“”的关系。

（2）集合与集合是“픓”“= ”“/í”的关系。

注：（1）空集是任何集合的⼦集，任何⾮空集合的真⼦集。

（做题时多考虑Ф是否满⾜题意）（2）⼀个集合含有n 个元素，则它的⼦集有 2
n 个，真⼦集有2n-1 个，⾮空真⼦集有2n
-2 个。

5. 集合的基本运算（⽤描述法表⽰的集合的运算尽量⽤画数轴的⽅法）
（1）A B = {x | x挝A且x B} ：A与B 的公共元素组成的集合
（2）A B = {x | x挝A或x B} ：A与B的所有元素组成的集合（相同元素只写⼀次）。

（3）C A
U ：U中元素去掉A中元素剩下的元素组成的集合。

注：C (A B) C A C B C (A B) = C A C B
U U U U U U
6. 会⽤⽂⽒图表⽰相应的集合，会将相应的集合画在⽂⽒图上。

7. 充分必要条件: p 是q的??条件p 是条件，q是结论
如果p q，那么p 是q 的充分条件;q 是p 的必要条件.
如果p q，那么p 是q 的充要条件
第⼆章不等式
1. 不等式的基本性质：（略）
（3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。

2. 重要的不等式：
2 2
（1）a b 2ab ，当且仅当 a b 时，等号成⽴。

（2）a b 2 ab(a, b R ) ，当且仅当 a b时，等号成⽴。

（3）
a b
注：
（算术平均数）ab （⼏何平均数）
2
3. ⼀元⼀次不等式的解法（略）
4. ⼀元⼆次不等式的解法
（1）保证⼆次项系数为正
（2）分解因式（⼗字相乘法、提取公因式、求根公式法），⽬的是求根：第1页共17 页
（3）定解：（⼝诀）⼤于取两边，⼩于取中间。

5. 绝对值不等式的解法
若a0，则
|
|
x
x
|
|
a
a
x
a x
a或x
a
a
分式不等式的解法：与⼆次不等式的解法相同。

注：分母不能为0.
第三章函数
1. 函数
（2）函数的表⽰⽅法：列表法、图像法、解析法。

注：在解函数题时可以画出图像，运⽤数形结合的⽅法可以使⼤部分题⽬变得更简单。

2. 函数的三要素：定义域、值域、对应法则
（1）定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的x 的取值范围
主要依据：分母不能为0，偶次根式的被开⽅式0，
0 x x ,(0且1), 特殊函数
定义域：y x , 0 y a a a x R
y log a x, (a 0且a 1), x 0
（2）值域的求法：y 的取值范围
①正⽐例函数：y kx 和⼀次函数：y kx b 的值域为R
②⼆次函数：y ax 2 bx c 的值域求法：配⽅法。

如果x的取值范围不是R则还需画图像
③反⽐例函数：y 1
x 的值域为
{ y | y 0}
④另求值域的⽅法：换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。

（3）解析式求法：在求函数解析式时可⽤换元法、构造法、待定系数法等。

3. 函数图像的变换
（1）平移
y f
向左平移
( x) y f (x a)
a
个单位
y f
向右平移
(x) y f (x a)
a个单位向上平移
y f (x) y f (x)
a个单位a
向下平移
y f (x) y f (x)
a个单位
a
（2）翻折
x
(x) y f (x)
y f
保留轴上⽅图像
x
(x) y | f (x)
|
上、下对折下⽅翻折到上⽅
第 2 页共17 页
4. 函数的奇偶性
（1）定义域关于原点对称（2）若 f ( x) f (x)
奇
若 f ( x) f (x)
偶
注：①若奇函数在
x 0处有意义，则 f (0) 0
②常值函数 f (x) a （ a 0）为偶函数
③ f (x)
既是奇函数⼜是偶函数
5. 函数的单调性
对于 [ , ] x 1、x a b 且
x 1 x 2 ，若 2
f f (x 1 (x 1 ) ) f f (( x 2
x 2
), ), 称f 称 f (x)在[ (x 在 )
[ a ,b]
上为增函数 a, b ]上为减函数
增函数： x 值越⼤，函数值越⼤；
x 值越⼩，函数值越⼩。

