北辰区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学测试

北辰区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设x ，y ∈R ，且满足，则x+y=（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2． 如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是（
）
A ．{， }
B ．{，， }
C ．{V|≤V ≤}
D ．{V|0＜V ≤}
3． 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中有S 17＜0，S 18＞0，那么S n 中最小的是（ ）
A ．S 10
B ．S 9
C ．S 8
D ．S 7
4． 如图，长方形ABCD 的长AD=2x ，宽AB=x （x ≥1），线段MN 的长度为1，端点M 、N 在长方形ABCD 的四边上滑动，当M 、N 沿长方形的四边滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 的周长与G 围成的面积数值的差为y ，则函数y=f （x ）的图象大致为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 计算log 25log 53log 32的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
6． 如果定义在R 上的函数满足：对于任意，都有)(x f 21x x ≠)
()(2211x f x x f x +，则称为“函数”．给出下列函数：①；②
)()(1221x f x x f x +>)(x f H 13++-=x x y
；③；④，其中“函数”的个数是（ ）
)cos sin (23x x x y --=1+=x e y ⎩⎨⎧=≠=00
||ln x x x y H A ． B ． C ． D ．4321
7． 在△ABC 中，若a=2bcosC ，则△ABC 一定是（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形
8． 函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称，则f （x ）=（ ）
A ．e x+1
B ．e x ﹣1
C ．e ﹣x+1
D ．e ﹣x ﹣1
9． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是
A 、
B 、 28+30+
C 、
D 、
56+60+10．如图，从点M （x 0，4）发出的光线，沿平行于抛物线y 2=8x 的对称轴方向射向此抛物线上的点P ，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q ，再经抛物线反射后射向直线l ：x ﹣y ﹣10=0上的点N ，经直线反射后又回到点M ，则x 0等于（
）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
11．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ ）
A ．y=sinx
B ．y=1g2x
C ．y=lnx
D ．y=﹣x 3
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据正弦函数的单调性，对数的运算，一次函数的单调性，对数函数的图象及单调性的定义即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．
12．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm ，则球的表面积是（ ）
A ．8πcm 2
B ．12πcm 2
C ．16πcm 2
D ．20πcm 2
二、填空题
13．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________．
14．由曲线y=2x 2，直线y=﹣4x ﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为 ．
15．直角坐标P （﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π） ．
16．已知直线：（）被圆：所截的弦长是圆心到直线的043=++m y x 0>m C 06222
2
=--++y x y x C 距离的2倍，则
.
=m 17．台风“海马”以25km/h 的速度向正北方向移动，观测站位于海上的A 点，早上9点观测，台风中心位于其东南方向的B 点；早上10点观测，台风中心位于其南偏东75°方向上的C 点，这时观测站与台风中心的距离AC 等于 km ．
18．若直线y ﹣kx ﹣1=0（k ∈R ）与椭圆
恒有公共点，则m 的取值范围是 ．
三、解答题
19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n =3S n ﹣2（n ∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{na n }的前n 项和T n ．
20．已知函数f （x ）=ax 2+blnx 在x=1处有极值．（1）求a ，b 的值；
（2）判断函数y=f （x ）的单调性并求出单调区间．
21．如图，四棱锥中，，P ABC -,//,3,PA BC 4PA ABCD AD BC AB AD AC ⊥=====M 为线段上一点，为的中点．
AD 2,AM MD N =PC
（1）证明：平面；
//MN PAB （2）求直线与平面所成角的正弦值；
AN PMN 22．函数。

