2020年高考数学(理)(全国通用版)一轮复习课时分层作业： 三十三 5.4数 列 求 和 Word版含解析.doc

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课时分层作业三十三
数列求和
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.数列{1+2n-1}的前n项和为( )
A.1+2n
B.2+2n
C.n+2n-1
D.n+2+2n
【解析】选C.由题意得a n=1+2n-1,
所以S n=n+=n+2n-1.
2.1-4+9-16+…+(-1)n+1n2等于( )
A. B.-
C.(-1)n+1
D.以上答案均不对
【解析】选C.当n为偶数时,1-4+9-16+…+(-1)n+1n2=-3-7-…-(2n-1)
=-=-;
当n为奇数时,1-4+9-16+…+(-1)n+1n2=-3-7-…-[2(n-1)-1]+n2
=-+n2=,
综上可得,原式=(-1)n+1.
3.设直线nx+y=与两坐标轴围成的三角形面积为a n,则a1+a2+…+a2 017= ( )
A. B.
C. D.
【解析】选A.分别令x=0和y=0,得到直线nx+(n+1)y= (n∈N*)与
两坐标轴的交点:,,则
a n=··==-,
然后分别代入1,2,…,2 017,则有a1+a2+…+a2 017=1-+-+…
+-=
1-=.
【变式备选】已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a4=4,S4=10,则数列
的前2 018项和为( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.设等差数列{a n}的公差为d,则a4=a1+3d=4,S4=4a1+6d=10,联立解得a1=d=1,所以a n=a1+(n-1)d=n,==-,所以数列的前
2 018项和为++…
+=1-=.
4.已知数列{a n}的前n项和为S n,通项公式a n=n·(-1)n+1,则S17=( )
A.10
B.9
C.8
D.7
【解析】选B.S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17
=1+(-2+3)+(-4+5)+…+(-14+15)+(-16+17)
=1+1+1+…+1=9.
【一题多解】解决本题还可以采用以下方法:
选 B.S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=(1+3+…+17)-(2+4+…+16)=81-72=9.
【变式备选】在数列{a n}中,a1=2,a2=2,a n+2-a n=1+(-1)n,n∈N*,则S60的值为( )
A.990
B.1 000
C.1 100
D.99
【解析】选A.n为奇数时,a n+2-a n=0,a n=2;n为偶数时,a n+2-a n=2,a n=n.故S60=
2×30+(2+4+…+60)=990.
5.定义为n个正数p1,p2,…,p n的“均倒数”.若已知正项数列{a n}的前n项的“均倒数”为,又b n=,则
++…+=
( )
A. B. C. D.
【解析】选C.依题意有=,即数列{a n}的前n项和S n=n(2n+1)
=2n2+n,当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,a n=S n-S n-1=4n-1,a1=3满足该式.则a n=
4n-1,b n==n.因为==-,所以
++…+=
1-+-+…+-=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知数列2 017,2 018,1,-2 017,…若这个数列从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前 2 018项之和S2
018=________.
【解析】由题意可知a n+1=a n+a n+2,a1=2 017,a2=2 018,所以a3=1,a4=-2
017,a5=
-2 018,a6=-1,a7=2 017,…,所以a n+6=a n,即数列{a n}是以6为周期的数
列,又a1+a2+a3+a4+a5+a6=0, 所以S2
+a2+a3+a4+a5+a6)+(a1+a2)=4 035.
018=336(a1
答案:4 035
7.对于数列{a n},定义数列{a n+1-a n}为数列{a n}的“差数列”,若a1=2,{a n}
的“差数列”的通项公式为2n,则数列{a n}的前n项和S n=________.
【解析】因为a n+1-a n=2n,
所以a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a2-a1)+a1
=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n.
所以S n==2n+1-2.
答案:2n+1-2
8.设等差数列{a n}的前n项和为S n,且S n=na n+a n-c(c是常数, n∈N*),a2=6,又b n=,数列的前n项和为T n,若2T n>m-2对n∈
N*恒成立,则正整数m的最大值是________.
【解析】因为S n=na n+a n-c,
当n=1时, S1=a1+a1-c,解得a1=2c,
当n=2时,S2=a2+a2-c,即a1+a2=a2+a2-c,
解得a2=3c,所以3c=6,解得c=2.
则a1=4,数列{a n}的公差d=a2-a1=2,
所以a n=a1+(n-1)d=2n+2.
因为b n===,
由错位相减可得: T n=2-,
则T n+1-T n=-=>0
所以数列{T n}单调递增,T1最小,最小值为,
所以2×>m-2,所以m<3,
故正整数m的最大值为2.
