实验 用复摆测量刚体的转动惯量
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2 2 2
2
即
2 2 2 2 Mgh T 4 J 4 Mh 1 1 C 1 0 2 Mgh2T22 4 2 J C 4 2 Mh2 0
(3-4-15) (3-4-16)
联立解式(3 - 4 - 15)、 式(3 - 4 - 16), 可得出
h1 h2 g 4 2 2 h1T1 h2T2
五、 注意事项 (1) 摆幅 A 须小于 1°。若按 R=0.3m(
针)= 330 mm计2倍振幅, 则
1 摆杆 )+0.03m( 摆 2
2π 330 2A 1 10 mm 360
(2) 摆的悬挂处的孔和刀口间须密切接触。若不密切接触 则调节底脚螺钉,否则会影响实验测量。 (3) 周期T的测量建议以t=10T为宜, 即 T
在研究锤移效应时，令（固定不变）：
（4-28）
C Ma 2 mh2 mr2
k (M m) g
(3 - 4 - 29) (3 - 4 - 30)
所以有
由式(3 2 Tm 2 m k h X M m
M ' M m
质心变为C′, 则由力矩平衡原理可得出
(3 - 4 - 23)
m X CC M m
(3 - 4 - 24)
图 3-4-4 加锤摆
所以新的摆长为
m X h' h CC ' h M m
(3 - 4 - 25)
由平行轴定理, 可得
' J0 Ma2 Mh2 mr2 m(h X )2 (3-4-26)
C m( h X ) 2 f m k h X m X
令
U C m(h X ) 2
m V h X M m
代入
U dV dU d U V V dX dX dX V2
可得
m m 2 h X [ 2 m ( h X )] ( 1 ) [ C m ( h X ) ] M m M m 0 2 m h X (3 - 4 - 33) M m
d 21 g Sin1 0 2 dt l
(3 - 4 - 1)
式中, t为时间, g为重力加速度, l为摆长。 当θ 1(rad)很小时,
sin 1 1
则式(3 - 4 - 1)可简化为
(3 - 4 - 2)
(3-4-3)
d 1 g 1 0 2 dt l
2
图 3 - 4 - 1 单摆的工作原理
JC h T 2 Mgh g
式(3 - 4 - 12)就是物理摆的自由摆动周期T。
(3 - 4 - 12)
令J=Ma2, a称为回转半径, 则有
T
a2 h gh g
(3 - 4 - 13)
因为对任何JC都有JC∝M, 所以式(3-4-13)的T与M无关, 仅 与M的分布(C点)相关。
t 10
。
六、 思考题 (1) 试证明二次法测g的公式(3-4-17)等效于卡特公式(3-4-
22)。
(2) 为什么不能用图3-4-3的C点的(T1, h1)值和F点的(T2,h2)
值来计算重力加速度g值, 而须用(F, D)或(F, E)来计算g?