定义数列如下：是过两点的直线
与轴交点的横坐标。

（1）证明：；
（2）求数列
的通项公式。

23．已知f （x ）=x 2﹣3ax+2a 2．
（1）若实数a=1时，求不等式f （x ）≤0的解集；（2）求不等式f （x ）＜0的解集．
24．（本小题满分12分）△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知k sin B ＝sin A ＋sin C （k 为正常数），a ＝4c .
（1）当k ＝时，求cos B ；
54
（2）若△ABC 面积为，B ＝60°，求k 的值．
3
北辰区第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：∵（x﹣2）3+2x+sin（x﹣2）=2，
∴（x﹣2）3+2（x﹣2）+sin（x﹣2）=2﹣4=﹣2，
∵（y﹣2）3+2y+sin（y﹣2）=6，
∴（y﹣2）3+2（y﹣2）+sin（y﹣2）=6﹣4=2，
设f（t）=t3+2t+sint，
则f（t）为奇函数，且f'（t）=3t2+2+cost＞0，
即函数f（t）单调递增．
由题意可知f（x﹣2）=﹣2，f（y﹣2）=2，
即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0，
即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y），
∵函数f（t）单调递增
∴x﹣2=2﹣y，
即x+y=4，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．
2．【答案】D
【解析】解：根据几何体的正视图和侧视图，得；
当该几何体的俯视图是边长为1的正方形时，它是高为2的四棱锥，其体积最大，为×12×2=；
当该几何体的俯视图为一线段时，它的底面积为0，此时不表示几何体；
所以，该几何体体积的所有可能取值集合是{V|0＜V≤}．
故选：D．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征是什么，是基础题目．
3．【答案】C
【解析】解：∵S16＜0，S17＞0，
∴=8（a8+a9）＜0，=17a9＞0，
∴a8＜0，a9＞0，
∴公差d＞0．
∴S n中最小的是S8．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．【答案】C
【解析】解：∵线段MN的长度为1，线段MN的中点P，
∴AP=，
即P的轨迹是分别以A，B，C，D为圆心，半径为的4个圆，以及线段GH，FE，RT，LK，部分．
∴G的周长等于四个圆弧长加上线段GH，FE，RT，LK的长，
即周长==π+4x﹣2+2x﹣2=6x+π﹣4，
面积为矩形的面积减去4个圆的面积，即等于矩形的面积减去一个整圆的面积
为，
∴f（x）=6x+π﹣4﹣=，是一个开口向下的抛物线，
∴对应的图象为C，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件确定点P的轨迹是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
5．【答案】A
【解析】解：log25log53log32==1．
故选：A．
【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．　
6． 【答案】C
【解析】∵，1122()()x f x x f x +)()(1221x f x x f x +>∴，∴在上单调递增．1212()[()()]0x x f x f x -->)(x f R
①， ，，不符合条件；2
31y x '=-+(x ∈-∞0y '<
②，符合条件；
32(cos +sin )=304
y x x x π
'=--+>③，符合条件；
0x
y e '=>④在单调递减，不符合条件；()f x (,0)-∞综上所述，其中“函数”是②③．H 7． 【答案】B
【解析】解：由余弦定理得cosC=，
把cosC 代入a=2bcosC 得：，
∴a 2=a 2+b 2﹣c 2，
∴c 2=b 2．又b 和c 都大于0，则b=c ，即三角形为等腰三角形．故选B
【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的形状判定，利用余弦定理表示出cosC 是本题的突破点．　
8． 【答案】D
【解析】解：函数y=e x 的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为y=e ﹣x ，
而函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 的图象关于y 轴对称，所以函数f （x ）的解析式为y=e ﹣（x+1）=e ﹣x ﹣1．即f （x ）=e ﹣x ﹣1．故选D ．　
9． 【答案】B
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。

