矩阵3-4
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中行的分法相同. 分法和 B 中行的分法相同
(4)转置 不需要任何条件 转置: 不需要任何条件.
3. 分块对角阵
都为方阵(阶数可以不同 阶数可以不同), 若 A1 , A2 ,L , As 都为方阵 阶数可以不同 则我们称 分块阵 0 A1 , A= O 0 As 为对角分块阵. 对角分块阵 此时
所以， 所以，
2 −1 AB = 0 0 1 −2 0 0 0 0 1 2 0 0 . 2 4
分块矩阵的转置: 分块矩阵的转置: 若分块矩阵 A11 L A1n M O M , A= Am 1 L Amn
则有
A1T 1 T A = M A1Tn L O
其中C ij = ∑ Ait Btj ( i = 1, L , k ; j = 1, L , r ) ,
t =1
l
C11 AB = M C k 1
L C1 r O M , L C kr
【说明】 在形式上如普通矩阵乘法一样运算, 在形式上如普通矩阵乘法一样运算 仅仅要求 Ait Btj
【证明】 由于 A 0 A 0 B → A 故 A r ( A + B) „ r ( A+ B
0 0 A → A + B B , B 0 A 0 ) = r ( 0 B ) = r ( A + B ). B
阶方阵, 求证| 【例4】 若 A, B 为 n 阶方阵 求证 E − AB | = | E − BA|.
一般情况下, 【评注】一般情况下 虽然分块矩阵的初等变换不 是普通矩阵初等变换, 但仍然属于等价变换. 是普通矩阵初等变换 但仍然属于等价变换 事实 上 , 每个分块矩阵的初等变换为几个普通初等变 换的叠加. 换的叠加
12】 【命题3.12】
矩阵, 若 A, B 为 m × n 矩阵 则r ( A + B ) „ r ( A) + r ( B ) .
−1
Ek 0 = 0 El 于是 AX = E , AY = 0, CX + BZ = 0, CY + BW = E . 由此解出 X = A−1 , Y = 0, Z = − B −1CA−1 , W = B −1 .
从而
A −1 0 −1 . D = −1 − 1 −1 B − B CA
4. 分块矩阵的初等变换
如同对普通矩阵那样, 如同对普通矩阵那样 我们可以对分块矩阵进行 类似的初等变换, 类似的初等变换 即: (1)交换分块矩阵的两行 列); 交换分块矩阵的两行(列 交换分块矩阵的两行 (2)用一个可逆矩阵从左 右 )边乘分块矩阵的一行 用一个可逆矩阵从左(右 边乘分块矩阵的一行 用一个可逆矩阵从左 (列)(只要可乘 只要可乘); 列 只要可乘 (3)用任何一个矩阵从左 右 )边乘分块矩阵的某一 用任何一个矩阵从左(右 边乘分块矩阵的某一 用任何一个矩阵从左 只要可乘, 行(列), 再加到另一行 列)上(只要可乘 可加 列 再加到另一行(列 上 只要可乘 可加).
1 2 3 4 5 6 = ( β , β , β )： 1 2 3 7 8 9
其中
1 2 3 4 , β = 5 , β = 6 ; β1 = 2 3 7 8 9
1 2 3 α 1 4 5 6 = α 2 7 8 9 α 3
1 2 3 例如, 的几个分块法: 例如, 以下是矩阵 4 5 6 的几个分块法 7 8 9
其中
1 2 3 4 5 6 = A11 A12 ; A21 A22 7 8 9
1 2 3 A11 = , A12 = 6 , A21 = (7, 8), A22 = 9; 4 5
为数, k 为数 则有
kA11 L kA1n M O M . kA = kAm 1 L kAmn
分块矩阵的乘法: 分块矩阵的乘法: 若 A 为 m × n 矩阵 B 为 n × s 矩阵 矩阵, 矩阵,
他们分块为
A11 L A1l B11 L B1r A = M O M , B = M O M , Bl 1 L Blr Ak 1 L Akl 的行数相同, 且 Ait 的列数与 Btj 的行数相同 则有
T Am 1 M . T L Amn
【思考】 要使运算可进行，需要满足什么条件？ 要使运算可进行，需要满足什么条件？
(1)加法 A、B 同型，且有相同的分块法. 加法: 、
(2)数乘 不需要任何条件 数乘: 不需要任何条件.
