苏教版高中数学同步辅导与检测：必修5 第3章3.4-3.4.基本不等式的证明

第3章不等式
3.4 基本不等式ab≤a＋b
2
(a≥0，b≥0)
3.4. 基本不等式的证明
A级基础巩固
一、选择题
1．如果a、b为绝对值不相等的非零实数，那么a
b
＋
b
a
的值是( )
A．大于2 B．小于－2或大于2
C．小于等于2 D．大于－2或小于2
解析：a，b同号时大于2，a，b异号时小于－2.
答案：B
2．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是( ) A．lg(x2＋1)≥lg(2x) B．x2＋1>2x
C.
1
x2＋1
≤1 D．x＋
1
x
≥2
解析：对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当
x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对
于C ，x 2
＋1≥1，所以1
x 2＋1
≤1成立．故选C.
答案：C
3．给出下面四个推导过程：
①因为a ，b ∈R ＋，所以b a ＋a
b
≥2
b a ·a
b
＝2； ②因为x ，y ∈R ＋，所以lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ； ③因为a ∈R，a ≠0，所以4
a ＋a ≥2
4
a
·a ＝4；
④因为x ，y ∈R ，xy ＜0，所以x y ＋y x
＝
－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－y x ＝－2. 其中正确的推导为( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
解析：①由于a ，b ∈R ＋
，所以b a ，a b
∈R ＋
，符合基本不等式的条
件，故①推导正确；
②虽然x ，y ∈R ＋，但当x ∈(0，1)和y ∈(0，1)时，lg x 和lg y 都是负数，所以②的推导过程是错误的；
③由a ∈R，不符合基本不等式的条件， 所以4
a ＋a ≥2
4
a
·a ＝4是错误的；
④由xy ＜0，得x y ，y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋y
x
提出
负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正
确．
答案：D
4．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1
t
的最小值为( )
A ．－2 B.1
2
C ．1
D ．2
解析：因为t >0，y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1
t
－4≥2
t ·1
t
－4＝－2，
当且仅当t ＝1
t
，即t ＝1时，等号成立．
答案：A
5．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则（a ＋b ）2
cd
的最小值为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
解析：由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，
所以（a ＋b ）2cd ＝（x ＋y ）2
xy ＝
x 2＋y 2＋2xy xy ＝x 2＋y 2
xy
＋2≥2＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，等号成立．
答案：D 二、填空题
6．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则x 与a ＋b
2
的大小关系是
________．
解析：因为A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )≤
A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋1＋b 22
＝A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋a ＋b 22
，所以x ≤a ＋b
2. 答案：x ≤
a ＋b
2
7．(2015·湖南卷改编)若实数a ，b 满足1
a ＋2
b
＝ab ，则ab 的
最小值为________．
解析：法一：由已知得1
a ＋2
b ＝b ＋2a ab
＝ab ，且a >0，b >0，所以
ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，所以ab ≥2 2.
法二：由题设易知a >0，b >0，所以ab ＝1
a ＋2
b
≥
2
2
ab
，即ab ≥2 2.
答案：2 2
8．下列命题正确的是________(填序号)． ①若x ≠k π，k ∈Z 则sin 2
x ＋4
sin 2x
≥4；
②若a <0，则a ＋4
a
≥－4；
③若a >0，b >0，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b ；
④若a <0，b <0，则b a ＋a
b
≥2.
解析：对于①，x ≠k π，k ∈Z ，则sin 2x ∈(0，1]． 令t ＝sin 2x ，
则y ＝t ＋4
t
，函数y 在(0，1]上单调递减，所以y ≥5，
即sin 2
x ＋4sin 2x
≥5，当sin 2
x ＝1时等号成立．故①错误； 对于②，若a <0，则－a >0，－4
a
>0.
所以a ＋4
a ＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
（－a ）＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a ≤－4，
当且仅当a ＝4
a
，即a ＝－2时等号成立．故②错误；
对于③，若a ∈(0，1)或b ∈(0，1)，
则lg a <0或lg b <0，不等式不成立．故③错误；
对于④，a <0，b <0，则b a >0，a
b
>0，
所以b a ＋a
b ≥2
b a ·a
b
＝2， 当且仅当b a ＝a
b
，即a ＝b 时等号成立．故④正确．
答案：④ 三、解答题
9．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＞0，求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋ad
ac ≥4.
