北师大版高中数学必修一教案：2.3+函数的单调性(1)

§2.3.《函数的单调性》教学设计
一【教材分析】
《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。

在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。

掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力.
二【学生分析】
从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么,从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的。

从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。

从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。

函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。

三【教学目标】
1、知识与技能：
（1）建立增（减）函数的概念
通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函
数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义. 掌握用定义证明函数单调性的步骤。

（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

2、过程与方法
（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．
3、情态与价值，使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感.
四【教学重点与难点】
重点：函数的单调性及其几何意义．
难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
五【学法与教学用具】
1、从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明
函数单调性。

通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标。

2、教学用具：投影仪、计算机.
六【教学思路】
（一）创设情景，揭示课题
1．钱江潮，自古称之为“天下奇观”。

“八月十八潮，壮
观天下”。

当江潮从东面来时，似一条银线，“当潮来时，
大声如雷”。

潮起潮落，牵动了无数人的心。

如何用函数形式来表示，起和落？
2．教师和学生一起回忆
如何用学过的函数图象来描绘这潮起潮落呢？
设计意图：创设钱塘江潮潮起潮落，图象的问题情境，让学生用朴素的生活语言描述他们，对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做可使教学过程富有情趣，可激发学生的学习热情，教学起点的设定也比较恰当，学生的参与度较高。

温故知新
1．问题1：观察学生绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生回答的情况而定），指出图象的变化的趋势。

观察得到：随着x 值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。

设计意图：学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：一是生活体验，二是函数图象，三是初中对函数单调性的认识。

对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述的定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点衔接紧密，符合学生的认知规律。

创设情景，揭示课题
借助图象，直观感知
同学们能用数学语言把上面函数图象上升或下降的特征描述出来吗？
（1）画出下列函数的图象，观察其变化规律：（学生动手）
请作出函数f(x) = x+1并观察自变量变化时，函数值的变化规律． （学生先自己观察，然后通过多媒体----几何画板形象观察）
1．f(x) = x+1 x x f 1
)(=
○
1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○
2 在区间 _________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ． 2．
x x f 2)(= ○
1在区间 ____________ 上， f(x)的值随着x 的增大而 ________ ．
○2在区间____________ 上，f(x)的值随
着x的增大而________ ．
3、从上面的观察分析，能得出什么结论？
学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其
图象的变
化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这
种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的
一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。

（二）研探新知
在区间I内在区间I内
···
如何用x与f(x)来描述上升的图象？如何定义单调减函数呢？
可以通过类比的方法由学生给出。

对单调性定义的说明:
思考交流：函数f(x)=1/x 在定义域下是否为单调减函数；（1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
（2）x 1, x 2 取值具有任意性
（3）如果函数y =f(x)在区间I是增加的或是减少的，那么就说函数y =f(x)在区间I上具有单调性。

如果函数在整个定义域内是增加的或是减少的，分别的可以称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数。

(4)函数在定义域内的两个区间A,B上都是增加的（或减少的），一般不能认为函数在A∪B上是增加的（或减少的），应该是在A和B是
增加的（或减少的）。

设计意图：通过类比的方法，由学生自己得到单调减函数的概念，在这个过程中，学生可以体会数学概念是如何扩充完善的。

（三）典例分析
例.1 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数y = f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 函数是增加的还是减少的？
解:函数y=f(x)的单调区间有[－5,－2）,[－2,1) ，[1，3), [3，5].
其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增加的；
在区间[－5，－2），[1，3)上是减少的
说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可
练习：你能写出函数 f(x) = -x2 +1的单调区吗？
解：单调增区间（-∞，0），单调递减区间（0，+∞）
设计意图：通过师生双边活动及学生讨论，可以让学生充分参与用严格的数学符号语言定义函数单调性的全过程，让他们亲身体验数学概念如何从直观到抽象，从文字到符号，从粗疏到严密。

让他们充分感悟数学概念符号化的建构原则。

要求学生结合图象求函数单调区间。

渗透用图象法来判断函数的单调性思想方法
问题1：你能判断函数
x x x f 4
)(+= 在（2，+∞ ）的单调性吗？
说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，可以通过图象法直接从图上进行观察，它是一种常用而又粗略的方法，但当函数的图象很难画出来时这种方法是不行的。

这个时候，我们可以根据定义去证明函数的单调性。

设计意图：引出定义法证明函数或判断函数的单调性。

2．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：
① 任取x1，x2∈D ，且x1<x2；
②作差f(x1)－f(x2)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
例2：如何从定义的角度证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数？
证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1<x2,则取值
f(x1)-f(x2)=(3 x1 +2)-(3 x2+2) 作差
=3( x1- x2) 变形
由x1<x2 ，得x1- x2 <0 定正负
于是f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)<f(x2)
所以，函数f(x)=3x+2在R上是增函数。

下结论
归纳：证明函数单调性的步骤
第一步：取值.即任取区间内的两个值，且x1<x2
第二步：作差变形.将f(x1)－f(x2)通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。

第三步：定号.确定差的符号，适当的时候需要进行讨论。

第四步：判断.根据定义作出结论。

探究：用定义证明函数x x x f 4
)(+= 在 ),2(+∞的单调性
证明：设：
函数x x x f 4
)(+=在),2(+∞是增加的
设计意图：加深学生对函数单调性定义的理解，规范解题格式,培养学生归纳总结的能力,培养学生自己动手的能力,
（四）归纳小结
（1）函数单调性的概念；
2
.12>>x
x 2
.12>>x x
（2）判断函数单调区间的常用方法
方法一：分析函数的图象。

方法二：通过定义去判断。

取值 → 作差 → 变形 → 定正负 → 下结论
(五)当堂检测：
1、由一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像分析其单调性
当k>0时，图像从左至右是 ______的，函数是单调 _______ 函数； 当k<0时，图像从左至右是 _____的，函数是单调_______ 函数
2、由函
数(k ≠0)的图像分析其单调性
当k>0时，函数的单调递减区间为 _______ ；
当k<0时，函数的单调递增区间为 _______ ；
3.用定义判断
x x f 3)(-=在),(+∞-∞上是减函数。

步骤为： _______，
_______，
_______， _______。

答案：1、上升的，增，下降的，减 2、 ),0(),0,(+∞-∞， ),0(),0,(+∞-∞， x k x f =)(
3、取值作差变形定正负下结论
设计意图：及时反馈，检查知识的落实情况
书面作业：课本P40习题（A组）第3题（2）（3），第4题
【教学反思】
1．给出生活实例和函数单调性的图形语言，调动学生的参与意识，通过直观图形得出结论，渗透数形结合的数学思想。

问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始。

这里，通过问题，引发学生的进一步学习的好奇心。

2．给出函数单调性的数学语言。

通过教师指图说明，分析定义，提问等办法，使学生把定义与直观图象结合起来，加深对概念的理解，渗透数形结合分析问题的数学思想方法。

3．有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究。

4．通过安排课堂检测，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成。

5．让学生体验数学知识的发生发展过程应该成为这节课的一个重要
教学目标。

函数的单调性的定义是对函数图象特征的一种数学描述，它经历了由图象直观感知到自然语言描述，再到数学符号语言描述的进化过程，这个过程充分反映了数学的理性精神，是一个很有价值的数学教育载体。

精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。