(3) 试述用摆动法测量任意形状物体对任一指定轴的转 动惯量的实验步骤(设当地的重力加速度g已知)。
2
2
2
(3-4-17)
这样就消去了 JC 。因此，式 (3-4-17) 测 g 就有着广泛的适用性。 另外, 从式(3 - 4 - 17)可十分明确地看到T与M的无关性。
虽然任意两组(h1,T1)、 (h2,T2)实测值都可以由式(3 - 4 －17)
算出g, 但是对于一个确定的物理摆究竟选取怎样的两组 (h,T)数 据,才能得出最精确的g的实测结果呢？ 为此必须研究T(h)关系。 将式(3 - 4 - 12)平方, 可得出
令 则式(3 - 4 - 3)的解为
12
g l
(3 - 4 - 4)
1 10 sin(1t )
(3-4-5)
式中,θ10、α的值由初始条件所决定。 由式(3 - 4 - 4)可得单摆周期为
l T1 2 g
(3-4-6)
2. 物理摆 一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。如图 3 -
实验
用复摆测量刚体的转动惯量
在重力作用下能绕某固定水平轴摆动的刚体称做复摆， 又 称物理摆。复摆的摆动中心称为撞击中心。机器中有些必须经 受碰撞的转动件，如离合器、冲击摆锤等，为防止巨大瞬时力 对轴承的危害，应使碰撞冲击力通过撞击中心。复摆实验是一 个传统的实验， 通常用于研究周期与物体摆动中心及摆轴位置
的关系， 也用于测定重力加速度。
一、 实验目的 (1) 学习对长度和时间的较精确的测量。 (2) 掌握测量重力加速度的方法, 并加深对刚体转动理 论的理解。 (3) 学习用作图法处理、 分析数据。 二、 实验仪器 JD-2物理摆、光电计时器等。
1. 单摆
单摆的工作原理如图3-4-1所示。单摆球的质量为m,当球的 半径远小于摆长l时, 应用动量矩定理, 在直角坐标系下可得小球 自由摆动的微分方程为
设重力加速度g已知(不变), 则由动量矩定理，仿照式(3 -47)、 式(3- 4- 10)， 可知带锤摆的摆动方程式为
m X ( M m) g [h J0 ] sin M m
(3-4-27)
1. 加锤摆的周期公式
加锤摆的周期公式Tm为
[ Ma 2 Mh 2 m r2 ] m(h x) 2 Tm 2 m ( M m) g (h x) M m
(3 - 4 - 31)
① 加锤摆的周期公式与无锤摆的周期公式形式相似,即原 T(h)关系与现在Tm(X)关系相似(此时h为固定常数)。
m M m X 0 ,即 X h 时,Tm→∞。 Tm(X)的渐近线为h M m m
② 由于X的取向等原因,Tm(X)相当于图3-4-3曲线的左叶,
而X的负向则为X→－∞时,Tm→＋∞。
③可倒摆
为提高测的精度，历史上在对称结构的物理摆的摆杆上，加 两个形体相同而密度不同的两个摆锤对称地放置。于是质心C 点随即被改变，图4-3的图线也随之改变，特别是TC（即T1）， TF（即T2）所相应的hC（即h1），hF（即h2）也随之改变。但 曲线的形状依归。所以，用此时的T（=TF =TC）和h1（=hC）， h2（=hF）按（4-22）式来计算出。 当然，由于摆杆孔的非连续性，所以仅能用 TC≈TF 的实测 值，这时（4-22）式的右端的第2项仅具很小的值。所以（T1– T2）很小，而（h1–h2）较大。所以实验须先在重铁锤的摆杆的 下端测出 T1后，将摆倒置过来，从远端测出大于 T1的值然后逐 渐减h2直至T2小于T1为止。
1) 一次法测重力加速度g
由式(3 - 4 - 12)可得出
4π 2 ( J C Mh2 ) g Mh
(3 - 4 - 14)