(3)乘法 A 的列数等于 B 的行数， A 中列的 乘法: 的行数， 且
1 3 【例2】 设 A = 0 0 【解】 令
2 0 4 0 0 −1 0 −3
0 0 ， 求 A −1 及 A 3 −2 −4
1 2 − 1 −2 A1 0 A= A1 = 3 4 A2 = −3 −4 0 A2 由 A = A1 A2 = ( −2)( −2) = 4 ≠ 0 A1 −1 −1 A =
| A|= | A1 |L | As |.
都可逆时, 也可逆, 当 A1 , L , As 都可逆时 A也可逆 且
A1−1 0 . A −1 = O −1 As 0
【思考题】
0 若A = An N A1 A1−1 0 , 是否还有 A−1 = O −1 As 0 0
在等式两边取行列式得到 | E − AB | = | E − BA |.
有意义. 分块矩阵的乘法能简化矩阵的乘法运算, 有意义 分块矩阵的乘法能简化矩阵的乘法运算 特 别在理论推导中. 别在理论推导中
【例1】
1 1 −1 −1 0 1 设A = 0 0 0 0 0 0 用分块乘法求 AB . 0 1 1 0 , B = 1 0 2 0 2 −1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2
A11 + B11 A+ B = M As1 + Bs1 L O L A1t + B1t . M Ast + Bst
分块矩阵的数乘: 若矩阵 A分块为 分块矩阵的数乘: A11 L A1n M , A= O M Am 1 L Amn
【解】将矩阵 A、B 进行如下分块： 、 进行如下分块： 1 −1 A= 0 0 1 1 B= 0 0 1 −1 0 1 0 0 0 0 2 −1 0 0 0 0 0 1 0 0 A11 A12 = 1 0 A22 2 0 0 B11 0 = 0 0 B22 2
§4
本节主要内容: 本节主要内容:
分块矩阵的运算
矩阵的分块 分块矩阵的运算法则
1.矩阵的分块 1.矩阵的分块
为了简化运算, 对于行数和列数较高的矩阵 A , 为了简化运算 经常采用分块法 使大矩阵运算化成小矩阵的运算. 经常采用分块法, 使大矩阵运算化成小矩阵的运算 分块法 具体做法是: 具体做法是 用贯穿矩阵的纵线和横线将一个矩阵 分割成若干个小块矩阵, 此过程称为矩阵的分块 矩阵的分块. 分割成若干个小块矩阵 此过程称为矩阵的分块 小块矩阵
A11 A12 B11 0 A11 B11 A12 B22 AB = 0 B22 = 0 0 A22 A22 B22 1 1 1 2 2 1 其中， A11 B11 = 1 −1 = −1 −2 ; −1 0 0 1 0 0 1 2 A22 B22 = 1 2 = 2 4 ; 0 2 −1 0 0 0 0 0 A12 B22 = 1 2 = 0 0 ; 1 0
其中,
α 1 = ( 1, 2, 3 ) , α 2 = ( 4, 5, 6 ) , α 3 = ( 7, 8, 9 ) .
2. 分块矩阵的运算 分块矩阵的加法: 分块矩阵的加法:
矩阵, 它们分块相同, 若 A, B 都为 m × n 矩阵 它们分块相同 即 A11 L A1t B11 L B1t A = M O M , B = M O M , As1 L Ast Bs1 L Bst 为同型矩阵, 且 Aij 与 Bij 为同型矩阵 则有
可逆. 【解】由于 | D |=| A| ⋅ | B |≠ 0 , 故 D 可逆
X Y 阶方阵, 阶方阵, 令D = , X 为 k 阶方阵 W 为 l 阶方阵 则 Z W
−1
A 0X Y DD = C B Z W AY AX = . CX + BZ CY + BW
3 3
A = A = 64.
−4 1 3 = −1 A2 2 0 0
2 −1 0 0
0 0 −3
0 0 −2 1
【例3】 A 为 k 阶可逆阵 B 为 l 阶可逆阵 C 为 阶可逆阵, 阶可逆阵, 设
A 0 , 求证： D 可逆 并求 D −1 . l × k 矩阵, D = 求证： 可逆, C B
E A 的初等变换: 的初等变换 【证明】我们考虑分块阵 B E
A E 0 E A E − B E B E = 0 E − BA E − A E A E − BA 0 0 E B E = B E
(4)转置 不需要任何条件 转置: 不需要任何条件.