证明：ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ＝a b ＋c d ＋b a ＋d c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
c d ＋d c ≥2＋2＝
4，
当且仅当a ＝b 且c ＝d 时取“＝”号，
所以ad ＋bc bd ＋bc ＋ad
ac
≥4.
10．求下列函数的最值：
(1)已知函数y ＝x ＋1
x
，x ∈(－∞，0)，求此函数的最大值；
(2)已知x >0，求f (x )＝12
x
＋3x 的最小值．
解：(1)因为x<0，所以1
x
<0.
则－x>0，
1
（－x）
>0，x＋
1
x
＝－
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
（－x）＋
1
（－x）
≤－2
（－x）
1
（－x）
＝－2，当且仅当－x＝
1
（－x）
即x＝－1时，取
“＝”．因此当x＝－1时，函数有最大值－2.
(2)因为x>0，所以f(x)＝12
x
＋3x≥2
12
x
·3x＝12，
当且仅当3x＝12
x
，即x＝2时取等号．
所以f(x)的最小值为12.
B级能力提升一、选择题
11．设a＞b＞0，则a2＋1
ab ＋
1
a（a－b）
的最小值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：因为a＞b＞0，a2＋1
ab
＋
1
a（a－b）
＝a2＋
a－b＋b
ab（a－b）
＝a2
＋
1
b（a－b）
≥a2＋
1
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
b＋a－b
2
2
＝a2＋
4
a2
≥4(当且仅当a＝2b＝2时取
“＝”)，故选D.
答案：D
12．若x >0，y >0，且2
x ＋8
y
＝1，则xy 有( )
A ．最大值64
B ．最小值1
64
C ．最小值1
2
D ．最小值64
解析：xy ＝xy ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2x ＋8y ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8
xy ，所以xy ≥8，
即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.
答案：D
13．已知a 、b 是正数，则a ＋b
2
、ab 和
a 2＋
b 2
2
的大小顺序是
( )
A.
a ＋b
2
≥ab ≥
a 2＋
b 2
2
B.
a ＋b
2
≥
a 2＋
b 2
2
≥ab
C.
a 2＋
b 2
2
≥ab ≥
a ＋b
2
D.
a 2＋
b 22
≥
a ＋b
2
≥ab
解析：a 、b 是正数，显然有
a ＋b
2
≥ab (当且仅当a ＝b 时，取等
号)；再比较
a 2＋
b 22
与
a ＋b
2
，
因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22
－a 2＋b 22＝－（a 2＋b 2－2ab ）
4＝－⎝
⎛⎭
⎪⎫a －b 22
≤0， 所以
a ＋b
2
≤
a 2＋
b 2
2
，故选D.
答案：D 二、填空题
14．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的
a ，
b 恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．
①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3； ⑤1
a ＋1
b
≥2. 解析：①项，因为a ＞0，b ＞0，2＝a ＋b ，a ＋b ≥2ab ， 所以ab ≤1，即ab ≤1.
②项，因为a ＋b 2
－⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫a ＋b 2
2＝
（a －b ）2
4
≥0， 所以
a ＋b
2
≤
a ＋b
2
.
所以a ＋b ≤2（a ＋b ），故a ＋b ≤2. ③项，因为
a 2＋
b 22
≥⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a ＋
b 22
，所以a 2＋b 2≥（a ＋b ）
2
2.
又因为a ＋b ＝2，所以a 2＋b 2≥2.
④项，因为a 3＋b 3＝(a ＋b )3－3a 2b －3ab 2＝8－3ab (a ＋b )＝ 8－6ab ≥8－6＝2(由①ab ≤1)． ⑤项，1a ＋1b
≥2
ab
≥2.
答案：①③⑤
15．若不等式|2a －1|≤⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
x ＋1x 对一切非零实数
x 恒成立，则实
数a 的取值范围是________．
解析：因为⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1
|x |≥2，当且仅当x ＝±1时取“＝”
号，所以要使不等式恒成立，必须且只需|2a －1|≤2，即－2≤2a －1≤2⇒－12≤a ≤3
2
.
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，32
三、解答题
16．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ca ≤1
3
；
(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2
a
≥1.
1
1 证明：(1)由a ＋b ＋c ＝1⇒(a ＋b ＋c )2＝1，
即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝1，
而a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，
所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13
. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2c ，c 2a ＋a ≥2c ，三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a
≥a ＋b ＋c ＝1.。