因此,测出式(3-4-14)右端各量即可得g。摆动周期T用数字计时 器可直接测出 ;M可用天平称出; C点可用杠杆平衡原理等办法 求出。对于形状等规则的摆,JC可以通过计算得出。
JC T2 h 2 Mgh g 4
(3-4-18)
从上式可以看出,T2与h的关系大体为一变形的双曲线型图线。 当h→0时,T→∞; 当h→∞时,T→∞。可见,在h的某一处一定有一个
d T 可得 0, dh
凹形极小值。为此 , 对式 (3-4-18) 作一次求导并令其为 0,
即由
JC 1 0 2 g Mgh
4-2所示, 设物理摆的质心为C,质量为M,悬点为O, 绕O点在铅直
面内转动的转动惯量为 J0,OC 距离为 h 。在重力作用下 , 由刚体 绕定轴转动的转动定律可得微分方程为
d 2 J 0 2 Mghsin dt
令
(3 - 4 - 7)
Mgh J0
2
(3 - 4 - 8)
仿照单摆, 在θ 很小时, 式(3 - 4 - 7)的解为
附注 锤移效应
设原摆为一带刻度的摆杆。摆的质量为M,质心为C(设为坐
标原点),摆心为O, CO距离为h,质心C处与摆心O处沿OZ轴的转
动惯量为JC、J0。以上条件皆固定不变, 然后再加一个圆柱形的 摆锤,锤的回转半径为r, 质量为m,正轴与上述各轴平行。 锤移
动沿CO方向为+X。置锤于X处, 如图3 - 4 - 4所示。
m m 2 2 h X ( 2 mh 2 mX ) ( 1 ) ( C mh 2 mhX mX )0 M m M m
为与T1对应的hE，h2为与T2对应的hF，并将(4-17)式改形为：
4 T T2 T T2 g 2(h1 h2 ) 2(h1 h2 )
2 2 1 2 2 1 2
(3 - 4 - 22)
式(3-4-22)与式(3-4-17)的等同性可用代数关系进行验证。从
式 (3-4-22) 可知 , 当 T1=T2=T 时 , 即为单摆的周期公式 (3-4-6), 故将 hE+hF、hC+hD称为等值单摆长。
将加有二摆锤的摆叫作可倒摆（或称为开特氏摆）；（4-22） 式就称为可倒摆计算式。
摆锤用两个而不是用一个，而且形体作成相同，是因为倒置
以后在摆动过程中，摆的空气阻尼等对摆的运动的影响可消除。
由物理摆的理论可知，可倒摆（开特摆）仅是物理摆的特
例。
四、 实验内容与步骤 安装、调节好仪器以后，进行如下操作： (1) 测出无锤摆杆的T(H)关系(可只测1/2摆杆)。 (2) 测出两个加锤摆的T1(X)、T2(X)关系。两摆锤的形状、 尺寸须相同,而质量不同。 (3) 按原理所述, 进行数据处理。 (数据表格自列)
图 3-4-3 摆动周期T与摆轴离中心距离h的关系
在共轭的A，B二极小T值点以上，沿任一T h画一条直线， 交图线于C，D，E，F四点；皆为等T值点，错落的两对等T值间 的距离（hD+hE）= hC + hF被称为等值单摆长。为理解这一点， 将（4-17）式的T1与TE（或TD）对应，T2与TF（或TC）对应，h1
M m 注: 若 X h , 则Tm为复数(无意义)。 m
③ 加锤摆的周期公式存在着极(小)值。 所以应有
因为
并令
dTm ( X ) 0 dX
(3-4-32)
dTm dTm df dX df dX
所以有 1 C m( h X ) 2 d C m( h X ) 2 2 0 m m d X k (h X) k (h )X M m M M
(3 - 4 - 19)
Mh 2 J C Ma 2
(3 - 4 - 20)
即移动摆轴所增加的转动惯量恰为质心处的转动惯量。 亦即在h=a处所相应的T为极小值。(为什么？)
为研究 T(h) 关系,在0.6m长的扁平摆杆上 , 每间隔 2cm均匀