3. 分块对角阵
都为方阵(阶数可以不同 阶数可以不同), 若 A1 , A2 ,L , As 都为方阵 阶数可以不同 则我们称 分块阵 0 A1 , A= O 0 As 为对角分块阵. 对角分块阵 此时
所以， 所以，
2 −1 AB = 0 0 1 −2 0 0 0 0 1 2 0 0 . 2 4
分块矩阵的转置: 分块矩阵的转置: 若分块矩阵 A11 L A1n M O M , A= Am 1 L Amn
则有
A1T 1 T A = M A1Tn L O
其中C ij = ∑ Ait Btj ( i = 1, L , k ; j = 1, L , r ) ,
t =1
l
C11 AB = M C k 1
L C1 r O M , L C kr
【说明】 在形式上如普通矩阵乘法一样运算, 在形式上如普通矩阵乘法一样运算 仅仅要求 Ait Btj
【证明】 由于 A 0 A 0 B → A 故 A r ( A + B) „ r ( A+ B
0 0 A → A + B B , B 0 A 0 ) = r ( 0 B ) = r ( A + B ). B
阶方阵, 求证| 【例4】 若 A, B 为 n 阶方阵 求证 E − AB | = | E − BA|.
一般情况下, 【评注】一般情况下 虽然分块矩阵的初等变换不 是普通矩阵初等变换, 但仍然属于等价变换. 是普通矩阵初等变换 但仍然属于等价变换 事实 上 , 每个分块矩阵的初等变换为几个普通初等变 换的叠加. 换的叠加
12】 【命题3.12】
矩阵, 若 A, B 为 m × n 矩阵 则r ( A + B ) „ r ( A) + r ( B ) .
−1
Ek 0 = 0 El 于是 AX = E , AY = 0, CX + BZ = 0, CY + BW = E . 由此解出 X = A−1 , Y = 0, Z = − B −1CA−1 , W = B −1 .
从而
A −1 0 −1 . D = −1 − 1 −1 B − B CA
4. 分块矩阵的初等变换
如同对普通矩阵那样, 如同对普通矩阵那样 我们可以对分块矩阵进行 类似的初等变换, 类似的初等变换 即: (1)交换分块矩阵的两行 列); 交换分块矩阵的两行(列 交换分块矩阵的两行 (2)用一个可逆矩阵从左 右 )边乘分块矩阵的一行 用一个可逆矩阵从左(右 边乘分块矩阵的一行 用一个可逆矩阵从左 (列)(只要可乘 只要可乘); 列 只要可乘 (3)用任何一个矩阵从左 右 )边乘分块矩阵的某一 用任何一个矩阵从左(右 边乘分块矩阵的某一 用任何一个矩阵从左 只要可乘, 行(列), 再加到另一行 列)上(只要可乘 可加 列 再加到另一行(列 上 只要可乘 可加).
1 2 3 4 5 6 = ( β , β , β )： 1 2 3 7 8 9
其中
1 2 3 4 , β = 5 , β = 6 ; β1 = 2 3 7 8 9
1 2 3 α 1 4 5 6 = α 2 7 8 9 α 3
1 2 3 例如, 的几个分块法: 例如, 以下是矩阵 4 5 6 的几个分块法 7 8 9
其中
1 2 3 4 5 6 = A11 A12 ; A21 A22 7 8 9
1 2 3 A11 = , A12 = 6 , A21 = (7, 8), A22 = 9; 4 5
为数, k 为数 则有
kA11 L kA1n M O M . kA = kAm 1 L kAmn
分块矩阵的乘法: 分块矩阵的乘法: 若 A 为 m × n 矩阵 B 为 n × s 矩阵 矩阵, 矩阵,
他们分块为
A11 L A1l B11 L B1r A = M O M , B = M O M , Bl 1 L Blr Ak 1 L Akl 的行数相同, 且 Ait 的列数与 Btj 的行数相同 则有
T Am 1 M . T L Amn
【思考】 要使运算可进行，需要满足什么条件？ 要使运算可进行，需要满足什么条件？
(1)加法 A、B 同型，且有相同的分块法. 加法: 、
(2)数乘 不需要任何条件 数乘: 不需要任何条件.