利用垂直关系和三角形面积公式，可得：
，
10,10,10,S S S S ====后右左底
因此该几何体表面积，故选B ．30S =+10．【答案】B
【解析】解：由题意可得抛物线的轴为x 轴，F （2，0），∴MP 所在的直线方程为y=4在抛物线方程y 2=8x 中，令y=4可得x=2，即P （2，4）从而可得Q （2，﹣4），N （6，﹣4）
∵经抛物线反射后射向直线l ：x ﹣y ﹣10=0上的点N ，经直线反射后又回到点M ，∴直线MN 的方程为x=6故选：B ．
【点评】本题主要考查了抛物线的性质的应用，解决问题的关键是要熟练掌握相关的性质并能灵活应用．　
11．【答案】B
【解析】解：根据y=sinx 图象知该函数在（0，+∞）不具有单调性；
y=lg2x =xlg2，所以该函数是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，所以选项B 正确；根据y=lnx 的图象，该函数非奇非偶；
根据单调性定义知y=﹣x 3在（0，+∞）上单调递减．故选B ．
【点评】考查正弦函数的单调性，对数的运算，以及一次函数的单调性，对数函数的图象，奇偶函数图象的对称性，函数单调性的定义．　
12．【答案】B
【解析】解：正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则2=2R ，
R=
，S=4πR 2=12π故选B
二、填空题
13．【答案】
【解析】解析：∵f （x ）是偶函数，∴f （－x ）＝f （x ）恒成立，即（－x ）（e －x ＋a e x ）＝x （e x ＋a e －x ），∴a （e x ＋e －x ）＝－（e x ＋e －x ），∴a ＝－1.答案：－1
14．【答案】 ．
【解析】解：由方程组
解得，x=﹣1，y=2故A（﹣1，2）．如图，
故所求图形的面积为S=∫﹣11（2x2）dx﹣∫﹣11（﹣4x﹣2）dx
=﹣（﹣4）=
故答案为：
【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．　
15．【答案】 ．
【解析】解：ρ==，tanθ==﹣1，且0＜θ＜π，∴θ=．
∴点P的极坐标为．
故答案为：．
16．【答案】9
【解析】
考点：直线与圆的位置关系
【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是，R 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离.
222d R l -=17．【答案】　25
【解析】解：由题意，∠ABC=135°，∠A=75°﹣45°=30°，BC=25km ，
由正弦定理可得AC=
=25km ，
故答案为：25．【点评】本题考查三角形的实际应用，转化思想的应用，利用正弦定理解答本题是关键．
18．【答案】　[1，5）∪（5，+∞）　．
【解析】解：整理直线方程得y ﹣1=kx ，
∴直线恒过（0，1）点，因此只需要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上即可，
由于该点在y 轴上，而该椭圆关于原点对称，
故只需要令x=0有
5y 2=5m
得到y 2=m
要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上，则y ≥1即是
y 2≥1
得到m ≥1
∵椭圆方程中，m ≠5
m 的范围是[1，5）∪（5，+∞）
故答案为[1，5）∪（5，+∞）
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题采用了数形结合的方法，解决问题较为直观．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵a n=3S n﹣2，
∴a n﹣1=3S n﹣1﹣2（n≥2），
两式相减得：a n﹣a n﹣1=3a n，
整理得：a n=﹣a n﹣1（n≥2），
又∵a1=3S1﹣2，即a1=1，
∴数列{a n}是首项为1、公比为﹣的等比数列，
∴其通项公式a n=（﹣1）n﹣1•；
（2）由（1）可知na n=（﹣1）n﹣1•，
∴T n=1•1+（﹣1）•2•+…+（﹣1）n﹣2•（n﹣1）•+（﹣1）n﹣1•，
∴﹣T n=1•（﹣1）•+2•+…+（﹣1）n﹣1•（n﹣1）•+（﹣1）n•n•，
错位相减得：T n=1+[﹣+﹣+…+（﹣1）n﹣1•]﹣（﹣1）n•n•
=1+﹣（﹣1）n•n•
=+（﹣1）n﹣1••，
∴T n=[+（﹣1）n﹣1••]=+（﹣1）n﹣1••．
【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）因为函数f（x）=ax2+blnx，
所以．
又函数f（x）在x=1处有极值，
所以即
可得，b=﹣1．
（2）由（1）可知，其定义域是（0，+∞），
且
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x（0，1） 1 （1，+∞）
f′（x）﹣0+
f（x）↘极小值↗
所以函数y=f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）
21．【答案】（1）证明见解析；（2.
【解析】
试题解析：
（2）在三角形中，由，得AMC 22,3,cos 3
AM AC MAC ==∠=，
2222cos 5CM AC AM AC AN MAC =+-∠=A A ，则，
222AM MC AC +=AM MC ⊥∵底面平面，
PA ⊥,ABCD PA ⊂PAD ∴平面平面，且平面平面，
ABCD ⊥PAD ABCD PAD AD =∴平面，则平面平面，
CM ⊥PAD PNM ⊥PAD 在平面内，过作，交于，连结，则为直线与平面所成角。

PAD A AF PM ⊥PM F NF ANF ∠AN PMN
在中，由，得，Rt PAM ∆PA AM PM AF =A A AF =
sin ANF ∠=
所以直线与平面．1AN PMN
考点：立体几何证明垂直与平行．
22．【答案】
【解析】（1）为，故点在函数的图像上，故由所给出的两点，可知，直线
斜率一定存在。

故有直线的直线方程为，令，可求得
所以
下面用数学归纳法证明
当
时，，满足假设时，成立，则当时，
23．【答案】
【解析】解：（1）当a=1时，依题意得x 2﹣3x+2≤0
因式分解为：（x ﹣2）（x ﹣1）≤0，
解得：x ≥1或x ≤2．
∴1≤x ≤2．
不等式的解集为{x|1≤x ≤2}．
（2）依题意得x 2﹣3ax+2a 2＜0
∴（x ﹣a ）（x ﹣2a ）＜0…
对应方程（x ﹣a ）（x ﹣2a ）=0
得x 1=a ，x 2=2a
当a=0时，x ∈∅．
当a ＞0时，a ＜2a ，∴a ＜x ＜2a ；
当a ＜0时，a ＞2a ，∴2a ＜x ＜a ；
综上所述，当a=0时，原不等式的解集为∅；当a ＞0时，原不等式的解集为{x|a ＜x ＜2a}；
当a ＜0时，原不等式的解集为{x|2a ＜x ＜a}；
24．【答案】
【解析】解：（1）∵sin B ＝sin A ＋sin C ，由正弦定理得b ＝a ＋c ，5454
又a ＝4c ，∴b ＝5c ，即b ＝4c ，54由余弦定理得cos B ＝＝＝.a 2＋c 2－b 22ac （4c ）2＋c 2－（4c ）22×4c ·c 18（2）∵S △ABC ＝，B ＝60°.
3∴ac sin B ＝.即ac ＝4.123又a ＝4c ，∴a ＝4，c ＝1.
由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝42＋12－2×4×1×＝13.12
∴b ＝，
13∵k sin B ＝sin A ＋sin C ，由正弦定理得k ＝＝＝，a ＋c b 51351313即k 的值为.51313。