带有退化效应的多个交货期窗口单机排序问题

带有退化效应的多个交货期窗口单机排序问题
方卓;罗成新
【摘要】讨论带有退化效应的多个交货期窗口的单机排序问题.其目标函数有2种:第1种是带有提前、延误、交货期的开始位置、交货期的大小及最大完工时间的
总费用;第2种是带有提前、延误、交货期的开始位置、交货期的大小和所有工件
完工时间之和的总费用.目标是找到多个交货期窗口的最优位置、交货期的大小、
属于每个交货期窗口的工件集合和工件的最优排序,使目标函数值最小.将该问题转
化为指派问题,并证明其多项式时间可解.
【期刊名称】《沈阳师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2014(032)004
【总页数】5页(P471-475)
【关键词】单机;退化效应;多个交货期窗口;提前;延误;最大完工时间;完工时间之和【作者】方卓;罗成新
【作者单位】沈阳师范大学数学与系统科学学院,沈阳110034;沈阳师范大学数学
与系统科学学院,沈阳110034
【正文语种】中文
【中图分类】O223
近年来有关交货期窗口的问题越来越受关注。

交货期窗口是指:如果工件在交货期
窗口之前完工则产生提前的费用,在窗口之后完工则产生延误的费用,在窗口之内完
工则不会有任何费用。

Liman[1]等分析了带有待定的公共交货期的单机排序问题。

Mor等[2]研究了带有维修活动的交货期单机排序问题,并且每个工件都有一个大小相同的交货期,目标函数是包括提前、延误、交货期的开始时间和交货期大小的总
费用。

Wang等[3]讨论了带有学习和退化效应的单机排序问题,目标函数包括提前、延误和工期的总费用。

Cheng[4,5]等研究了带有退化效应的工期指派问题,目标是
确定最优工期及最优的排序使目标函数值最小。

文献[6]研究了带有退化效应与维
修活动的工期指派问题。

文献[7-12]讨论了带有提前、延误的工期指派问题。

本文讨论了2种带有退化效应的多个交货期窗口的单机排序问题。

给出了最优解
的性质,将2种问题转化为指派问题,并证明其多项式时间可解。

给定m个交货期窗口(1≤m≤n)。

di(≥0)和wi(≥di)分别表示第i个交货期窗口的
开始时间和结束时间,i=1,2,…,m。

Di=wi-di表示第i个交货期窗口的大小。

如果
m=1,则所有工件有一个共同的交货期窗口,如果m=n,每个工件都有一个交货期窗口。

定义Ii为第i个交货期窗口的工件的集合,当Jj∈Ii时,工件Jj的交货期窗口为[di,wi],i=1,2,…,m。

目标是求最优的交货期窗口的开始时间d={d1,…,dm}、交货
期窗口大小D={D1,D2,…Dm}、属于每个交货期窗口工件的集合I={I1,I2,…Im}和
最优的工件排序,使以下两种目标函数值最小。

问题1 带有提前、延误、交货期开始时间、交货期大小及最大完工时间,目标函数
为
问题2 带有提前、延误、交货期的开始时间、交货期的大小及所有工件完工时间
之和,目标函数为
其中:如果Jj∈Ii,则E[j]=max表示排在第j个位置上工件的提前时间;T[j]=max表
示排在第j个位置上工件的延误时间,j=1,2,…,n;C[j]表示排在第j个位置上工件的完工时间。

α≥0,β≥0,γ≥0,δ≥0分别表示提前、延误、交货期开始时间和交货期大小的单位费用,ω≥0,λ≥0分别表示最大完工时间和所有工件完工时间之和的费用。

使用三参数[15]表示可将上述两种问题表示成:
性质1[13] 存在最优排序满足工件的开始加工时间从零时刻开始,且相邻工件之间没有空闲。

性质2[14] 对于任意给定的交货期窗口及排序π,存在一个最优的分组,使得ni个相邻的工件的交货期窗口同为[di,wi],即Ii={π[Ni-1+1],π[Ni-
1+2],…,π[Ni]},i=1,2,…,m,其中,π[r]是指在排序π中工件在第r个位置表示属于前i个交货期窗口的所有工件数,i=1,2,…,m且N0=0。

性质3[14] 对于给定的排序π及分组I,存在最优的交货期窗口的位置,满足
di=C[ki],wi=C[ki+hi],其中ki=Ni-1+,ki+hi=Ni-1+i=1,2,…,m,N0=0。

x 表示大于或等于x的最小整数。

假设向量(n1,n2,…,nm)满足且=ni,i=1,2,…,m。

其中分配给每个交货期窗口的工件数ni是确定的。

以下给出两种问题的最优排序。

引理1 问题(1)中目标函数可化简为
其中
证明当m=1时,I={J[1],…,J[n]}
整理可得
其中
同理可得:m=2时,
整理可得
其中
由此可以找出规律,即得到式(3)、式(4)。

证毕。

接下来,讨论问题(1)的最优排序。

将其转化为一个指派问题,令引入变量yjr∈{0,1},如果工件Jj被排在第r个位置,则yjr=1,否则yjr=0,其中j,r=1,2,…,n,则问题(1)等价于如下指派问题
基于上面的分析,给出一个最优算法。

算法1
步骤1 运用性质3求出最优交货期窗口的开始位置ki=Ni-1+,交货期窗口的结束位置ki+hi=Ni-1+,
步骤2 通过式(4)计算λjr。

步骤3 通过解指派问题(5)确定工件的最优排序。

步骤4 计算最优排序的工件的实际加工时间。

步骤5 根据性质3计算最优交货期窗口的位置及交货期的大小。

定理1 对于给定的常数m,如果分配给每个交货期窗口的工件数是确定的,则根据算法1可求出问题(1)的最优解,且算法1的复杂性为O(n3)。

证明算法1的最优性可由以上讨论所决定。

步骤1、2、4和5皆能在线性时间内执行,步骤3转化为指派问题,所以需要O(n3)时间求解,因此算法复杂性为O(n3)。

证毕。

引理2 对于给定的m个交货期窗口,分配给每个交货期窗口的工件数是确定的。

则问题(2)的目标函数可化简为
其中
证明与引理1类似。

证毕。

接下来,讨论问题(2)的最优排序,将其转化为一个指派问题,令引入变量yjr∈{0,1},如果工件Jj被排在第r个位置,则yjr=1,否则yjr=0,其中j,r=1,2,…,n,则问题(2)等价于如下指派问题
基于上面的分析,给出一个最优算法。

算法2
步骤1 运用性质3求出最优交货期窗口的开始位置ki=Ni-1+,交货期窗口的结束位置ki+hi=Ni-1+,
步骤2 通过(6)式计算φjr。

步骤3 通过解指派问题(7)确定工件的最优排序。

步骤4 计算最优排序的工件的实际加工时间。

步骤5 根据性质3计算最优交货期窗口的位置及交货期的大小。

定理2 对于给定的常数m,如果分配给每个交货期窗口的工件数是确定的,则根据算法2可求出问题(2)的最优解。

且算法2的复杂性为O(n3)。

证明算法2的最优性可由以上讨论所决定。

步骤1、2、4和5皆能在线性的时间内执行,步骤3为指派问题,所以需要O(n3)时间内求解,因此问题(2)算法的复杂性为O(n3)。

证毕。

本文讨论了2种带有退化效应的多个交货期窗口的单机排序问题。

目标是找到多个交货期窗口最优的位置、交货期大小、属于每个交货期窗口的工件集合和工件的最优排序,使目标函数值最小。

本文将问题转化为指派问题,给出了最优算法,并证明了在多项式时间内可解。

【相关文献】
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