(3)乘法 A 的列数等于 B 的行数， A 中列的 乘法: 的行数， 且
1 3 【例2】 设 A = 0 0 【解】 令
2 0 4 0 0 −1 0 −3
0 0 ， 求 A −1 及 A 3 −2 −4
1 2 − 1 −2 A1 0 A= A1 = 3 4 A2 = −3 −4 0 A2 由 A = A1 A2 = ( −2)( −2) = 4 ≠ 0 A1 −1 −1 A =
| A|= | A1 |L | As |.
都可逆时, 也可逆, 当 A1 , L , As 都可逆时 A也可逆 且
A1−1 0 . A −1 = O −1 As 0
【思考题】
0 若A = An N A1 A1−1 0 , 是否还有 A−1 = O −1 As 0 0
在等式两边取行列式得到 | E − AB | = | E − BA |.
有意义. 分块矩阵的乘法能简化矩阵的乘法运算, 有意义 分块矩阵的乘法能简化矩阵的乘法运算 特 别在理论推导中. 别在理论推导中
【例1】
1 1 −1 −1 0 1 设A = 0 0 0 0 0 0 用分块乘法求 AB . 0 1 1 0 , B = 1 0 2 0 2 −1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2
A11 + B11 A+ B = M As1 + Bs1 L O L A1t + B1t . M Ast + Bst
分块矩阵的数乘: 若矩阵 A分块为 分块矩阵的数乘: A11 L A1n M , A= O M Am 1 L Amn
【解】将矩阵 A、B 进行如下分块： 、 进行如下分块： 1 −1 A= 0 0 1 1 B= 0 0 1 −1 0 1 0 0 0 0 2 −1 0 0 0 0 0 1 0 0 A11 A12 = 1 0 A22 2 0 0 B11 0 = 0 0 B22 2
§4
本节主要内容: 本节主要内容:
分块矩阵的运算
矩阵的分块 分块矩阵的运算法则
1.矩阵的分块 1.矩阵的分块
为了简化运算, 对于行数和列数较高的矩阵 A , 为了简化运算 经常采用分块法 使大矩阵运算化成小矩阵的运算. 经常采用分块法, 使大矩阵运算化成小矩阵的运算 分块法 具体做法是: 具体做法是 用贯穿矩阵的纵线和横线将一个矩阵 分割成若干个小块矩阵, 此过程称为矩阵的分块 矩阵的分块. 分割成若干个小块矩阵 此过程称为矩阵的分块 小块矩阵
A11 A12 B11 0 A11 B11 A12 B22 AB = 0 B22 = 0 0 A22 A22 B22 1 1 1 2 2 1 其中， A11 B11 = 1 −1 = −1 −2 ; −1 0 0 1 0 0 1 2 A22 B22 = 1 2 = 2 4 ; 0 2 −1 0 0 0 0 0 A12 B22 = 1 2 = 0 0 ; 1 0
其中,
α 1 = ( 1, 2, 3 ) , α 2 = ( 4, 5, 6 ) , α 3 = ( 7, 8, 9 ) .
2. 分块矩阵的运算 分块矩阵的加法: 分块矩阵的加法:
矩阵, 它们分块相同, 若 A, B 都为 m × n 矩阵 它们分块相同 即 A11 L A1t B11 L B1t A = M O M , B = M O M , As1 L Ast Bs1 L Bst 为同型矩阵, 且 Aij 与 Bij 为同型矩阵 则有
可逆. 【解】由于 | D |=| A| ⋅ | B |≠ 0 , 故 D 可逆
X Y 阶方阵, 阶方阵, 令D = , X 为 k 阶方阵 W 为 l 阶方阵 则 Z W
−1
A 0X Y DD = C B Z W AY AX = . CX + BZ CY + BW
3 3
A = A = 64.
−4 1 3 = −1 A2 2 0 0
2 −1 0 0
0 0 −3
0 0 −2 1
【例3】 A 为 k 阶可逆阵 B 为 l 阶可逆阵 C 为 阶可逆阵, 阶可逆阵, 设
A 0 , 求证： D 可逆 并求 D −1 . l × k 矩阵, D = 求证： 可逆, C B
E A 的初等变换: 的初等变换 【证明】我们考虑分块阵 B E
A E 0 E A E − B E B E = 0 E − BA E − A E A E − BA 0 0 E B E = B E