2019届三湘名校教育联盟高三第一次大联考数学(理)试题 含答案

绝密★启用前
2019届三湘名校教育联盟高三第一次大联考
理科数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 A={183|2--x x x <0}，B={12|-x x >1},则 = =B A
A. (1,3)
B. (1,6)
C. (2,3)
D. (2,6)
2.已知复数z 满足i i
zi 2111+=-+，则其共轭复数z 的虚部为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.设向量)21
,21(),1,0(-=-=b a ，则下列结论中正确的是
A.a//b
B.(a+b)丄b
C.(a-b)丄b
D.|a-b|=|b|
4.已知x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥+≤-+≥--0120301y y x y x ,则的最小值为 A. 21 B. 1 C. 2
3 D.2 5.“2=a ”是“函数)21lg()(2ax x x f -+=为奇函数”的
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A.8
B.16
C.24
D.48
7.设 2ln 2
1,)1(43,310221
=-==⎰-c dx x b a ,则 A. a<b 〈c B. b<a<c C.c 〈a 〈b D. c<b 〈a
8.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”。

其中的“筹”原意是指《孙 子算经》中
记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆
在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排 列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如2268用算筹表示就是=||丄|||.执行如图所示程序框 图，若输人的x=1, y = 2,则输出的S 用算筹表示为
9.过双曲线C: 122
22=-b
y a x (a>b>0)的一个焦点F 向其一条渐近线引垂线，垂足为E ，0为坐标原点，若△O EF 的面积为1，其外接圆面积为4
5π，则C 的离心率为 A. 2
5 B.3 C.2 D. 5 10.设α>0，β>0,将函数x x f sin )(=的图像向左平移α个单位长度得到图像C 1，将函数)6cos()(π
+=x x g 的图像向右平移β个单位长度得到图像C 2，若C 1与C 2重合，则=+)cos(βα A. 23- B. 2
3 C. 21- D. 21
11.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1-BC 1D 内切球的表面积为π4，则正方体外接球的体积为 A. π68 B. π36 C. π332 D. π664
12.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=0＞,12
10,1)(x x x e x f x ，若n m ＜且)()(n f m f =，则m n -的最小值为
A. 12lg 2-
B. 2lg 2-
C. 2lg 1+
D. 2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若6)2(a x -的展开式中3x 的系数为-20,则a = .
14. 抛物线py x 22= (p>0)上纵坐标为4的点A 到其焦点F 的距离为5,则点A 到原点的距离为 .
15.函数x x x f cos 22sin )(+=在区间],0[π上的值域为 .
16.已知a,b,c 分别为△ABC 内角A,B,C 的对边，B A b a 2sin cos ,3,62===，则△ABC 的面积为 .
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(―)必考题：共60分。

17.(12分）
已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且112
3+=+n n n a a S . (1)是否存在常数λ，使得n n n a a a λλ++=++12)1(?请说明理由；
(2)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和.
18. (12分）
如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA 丄底面ABCD,且PA=2AB ，F 是AB 的中点，点E 在线段PC 上，且PE 丄PC 3
1. （1）证明：平面丄平面ABCD;
（2）求二面角B-AE-D 的余弦值.
19.(12分）
随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台。

已知某外卖平台的送餐费用与送餐距离有关（该平台只给5千米范围内配送），为调査送餐员的送餐收入，现从该平台随机抽取80名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计结果如下表：
以这80名用户送餐距离位于各区间的频率代替送餐距离位于该区间的概率。

（1）若某送餐员一天送餐的总距离为80千米，试估计该送餐员一天的送餐份数；
（2）若该外卖平台给送餐员的送餐费用与送餐距离有关，规定1千米内为短距离，每份3元， 2千米到4千米为中距离，每份5元，超过4千米为远距离，每份9元。

(i)记X 为送餐员送一份外卖的收入（单位：元），求X 的分布列和数学期望；
(ii)若送餐员一天的0标收入不低于150元，试估计一天至少要送多少份外卖？
20.(12分）
已知椭圆C: 122
22=+b
y a x (a>b>0)的上顶点E 与其左、右焦点F 1、F 2构成面积为1的直角三角形。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点F 2的直线l 交C 于A （11,y x )，B(22,y x )两点，P 是C 上的动点，当
3112
1=+x x 吋，求△PAB 面积的最大值。

21.(12分）
设函数)1ln()(++=x b ae x f x ，曲线)(x f y =在点（0, )0(f )处的切线方程为：12+=x y .
（1）求b a ,的值；
（2）若当0≥x 时，mx x f +≥1)(,求m 的取值范围.
(二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分。

22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1: 142
2
=+y x ，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心极坐标为（3，π)，半径为1的圆。

（1）求曲线C 1的参数方程和C 2的直角坐标方程；
（2）设M ，N 分别为曲线C 1、C 2上的动点，求|MN|的取值范围.
23.[选修4 一5 :不等式选讲](10分）
已知函数 |2||12|)(+--=x x x f .
（1）求不等式)(x f >0的解集；
（2）若关于x 的不等式|5|3)3(|12|+++≥+x x f m 有解，求实数m 的取值范围.。