减函数： x 值越⼤，函数值反⽽越⼩；
x 值越⼩，函数值反⽽越⼤。

6. ⼆次函数
f (x) ax 2 bx c （ a 0）
2
②顶点式：
f (x
a x k h （ a 0），其中 (k, h ) 为顶点
) ( ) ③两根式：
f ( ) ( )( ) （ a
0），其中 x 1、x 2 是 f (x) 0 的两根
x
a x x 1 x x
2
（2）图像与性质
⼆次函数的图像是⼀条抛物线，有如下特征与性质：①开⼝a 0
开⼝向上
a 0
开⼝向下
②对称轴：
x
b 2a
2
b 4a
c b 顶点坐标：
(
, ) 2a 4a
③
与 x
轴的交点：
有两交点有交点
1 ⽆交点
④根与系数的关系：（韦达定理）
x 1
x
x
2
c
a
b a
2
⑤ f x ax bx c
( ) 为偶函数的充要条件为 b 0 ⑥⼆次函数（⼆次函数恒⼤（⼩）于0）a 0
f 图像位于x轴上⽅(x) 0
0 f ( x) 0
a0
图像位于x
轴下⽅
⑦若⼆次函数对任意x都有f (t x) f (t x) ，则其对称轴是x t 。

第四章指数函数与对数函数1. 指数幂的性质与运算
第 3 页共17 页
（1）根式的性质：
①n为任意正整数，( a ②当n为奇数时， a a n a)n
n n
n a)n
n n
n n ；当
n为偶数时， a | a |
③零的任何正整数次⽅根为零；负数没有偶次⽅根。

（2）零次幂： 1
a (a 0)
（3）负数指数幂：a n
1
n
a
( a 0, n N *)
a a (a 0, m, n N 且n 1)（5）实数指数幂的运算法则：(a0, m,n R)
①m a n a n
m
a ②
m a mn
n
(a ) ③
( n a b n
n
a b)
2. 幂运算时，注意将⼩数指数、根式都统⼀化为分数指数；⼀般将每个数都化为最⼩的⼀个数的n 次⽅。

3. 幂函数y a x 当a
当a
0时，y
0时，y
x
x
a
在（0，
a
在（0，
）上单调递增
）上单调递减
b log (a 0且a 1) 、(N0)
4. 指数与对数的互化： a N a N b
log N 5. 对数基本性质：①log a a 1 ②log a 1 0 ③a N
a
N
④log a N
a
⑤b与a互为倒数log a log
b log b log a 1 log b
b
a
n
n
⑥ b
log m b log a
a
m
6. 对数的基本运算：
M
log a (M N)log a M log a N log a log M log N
a a
N
7. 换底公式：
log N
b
log N (b 0且b 1)
a log
a
b
8. 指数函数、对数函数的图像和性质
指数函数对数函数
定义y a x y log x(a 0, a 1的常数) (a0, a 1的常数) a
图
像
第 4 页共17 页
(1)
x R, y 0
(1)
x 0, y R 性
(2)
图像经过
(1, 0) 点
质
（3）
a 0 1, a y 1, a y
x 在上为增函数； R a x 在上为减函数。

R
a （3） 0 1, a y 1, log y 在x ( 0,
log x 在(0, a
9. 利⽤幂函数、指数函数、对数函数的单调性⽐较两个数的⼤⼩，将其变为同底、同幂（次）或⽤换底公式或是利⽤中间值 0，1 来过渡。

10. 指数⽅程和对数⽅程：
指数式和对数式互化
同底法
换元法④取对数法
注：解完⽅程要记得验证根是否是增根，是否失根。

第五章
数列
等差数列
等⽐数列
每⼀项与前⼀项之差为同⼀个常数
每⼀项与前⼀项之⽐为同⼀个常数
定
义
a 2 a
a 3 a 2 a n a n 1 d
1
a
a
a
2
3
n
(q 0)
a
1
2
n 1
注：当公差
d 0
时，数列为常数列
注：等⽐数列各项及公⽐均不能为0；
当公⽐为 1 时，数列为常数列
通项公式
a n a 1 (n 1)d
n a n a q
1
1
推
（1） d
a
n
n
a
m
m
（1）
n q
m
a n
a
m
论
（2） a
a
（2）
n a n a q
m
m
（3）若 m
n p q ，则
a m a a
a
n
p
q
（3）若 m
n p q ，则
a m a a a
n
p q
中项三个数 a 、b 、c 成等差数列，则有三个数
a 、
b 、c
成等⽐数列，则有
公式
2b a c b a c
2
2
b
ac
前
n
项和公式
n(a
a )
n(n 1
n
n
2
1
2
1) d S
n
n
a (1 q ) a 1 1
1 q
1
a q
n
q
（
q 1）
1. 已知前n项和S n 的解析式，求通项a n
S
1
a
n S S
n n 1
(n
(n
1)
2)
2. 弄懂等差、等⽐数通项公式和前n项和公式的证明⽅法。

（见教材）第六章三⾓函数1. 弧度和⾓度的互换
第 5 页共17 页
o
180 弧度
o
1 180
弧度0. 01745弧度1弧度(180 )57 18'
2. 扇形弧长公式和⾯积公式
L 扇| | r
1 1 1
2
S扇Lr | | r （记忆法：与S ABC ah 2 2 2
类似）
3. 任意三⾓函数的定义：
对边sin =
斜边y
r
邻边
cos =
斜边
x
r
对边
tan =
邻边
y
x
4. 特殊三⾓函数值
0 0 0 0
30
6
4
45 3 60
2
90
sin 0
2
1
2
2
4
2 4
3 2 1 0
cos
2 2 2 2 2
tan 0 3
3
1 3 不存在
5. 三⾓函数的符号判定
（1）⼝诀：⼀全⼆正弦，三切四余弦。

