华师班九年级下册数学课件第27章专题技能训练五训练圆切线判定的两种方法

专题技能训练
5．【中考·武威】如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°， 点 D 在 BC 边上，⊙D 经过点 A 和点 B 且与 BC 边相交于点 E.
(1)求证：AC 是⊙D 的切线；
专题技能训练
证明：连结 AD，如图． ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°. ∴∠ADC＝2∠B＝60°， ∴∠DAC＝180°－60°－30°＝90°，∴AD⊥AC. 又∵AD 是⊙D 的半径，∴AC 是⊙D 的切线．
∴AB 与⊙O 相切．
专题技能训练 3．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于 O 点，OE
⊥AB，垂足为 E，以 O 为圆心，OE 为半径作⊙O.求证：CD 与⊙O 相切．
专题技能训练
证明：如图，延长 EO 交 CD 于点 F. ∵在菱形 ABCD 中，AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD. ∵在菱形 ABCD 中，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，AB＝CD， ∴S△AOB＝12OA·OB＝12OC·OD＝S△COD，∴12AB·OE＝12CD·OF， ∴OE＝OF. ∴CD 与⊙O 相切．
专题技能训练 (2)若 CE＝2 3，求⊙D 的半径．
解：连结 AE，如图． ∵AD＝E，∠ADE＝60°，∴△ADE 是等边三角形， ∴AE＝DE，∠AED＝60°， ∴∠EAC＝∠AED－∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C， ∴AE＝CE＝2 3，∴AD＝2 3，即⊙D 的半径为 2 3.
专题技能训练 6.【中考·葫芦岛】如图，点 M 是矩形 ABCD 的边 AD 延长线上
∴△ACE 是等边三角形，∴AE＝AC＝2 3 3， 又∵EF⊥OA，∴∠EFA＝90°，
∴AF＝12AC＝ 33，EF＝ AE2－AF2＝1，
∴OF＝OA－AF＝2 3 3.
∴点
E
的坐标为2
3
3，1.
一点，以 AM 为直径的⊙O 交矩形的对角线 AC 于点 F，在 线段 CD 上取一点 E，连结 EF，使 EC＝EF. (1)求证：EF 是⊙O 的切线；
专题技能训练 证明：如图，连结 OF. ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＋∠DCA＝90°. ∵EC＝EF，∴∠DCA＝∠EFC. ∵OA＝OF，∴∠CAD＝∠OFA， ∴∠EFC＋∠OFA＝90°，∴∠EFO＝90°，∴EF⊥OF. 又∵OF 是半径，∴EF 是⊙O 的切线．
专题技能训练
(2)若正方形 ABCD 的边长为 1，求 OC 的长． 解：∵四边形 ABCD 为正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°. ∴∠MOC＝∠MCO＝45°，∴MC＝OM＝OA， ∵AB＝BC＝1，∴AC＝ 2， 在 Rt△OCM 中，OC＝ OM2＋MC2＝ 2OA. 又∵AC＝OA＋OC，∴OA＋ 2OA＝ 2， ∴OA＝2－ 2，∴OC＝2 2－2.
专题技能训练
(2)在线段 BD 的延长线上寻找一点 E，使得直线 AE 恰好与⊙M 相切，求此时点 E 的坐标．
专题技能训练
解：如图，过点 A 作 AE⊥AB，交 BD 的延长线于点 E，过 E 作
EF⊥OA 于 F，则 AE 是⊙M 的切线，
∵在
Rt△AOB
中，tan∠OAB＝OOBA＝
1＝ 3
专题技能训练
7．【中考·永州】如图，线段 AB 为⊙O 的直径，点 C，E 在⊙O 上，B︵C＝C︵E，CD⊥AB，垂足为点 D，连结 BE，弦 BE 与 线段 CD 相交于点 F.
(1)求证：CF＝BF；
专题技能训练
证明：延长 CD 交⊙O 于 G， ∵CD⊥AB，∴B︵C＝B︵G. 又∵B︵C＝C︵E，∴C︵E＝B︵G， ∴∠CBE＝∠GCB，∴CF＝BF.
33，∴∠OAB＝30°.