钻出直径为 1cm 的 28 个孔 , 并以此作为 O 点的 Hi 值 (i=±1,±2, ±3, …,±14),于是可得出如图3-4-3所示的曲线。
sin(t )
J0 T 2 Mgh
(3-4-9)
(3- 4-10)
图 3 - 4 - 2 物理摆(复摆)
设摆体沿过质心C的转动惯量为JC, 则由平行轴定理可知:
J 0 J C Mh2
将式(3 - 4 - 11)代入式(3 - 4 - 10)可得
(3 - 4 - 11)
2) 二次法测重力加速度g
一次法测g虽然简明,但有很大的局限性,特别是对于不规则 物理摆,JC就难以确定,为此采用如下“二次法”测g。 当M及其分布(C点)确定以后, 通过改变h值, 作两次测T的实 验,运用式(3-4-12)可得
2 2 J C Mh 1 T1 4 Mgh1 2
J C Mh2 T 4 Mgh2
2
即
2 2 2 2 Mgh T 4 J 4 Mh 1 1 C 1 0 2 Mgh2T22 4 2 J C 4 2 Mh2 0
(3-4-15) (3-4-16)
联立解式(3 - 4 - 15)、 式(3 - 4 - 16), 可得出
h1 h2 g 4 2 2 h1T1 h2T2
五、 注意事项 (1) 摆幅 A 须小于 1°。若按 R=0.3m(
针)= 330 mm计2倍振幅, 则
1 摆杆 )+0.03m( 摆 2
2π 330 2A 1 10 mm 360
(2) 摆的悬挂处的孔和刀口间须密切接触。若不密切接触 则调节底脚螺钉,否则会影响实验测量。 (3) 周期T的测量建议以t=10T为宜, 即 T
在研究锤移效应时，令（固定不变）：
（4-28）
C Ma 2 mh2 mr2
k (M m) g
(3 - 4 - 29) (3 - 4 - 30)
所以有
由式(3 2 Tm 2 m k h X M m
M ' M m
质心变为C′, 则由力矩平衡原理可得出
(3 - 4 - 23)
m X CC M m
(3 - 4 - 24)
图 3-4-4 加锤摆
所以新的摆长为
m X h' h CC ' h M m
(3 - 4 - 25)
由平行轴定理, 可得
' J0 Ma2 Mh2 mr2 m(h X )2 (3-4-26)
C m( h X ) 2 f m k h X m X
令
U C m(h X ) 2
m V h X M m
代入
U dV dU d U V V dX dX dX V2
可得
m m 2 h X [ 2 m ( h X )] ( 1 ) [ C m ( h X ) ] M m M m 0 2 m h X (3 - 4 - 33) M m
d 21 g Sin1 0 2 dt l
(3 - 4 - 1)
式中, t为时间, g为重力加速度, l为摆长。 当θ 1(rad)很小时,
sin 1 1
则式(3 - 4 - 1)可简化为
(3 - 4 - 2)
(3-4-3)
d 1 g 1 0 2 dt l
2
图 3 - 4 - 1 单摆的工作原理
JC h T 2 Mgh g
式(3 - 4 - 12)就是物理摆的自由摆动周期T。
(3 - 4 - 12)
令J=Ma2, a称为回转半径, 则有
T
a2 h gh g
(3 - 4 - 13)
因为对任何JC都有JC∝M, 所以式(3-4-13)的T与M无关, 仅 与M的分布(C点)相关。
t 10
。
六、 思考题 (1) 试证明二次法测g的公式(3-4-17)等效于卡特公式(3-4-
22)。
(2) 为什么不能用图3-4-3的C点的(T1, h1)值和F点的(T2,h2)
值来计算重力加速度g值, 而须用(F, D)或(F, E)来计算g?