答案:2
【题目溯源】本考题源于教材人教A版必修五P61习题A组T4“求和:1+2x+3x2+…+nx n-1”.
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2018·武邑模拟)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=2,a2=8,a3=24,{a n+1-2a n}为等比数列.
(1)求数列{a n}的通项公式.
(2)求S n.
【解析】(1)因为a2-2a1=4,a3-2a2=8,
所以a n+1-2a n=4×2n-1=2n+1,
所以-=1,所以是以1为首项,1为公差的等差数列.
所以=1+(n-1)=n,
所以a n=n×2n.
(2)由(1)可得a n=n×2n,
所以S n=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,①
2S n=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1,②
由①-②及整理得S n=(n-1)×2n+1+2.
10.已知函数g(x)=(a+1)x-2+1(a>0)的图象恒过定点A,且点A又在函数f(x)=lo(x+a)的图象上.
(1)求实数a的值.
(2)当方程|g(x+2)-2|=2b有两个不等实根时,求b的取值范围.
(3)设a n=g(n+2),b n=,n∈N*,求证,b1+b2+b3+…+b n<,(n∈N*).
【解析】(1)函数g(x)的图象恒过定点A,A点的坐标为(2,2),
又因为A点在f(x)上,则f(2)=(2+a)=2,
即2+a=3,所以a=1.
(2)=2b,即
=2b,
所以=2b,
由图象可知:0<2b<1,
故b的取值范围为.
(3)a n=2n+1,
b n==-,
所以b1+b2+b3+…+b n=-<,n∈N*.
1.(5分)(2018·合肥模拟)已知数列{a n}满足a1=2,4a3=a6,是等差数列,则数列{(-1)n a n}的前10项的和S10= ( )
A.220
B.110
C.99
D.55
【解析】选B.设等差数列的公差为d,则=a1+5d,=+3d, 将已知值和等量关系代入,计算得d=2,所以
=a1+(n-1)d=2n,a n=2n2,所以
S10=-a1+a2-a3+…+a10
=2(-12+22-32+…+102)=110.
2.(5分)已知在正项等比数列{a n}中,a1=1,a2a4=16,则|a1-12|+|a2-12|+…+|a8-12|= ( )
A.224
B.225
C.226
D.256
【解析】选B.设正项等比数列{a n}的公比为q且q>0,
因为a1=1,a2a4=16,
所以q4=16,解得q=2.
所以a n=1×2n-1=2n-1,
由2n-1≤12,解得n≤4.
所以|a1-12|+|a2-12|+…+|a8-12|=12-a1+12-a2+12-a3+12-a4+a5-12+…+a8-12
=-2(a1+a2+a3+a4)+(a1+a2+…+a8)
=-2×+
=-2(24-1)+28-1=225.
【变式备选】已知数列{a n}的通项公式为a n=(-1)n+1(3n-2),则前100
项和S100等于________.
【解析】因为a1+a2=a3+a4=a5+a6=…=a99+a100=-3,所以S100=-3×50=-150. 答案:-150
3.(5分)设数列{a n}的前n项和为S n,且a n=sin ,n∈N*,则S2 018=________.
【解析】a n=sin ,n∈N*,显然每连续四项的和为0.S2 018=S4×504+2=1+0=1.
答案:1
4.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=n2-n(n∈N*).
(1)求数列{a n}的通项公式.
(2)设b n=,求数列的前n项和T n.
【解析】(1) 当n=1时, a1=S1=-=-2,
当n≥2时, a n=S n-S n-1=n2-n-
[(n-1)2-(n-1)]=3n-5,将n=1代入上式验证显然适合,
所以a n=3n-5(n∈N*).
(2)b n=
=,
所以T n=b1+b2+…+b n
=++…
+(-)==-.
5.(13分)数列{a n}的前n项和为S n,已知S n+1=S n+a n+2,a1,a2,a5成等比数列.
(1)求数列的通项公式.
(2)若数列{b n}满足=,求数列{b n}的前n项和T n.
【解析】(1)因为S n+1=S n+a n+2, 所以a n+1-a n=2,
所以数列{a n}是公差为2的等差数列,
因为a1,a2,a5成等比数列, 所以=a1·a5,
所以=a1 (a1+8),解得a1=1.
所以a n=1+2(n-1)=2n-1.
(2)因为数列{b n}满足=,
所以b n=(2n-1) =(2n-1)·2n.
所以数列{b n}的前n项和
T n=2+3×22+5×23+…+(2n-1)·2n,
所以2T n=2×2+3×23+…+(2n-3)×2n+(2n-1)×2n+1,
所以T n=6+(2n-3)×2n+1.
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