∵∠AOB＝90°，∴∠OBA＝60°，
∴∠ABC＝∠OBC＝12∠ABO＝30°，
∴OC＝OB·tan30°＝1× 33＝
33，∴AC＝OA－OC＝2
3
3 .
专题技能训练 易知∠ACE＝∠ABC＋∠OAB＝60°.
又∵∠EAB＝90°，∠OAB＝30°，∴∠EAC＝60°，
专题技能训练
2. 如图，△OAB 为等腰三角形，OA＝OB＝2，AB＝2 3，以 O 为圆心的圆的半径为 1. 求证：AB 与⊙O 相切．
专题技能训练
证明：作 OC⊥AB 于 C,
∵OA＝OB＝2，∴AC＝BC＝12AB＝12×2 在 Rt△AOC 中，OC＝ AO2－AC2＝1.
3＝ 3.
∵⊙O 半径为 1，∴OC 为⊙O 的半径．
专题技能训练 (2)若 cos∠ABE＝45，在 AB 的延长线上取一点 M，使 BM＝4，
⊙O 的半径为 6.求证：直线 CM 是⊙O 的切线． 证明：连结 OC 交 BE 于 H，∵B︵C＝C︵E，∴OC⊥BE.
在 Rt△OBH 中，cos∠OBH＝BOHB＝45，OB＝6， ∴BH＝45×6＝254， ∴OH＝ 62－2542＝158.
专题技能训练 (2)若 cos∠CAD＝35，AF＝6，MD＝2，求 FC 的长． 解：如图，连结 MF，∵AM 是⊙O 的直径，∴∠AFM＝90°.
在 Rt△AFM 中，cos∠CAD＝AAMF ＝35.∵AF＝6，∴A6M＝35， ∴AM＝10. ∵MD＝2，∴AD＝8.
在 Rt△ADC 中，cos∠CAD＝AADC＝35， ∴A8C＝35，∴AC＝430，∴FC＝AC－AF＝430－6＝232.
(1)求⊙M 的直径，并证明 BD 平分∠ABO；
专题技能训练
解：∵点 A( 3，0)，点 B(0，－1)，∴OA＝ 3，OB＝1. ∴AB＝ （ 3）2＋12＝2. ∵∠AOB＝90°，∴AB 是⊙M 的直径，∴⊙M 的直径为 2. 证明：∵∠COD＝∠CBO，∠COD＝∠CBA，∴∠CBO＝∠CBA， 即 BD 平分∠ABO.
习题链接
提示：点击 进入习题
1 见习题 2 见习题
3 见习题 4 见习题 5 见习题
6 见习题 7 见习题 8 见习题
答案显示
专题技能训练 1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是边 BC 的中点，以点 D
为圆心的圆与 AB 相切于点 E，求证：AC 与⊙D 相切．
专题技能训练
证明：如图，作 DF⊥AC 于 F，连结 AD、DE. ∵AB 是⊙D 的切线，∴DE⊥AB. ∵AB＝AC，D 是 BC 的中点， ∴AD 平分∠BAC，即∠EAD＝∠FAD. 又∵∠DEA＝∠DFA＝90°，AD＝AD，∴△ADE≌△ADF， ∴DF＝DE，∴AC 与⊙D 相切．
专题技能训练
18
∵OOHC＝
5 6
＝35，OOMB ＝6＋6 4＝35，∴OOHC＝OOMB .
又∵∠HOB＝∠COM，
∴△OHB∽△OCM，
∴∠OCM＝∠OHB＝90°，∴OC⊥CM.
又∵OC 为⊙O 的半径，∴直线 CM 是⊙O 的切线．
专题技能训练
8. 如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点 O(0，0)，点 A( 3， 0)与点 B(0，－1)，点 D 在劣弧 OA 上，连结 BD 交 x 轴于点 C，且∠COD＝∠CBO.
专题技能训练 4．如图，O 为正方形 ABCD 对角线上一点，以 O 为圆心，OA
长为半径的⊙O 与 BC 相切于点 M. (1)求证：CD 与⊙O 相切；
证明：如图．连结 OM，过 O 作 ON⊥CD 于 N， ∵⊙O 与 BC 相切，∴OM⊥BC， ∵四边形 ABCD 是正方形，∴CA 平分∠BCD， ∴OM＝ON，∴CD 与⊙O 相切．