(3) 试述用摆动法测量任意形状物体对任一指定轴的转 动惯量的实验步骤(设当地的重力加速度g已知)。
2
2
2
(3-4-17)
这样就消去了 JC 。因此，式 (3-4-17) 测 g 就有着广泛的适用性。 另外, 从式(3 - 4 - 17)可十分明确地看到T与M的无关性。
虽然任意两组(h1,T1)、 (h2,T2)实测值都可以由式(3 - 4 －17)
算出g, 但是对于一个确定的物理摆究竟选取怎样的两组 (h,T)数 据,才能得出最精确的g的实测结果呢？ 为此必须研究T(h)关系。 将式(3 - 4 - 12)平方, 可得出
令 则式(3 - 4 - 3)的解为
12
g l
(3 - 4 - 4)
1 10 sin(1t )
(3-4-5)
式中,θ10、α的值由初始条件所决定。 由式(3 - 4 - 4)可得单摆周期为
l T1 2 g
(3-4-6)
2. 物理摆 一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。如图 3 -
实验
用复摆测量刚体的转动惯量
在重力作用下能绕某固定水平轴摆动的刚体称做复摆， 又 称物理摆。复摆的摆动中心称为撞击中心。机器中有些必须经 受碰撞的转动件，如离合器、冲击摆锤等，为防止巨大瞬时力 对轴承的危害，应使碰撞冲击力通过撞击中心。复摆实验是一 个传统的实验， 通常用于研究周期与物体摆动中心及摆轴位置
的关系， 也用于测定重力加速度。
一、 实验目的 (1) 学习对长度和时间的较精确的测量。 (2) 掌握测量重力加速度的方法, 并加深对刚体转动理 论的理解。 (3) 学习用作图法处理、 分析数据。 二、 实验仪器 JD-2物理摆、光电计时器等。
1. 单摆
单摆的工作原理如图3-4-1所示。单摆球的质量为m,当球的 半径远小于摆长l时, 应用动量矩定理, 在直角坐标系下可得小球 自由摆动的微分方程为
设重力加速度g已知(不变), 则由动量矩定理，仿照式(3 -47)、 式(3- 4- 10)， 可知带锤摆的摆动方程式为
m X ( M m) g [h J0 ] sin M m
(3-4-27)
1. 加锤摆的周期公式
加锤摆的周期公式Tm为
[ Ma 2 Mh 2 m r2 ] m(h x) 2 Tm 2 m ( M m) g (h x) M m
(3 - 4 - 31)
① 加锤摆的周期公式与无锤摆的周期公式形式相似,即原 T(h)关系与现在Tm(X)关系相似(此时h为固定常数)。
m M m X 0 ,即 X h 时,Tm→∞。 Tm(X)的渐近线为h M m m
② 由于X的取向等原因,Tm(X)相当于图3-4-3曲线的左叶,
而X的负向则为X→－∞时,Tm→＋∞。
③可倒摆
为提高测的精度，历史上在对称结构的物理摆的摆杆上，加 两个形体相同而密度不同的两个摆锤对称地放置。于是质心C 点随即被改变，图4-3的图线也随之改变，特别是TC（即T1）， TF（即T2）所相应的hC（即h1），hF（即h2）也随之改变。但 曲线的形状依归。所以，用此时的T（=TF =TC）和h1（=hC）， h2（=hF）按（4-22）式来计算出。 当然，由于摆杆孔的非连续性，所以仅能用 TC≈TF 的实测 值，这时（4-22）式的右端的第2项仅具很小的值。所以（T1– T2）很小，而（h1–h2）较大。所以实验须先在重铁锤的摆杆的 下端测出 T1后，将摆倒置过来，从远端测出大于 T1的值然后逐 渐减h2直至T2小于T1为止。
1) 一次法测重力加速度g
由式(3 - 4 - 12)可得出
4π 2 ( J C Mh2 ) g Mh
(3 - 4 - 14)
因此,测出式(3-4-14)右端各量即可得g。摆动周期T用数字计时 器可直接测出 ;M可用天平称出; C点可用杠杆平衡原理等办法 求出。对于形状等规则的摆,JC可以通过计算得出。
JC T2 h 2 Mgh g 4
(3-4-18)
从上式可以看出,T2与h的关系大体为一变形的双曲线型图线。 当h→0时,T→∞; 当h→∞时,T→∞。可见,在h的某一处一定有一个
d T 可得 0, dh