（三⾓函数中为正的，其余的为负）
（2）图像记忆法
6. 三⾓函数基本公式
sin
tan （可⽤于化简、证明等）
cos
sin 2 2
cos 1 （可⽤于已知sin 求c os ；或者反过来运⽤）
7. 诱导公式：⼝诀：奇变偶不变，符号看象限。

解释：指(k Z)
k ，若k 为奇数，则函数名要改变，若k 为偶数函数名不变。

2
7. 已知三⾓函数值求⾓:
(1) 确定⾓所在的象限; (2) 求出函数值的绝对值对应的锐⾓'; (3) 写出满⾜条件的0 ~ 2 的⾓; (4) 加上周期（同终边的⾓的集合）
8. 和⾓、倍⾓公式
⑴和⾓公式：sin( ) sin cos cos sin 注意正负号相同
cos( ) cos cos sin sin 注意正负号相反
tan( )
tan
1 tan
t an
tan
⑵⼆倍⾓公式：s i n22si n c o s c os 2 2 sin 2 c os2 1 1 2 s in
第 6 页共17 页
tan 2
1 2t an t an
2
⑶半⾓公式：s i n
2 1c o s
2
cos
2
1c os
2
9. 三⾓函数的图像与性质
性质
函数图像
定义域值域同期奇偶性单调性T 2
奇[2k ,2k
2
[2k ,2k
2
2
3
2
]
y sin x x R [ 1,1]
]
[2k ,2k ] y cosx
T 2
x R [ 1,1]
偶
[2k ,2k ]
9. 正弦型函数y A sin( x ) (A0,0)
（2）周期：T
（3）注意平移的问题：⼀要注意函数名称是否相同，⼆要注意将x的系数提出来，再看是怎样平移的。

2 b2 x
（4）y a s in x b c os x a sin( )
10. 正弦定理
a sin A
b
sin B
c
sin C
2R （R 为ABC的外接圆半径）
其他形式：（1）a 2Rsin A b 2Rs i n B c 2Rs i n C（注意理解记忆，可只记⼀个）（2）a :b:c sin A:sinB : sinC 11. 余弦定理
2 2 2
a b c 2bc c os A cos A b 2 2 c 2 a
（注意理解记忆，可只记⼀个）
2bc
12. 三⾓形⾯积公式
B（注意理解记忆，可只记⼀个）
1 1 1
S ABC ab s in C bc sin A ac s in
2 2 2
第7 页共17 页
13. 海伦公式：S ABC P(P a)( P b)( P c) （其中P为ABC的半周长，
第七章平⾯向量
a b c
P ）
2
1. 向量的概念
（1）定义：既有⼤⼩⼜有⽅向的量。

（2）向量的表⽰：书写时⼀定要加箭头！另起点为 A ，终点为 B 的向量表⽰为AB 。

（3）向量的模（长度）：| AB |或| a |
（4）零向量：长度为0，⽅向任意。

向量相等：⼤⼩相等，⽅向相同的两个向量。

反（负）向量：⼤⼩相等，⽅向相反的两个向量。

2. 向量的运算
（1）图形法则
三⾓形法则平形四边形法则
（2）计算法则
加法：AB BC AC 减法：AB AC CA
（3）运算律：加法交换律、结合律注：乘法（内积）不具有结合律
3. 数乘向量： a （1）模为：| || a | （2）⽅向：为正与 a 相同；为负与a 相反。

4. AB 的坐标：终点 B 的坐标减去起点 A 的坐标。

AB (x B x A ,y B y A )
5. 向量共线（平⾏）：唯⼀实数，使得a b 。

（可证平⾏、三点共线问题等）
6. 平⾯向量分解定理：如果e1,e 是同⼀平⾯上的两个不共线的向量，那么对该平⾯上的任⼀向量 a ，都存在唯⼀的2
⼀对实数
x1, x2 ，使得 a x1e1 x2 e2 。

7. 注意ABC中，重⼼(三条中线交点)、外⼼（外接圆圆⼼：三边垂直平分线交点）、内⼼（内切圆圆⼼：三⾓平分线交点）、垂⼼（三⾼线的交点）
8. 向量的内积（数量积）
（1）向量之间的夹⾓：图像上起点在同⼀位置；范围[0, ]。

