圆柱齿轮跨齿数计算公式的推导

圆柱齿轮的跨齿数计算公式的推导
周万峰
1、标准齿轮跨齿数计算公式的推导
大家都知道，凡计公法线长度，则必须先计算跨齿数k ，然后才能计算跨k 个齿的公法线长度。

标准齿轮的跨齿数计算公式为：
5.0180
0+=αz k （直齿） （1） 5.01800+'=
n z k α （斜齿） （1） 式中z 为齿数，z '为假想齿数，n t inv inv z z αα='（n
t inv inv αα之值可从手册上查出，亦可算出）。

α为压力角，n α为斜齿轮的法面压力角。

教材、手册上都是给出该公式，并不说明它的由来。

那么公式（1）是怎么来的呢？它怎么还有个0.5 呢？据笔者了解，使用公式（1）的人一般都不管公式的由来，只是拿来使用而已。

今天笔者根据自己的理解试将公式推导出来。

显然公式（1）不是笔者推导出来的，书上早就有这个公式了。

但始终未见哪本书上有原原本本地推导该公式的内容。

至于公式
（1）原来是怎么推导的笔者不得而知。

笔者现将公式推导如下：
众所周知，不论标准齿轮还是变位齿轮其公法线的测量点（量具卡脚与齿廓的切点）都应在齿高的中点部位。

而标准齿轮齿高的中点就是分度圆，故标准齿轮公法线的测量点应在分度圆上。

这样标准齿轮的公法线测量点就应以分度圆为准进行推导。

请看图1公法线测量图：AB 是跨3个齿测量的公法线长度。

1A A 和21A A 是齿轮的周节（分度圆上，相
图1 公法线长度测量
邻两齿同侧齿廓对应点的弧长）B A
2是分度圆上齿厚；而标准齿轮分度圆齿厚是周节的一半，即0.5个周节。

因此，当跨3个齿测量时，α2对应着两个周节和一个分度圆齿厚，即α2对应着（3-0.5）个周节。

所以，跨3个齿测量时，0.5)-(3 36020
z
=α。

（z 0360 是一个周节对应的中心角的度数）当跨4个齿测量时，
α2对应着3个周节和一个分度圆齿厚，即α2对应着（4-0.5）个周节；所以0.5)-(4 36020
z
=α。

当跨5个齿测量时，α2对应着4个周节和一个分度圆齿厚，即α2对应着（5-0.5）个周节；所以0.5)-(5 36020
z
=α。

依次类推，当跨k 个齿测量时，α2对应着（)5.0-k 个周节，即0.5)-(k 36020
z
=α。

整理此式即为公式（1）。

但需说明的是：对于020=α的直齿轮而言，它的公法线测量点没有一
个是能在分度圆上的，都是在分度圆附近。

为什么呢?因为跨齿数k 的计算值不可能是整数（见公式），而测量公法线长度时又必须是整数，所以才如此。

而斜齿轮通过调整螺旋角是可以使公法线长度的测量点正好在分度圆上的。

2、变位齿轮的跨齿数计算公式的推导
变位齿轮的跨齿数计算公式今天可以说是形式多样，五花八门；如将教材、手册、科技书以及发表在刊物上的这些公式汇集起来，找出10个公式是费不了什么事的。

这些公式（包括教材、手册在内）经验证有的是合理的，有的是不合理的；有的是不尽合理的，有的是情况不良的。

有的虽然情况较好，但计算很麻烦。

笔者在此推荐一个情况较好而又比较简单的公式：
5.02cos arccos 1800
++=x z z z k α (直齿) （2） 5.02cos arccos 1800
++'''=n n x z z z k α （斜齿） （2）
图 2
这个公式是怎么来的？教材、手册都是给出公式，并不说明它的由来。

今天笔者将它推导一遍（显然公式不是我第一个推导出来的），请读者指正。

前面说过，不论齿轮变位与否，公法线的测量点都应在齿高的中点部位。

标准齿轮齿高的中点部位就是分度圆，故推导标准齿轮的跨齿数计算公式应以分度圆为准。

而变位齿轮的分度圆已不在齿高的中点部位了，那么推导变位齿轮的跨齿数计算公式就不能以分度圆为准了，而是直径为“xm d 2+圆”位于齿高的中点部位，所以就应以它为准了。

请看图2：当为正变位时，公法线的测量点应在B '点，即在“xm d 2+圆”上。

那么只要算出B '点的压力角，然后代入公式（1），用α'代替α，公式就推导出来了。

请看图2：ON 是基圆半径，xm d B O +='2，
)2
(2cos xm d d B O ON b +='=
'α。

因为αcos mz d b =，,mz d =将αcos mz 代替b d ，将mz 代替d ，
代入上式，整理后则[])2()cos (arccos x z z +='αα ，将该式代入（1）式（用α'代替α），整理后即为公式（2）。

说明：
上面的文章于2014年1月31日已上传到“百度文库”，截止到2014年5月24日其浏览量已有64次，下载8次。

但笔者发现文章中有的公式写法不规范。

为了向读者负责，笔者将公式不规范的写法改正过来，再次将其上传到“百度文库”。

请读者见谅！ 2014年5月24日。