凹形极小值。为此 , 对式 (3-4-18) 作一次求导并令其为 0,
即由
JC 1 0 2 g Mgh
4-2所示, 设物理摆的质心为C,质量为M,悬点为O, 绕O点在铅直
面内转动的转动惯量为 J0,OC 距离为 h 。在重力作用下 , 由刚体 绕定轴转动的转动定律可得微分方程为
d 2 J 0 2 Mghsin dt
令
(3 - 4 - 7)
Mgh J0
2
(3 - 4 - 8)
仿照单摆, 在θ 很小时, 式(3 - 4 - 7)的解为
附注 锤移效应
设原摆为一带刻度的摆杆。摆的质量为M,质心为C(设为坐
标原点),摆心为O, CO距离为h,质心C处与摆心O处沿OZ轴的转
动惯量为JC、J0。以上条件皆固定不变, 然后再加一个圆柱形的 摆锤,锤的回转半径为r, 质量为m,正轴与上述各轴平行。 锤移
动沿CO方向为+X。置锤于X处, 如图3 - 4 - 4所示。
m m 2 2 h X ( 2 mh 2 mX ) ( 1 ) ( C mh 2 mhX mX )0 M m M m
为与T1对应的hE，h2为与T2对应的hF，并将(4-17)式改形为：
4 T T2 T T2 g 2(h1 h2 ) 2(h1 h2 )
2 2 1 2 2 1 2
(3 - 4 - 22)
式(3-4-22)与式(3-4-17)的等同性可用代数关系进行验证。从
式 (3-4-22) 可知 , 当 T1=T2=T 时 , 即为单摆的周期公式 (3-4-6), 故将 hE+hF、hC+hD称为等值单摆长。
将加有二摆锤的摆叫作可倒摆（或称为开特氏摆）；（4-22） 式就称为可倒摆计算式。
摆锤用两个而不是用一个，而且形体作成相同，是因为倒置
以后在摆动过程中，摆的空气阻尼等对摆的运动的影响可消除。
由物理摆的理论可知，可倒摆（开特摆）仅是物理摆的特
例。
四、 实验内容与步骤 安装、调节好仪器以后，进行如下操作： (1) 测出无锤摆杆的T(H)关系(可只测1/2摆杆)。 (2) 测出两个加锤摆的T1(X)、T2(X)关系。两摆锤的形状、 尺寸须相同,而质量不同。 (3) 按原理所述, 进行数据处理。 (数据表格自列)
图 3-4-3 摆动周期T与摆轴离中心距离h的关系
在共轭的A，B二极小T值点以上，沿任一T h画一条直线， 交图线于C，D，E，F四点；皆为等T值点，错落的两对等T值间 的距离（hD+hE）= hC + hF被称为等值单摆长。为理解这一点， 将（4-17）式的T1与TE（或TD）对应，T2与TF（或TC）对应，h1
M m 注: 若 X h , 则Tm为复数(无意义)。 m
③ 加锤摆的周期公式存在着极(小)值。 所以应有
因为
并令
dTm ( X ) 0 dX
(3-4-32)
dTm dTm df dX df dX
所以有 1 C m( h X ) 2 d C m( h X ) 2 2 0 m m d X k (h X) k (h )X M m M M
(3 - 4 - 19)
Mh 2 J C Ma 2
(3 - 4 - 20)
即移动摆轴所增加的转动惯量恰为质心处的转动惯量。 亦即在h=a处所相应的T为极小值。(为什么？)
为研究 T(h) 关系,在0.6m长的扁平摆杆上 , 每间隔 2cm均匀
钻出直径为 1cm 的 28 个孔 , 并以此作为 O 点的 Hi 值 (i=±1,±2, ±3, …,±14),于是可得出如图3-4-3所示的曲线。
sin(t )
J0 T 2 Mgh
(3-4-9)
(3- 4-10)
图 3 - 4 - 2 物理摆(复摆)
设摆体沿过质心C的转动惯量为JC, 则由平行轴定理可知:
J 0 J C Mh2
将式(3 - 4 - 11)代入式(3 - 4 - 10)可得
(3 - 4 - 11)
2) 二次法测重力加速度g
一次法测g虽然简明,但有很大的局限性,特别是对于不规则 物理摆,JC就难以确定,为此采用如下“二次法”测g。 当M及其分布(C点)确定以后, 通过改变h值, 作两次测T的实 验,运用式(3-4-12)可得
2 2 J C Mh 1 T1 4 Mgh1 2
J C Mh2 T 4 Mgh2