（2）内积公式：a b |a||b | c os a,b
9. 向量内积的性质：
第8 页共17 页
（1）cos
a b
a,b （夹⾓公式）（2）a ⊥b a b 0 | a ||b |
2 或（长度公式）
（3）a a | a | | a | a a
10. 向量的直⾓坐标运算：（1）( , )
AB x B x y y
A B A
（2）设a ( , ), ( , ) ，则 a b (x1 x2 , y1 y2) a ( x1, y1) a b x1x2 y1 y2 x1 y b x y
1 2 2
11. 中点坐标公式：若A
(x , y ) ,B ( x2 , y2) , 点M(x,y) 是线段AB的中点, 则
x x y y
1 2 , 1 2 x y
2 2
12. 向量平⾏、垂直的充要条件：设( , ), ( , )
a x1 y
b x y ，则
1 2 2
a ∥
b x
1
x
2
y
1
y
2
（相对应坐标⽐值相等）
a ⊥
b a b 0 x1 x2 y1y2 0 （两个向量垂直则它们的内积为0）
11. 长度公式
（1）向量长度公式：设 a ( x, y) ，则 2
| a | x y
2
（2）两点间距离公式：设点( , ), ( , )
A x1 y
B x y ，则
1 2 2
2
| AB | ( x2 x ) ( y y )
1 2 1
2
12. 向量平移
（1）平移公式：点P(x, y) 平移向量( , ) '( ', ')
a a1 a 到P x y ，则
a
1
a
2
记忆法：“新=旧+向量”
（2）图像平移：y f (x)的图像平移向量( , )
a a1 a 后得到的函数解析式为：y a2 f (x a1 )
2
第⼋章平⾯解析⼏何
1. 曲线C 上的点与⽅程 F ( x, y) 0之间的关系：
（1）曲线C 上点的坐标都是⽅程 F (x, y) 0的解；
（2）以⽅程F(x, y) 0的解(x, y) 为坐标的点都在曲线 C 上。

则曲线
C 叫做⽅程F (x, y) 0的曲线，⽅程 F (x, y) 0叫做曲线C 的⽅程。

2. 求曲线⽅程的⽅法及步骤：(1) 设动点的坐标为（x，y）；(2) 写出动点在曲线上的充要条件；(3) ⽤x,y的关系式
表⽰这个条件列出的⽅程；（4）化简⽅程（不需要的全部约掉）；（5）证明化简后的⽅程是所求曲线的⽅程。

如果⽅程化简过程是同解变形的话第五步可省略。

3. 两曲线的交点：联⽴⽅程组求解即可。

4. 直线：
(1) 倾斜⾓：⼀条直线l 向上的⽅向与x轴的正⽅向所成的最⼩正⾓叫这条直线的倾斜⾓。

其范围是[0, )
第9 页共17 页
(2) 斜率：①倾斜⾓为0
90 的直线没有斜率；②k tan （倾斜⾓的正切）
③经过两点( , ), ( , )
P1 x y P x y 的直线的斜率
1 1
2 2 2
y y
2 1
K ( x1 x2 ) x x
2 1
1
y
1
x
x
2
x
1
x
1
②斜截式：y kx b
③点斜式：( )
y y0 k x x ④⼀般式：Ax By C 0
注：1. 若直线l ⽅程为3x+4y+5=0 ，则与l 平⾏的直线可设为3x+4y+C=0；与l 垂直的直线可设为4X-3Y+C=0 2. 求直线的⽅程最后要化成⼀般式。

(4) 两条直线的位置关系
l1 : y k x b l2 : y k2 x b2 l1 : A1 x B1x C1 0 l 2 : A2 x B2 x C2 0
1 1
l 与l 2 平⾏k1 k2且b1 b2 1 A
1
A
2
B
1
B
2
C
2
C
2
l 与l 2 重合k1 k2且b1 b2 1 A
2
B
1
B
2
C
2
C
2
l 与l 2 相交k1 k2 1 A
1
A
2
B
1
B
2
l ⊥l 2 k1 k2 1 A1 A2 B1B2 0 1
注：系数为0 的情况可画图像来判定。

(5)点到直线的距离
①点( , )
P x0 y 到直线Ax By C 0的距离：
0 d
|A x0 By C |
2
A B
2
5. 圆的⽅程
（1）标准⽅程： 2 ( )2 2
(x a) y b r （r0）其中圆⼼(a,b) ，半径r 。

（2）⼀般⽅程：x2 y2 Dx Ey F 0（D2 E 2 4F 0 ）圆⼼（D
2
,
E
）半径：r
D 2E2 F
4
2
（4）直线和圆的位置关系：主要⽤⼏何法，利⽤圆⼼到直线的距离 d 和半径r ⽐较。

d r ； d r 相切； d r 相离
相交
6. 椭圆
动点与两定点（焦点）的距离之和等于常数2a ⼏何定义
| PF1 | | PF2 | 2a
第10 页共17 页。