高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.2椭圆的简单性质(2)导学案北师大版选修1-1

2.1.2 椭圆简单性质(二)
学习目标 1.进一步稳固椭圆简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.
知识点一 点与椭圆位置关系
思考1 判断点P (1，2)与椭圆x 2
4
＋y 2＝1位置关系.
答案 当x ＝1时，得y 2
＝34，故y ＝±32，而2>3
2
，故点在椭圆
外.
思考2 类比点与圆位置关系判定，你能给出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2
a 2＋
y 2
b 2
＝1(a >b >0)位置关系判定吗？ 答案 当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20
b 2>1；
当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20
b 2＝1；
当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20
b
2<1.
知识点二 直线与椭圆位置关系 思考1 直线与椭圆有几种位置关系？
答案 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离.
思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)位置关系？
答案
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y
2
b 2＝1，消去y 得关于x 一元二次方程.
位置关系 解个数 Δ取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离
无解
Δ<0
知识点三 直线与椭圆相交弦
思考 假设直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？
答案 有两种方法：一种方法是联立直线方程与椭圆方程求出交点坐标，利用两点间距离公式可求得，另一种方法是利用弦长公式可求得. 梳理 弦长公式：(1)|AB |＝x 1－x 2
2
＋y 1－y 2
2
＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝1＋k 2[x 1＋x 22
－4x 1x 2]；
(2)|AB |＝
1＋1
k
2|y 1－y 2|
＝ 1＋
1
k
2
[y 1＋y 2
2
－4y 1y 2].
注：直线与椭圆交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，k 为直线斜率.
其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 后得到关于x 或y 一元二次方程得到. 类型一 直线与椭圆位置关系
命题角度1 直线与椭圆位置关系判断
例1 直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 2
3＝1位置关系是( )
A.相交 C.相离
答案 A
解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交.
反思与感悟 直线与椭圆位置关系判断方法(代数法) 联立直线与椭圆方程，消元得到一元二次方程： (1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点.
(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点. (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点.
跟踪训练1 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 直线l 与椭圆x 2
2＋y 2＝1有两个不同交点P 与Q .求k 取值范围.
解 由条件知直线l 方程为y ＝kx ＋2， 代入椭圆方程得x 2
2
＋(kx ＋2)2＝1.
整理得⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫12＋k 2x 2
＋2
2kx ＋1＝0.
直线l 与椭圆有两个不同交点P 与Q 等价于
Δ＝8k
2
－4⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
12＋k 2＝4k 2－2＞0，
解得k ＜－22或k ＞2
2
.
即k 取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫22，＋∞. 命题角度2 距离最值问题
例2 在椭圆x 24＋y 2
7＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0距离最短，并求出最短距离.
解 设与椭圆相切并与l 平行直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 2
7＝1，
并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，
Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0
⇒m 2＝16⇒m ＝±4，
故两切线方程为y ＝32x ＋4与y ＝3
2x －4，
显然y ＝3
2
x －4距l 最近，
d ＝|16－8|32＋－22＝8
13
＝813
13，
切点为P ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫32
，－74. 反思与感悟 此类问题可用数形结合思想寻找解题思路，简化运算过程，也可以设出所求点坐标，利用点到直线距离公式求出最小距离. 跟踪训练2 椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使点P 到直线l ：
x －y ＋4＝0距离最短，并求出最短距离.
解 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切直线为
x －y ＋a ＝0，
联立方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2＋8y 2＝8，
x －y ＋a ＝0，
得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0，
Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0，
解得a ＝3或a ＝－3，
∴与直线l 距离较近切线方程为x －y ＋3＝0， 最小距离为d ＝|4－3|2
＝2
2.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋8y 2＝8，
x －y ＋3＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－83，y ＝13，
即P 点坐标为(－83，13).
类型二 弦长及中点弦问题
例3 椭圆x 236＋y 2
9
＝1与点P (4，2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、
B 两点.
(1)当直线l 斜率为1
2时，求线段AB 长度；
(2)当P 点恰好为线段AB 中点时，求l 方程.
解 (1)由可得直线l 方程为y －2＝1
2
(x －4)，
即y ＝1
2x .由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝12
x ，
x 2
36＋y
2
9
＝1，消去y 可得x 2－18＝0，假设设A (x 1，
y 1)，B (x 2，y 2).那么x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.
于是|AB |＝x 1－x 2
2
＋y 1－y 2
2
＝ x 1－x 22
＋14
x 1－x 2
2
＝5
2
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2
＝5
2×62＝310.所以线段AB 长度为310.
(2)方法一 当直线l 斜率不存在时，不合题意. 所以直线l 斜率存在.
设l 斜率为k ，那么其方程为y －2＝k (x －4).
联立⎩
⎪⎨⎪⎧
y －2＝k x －4，
x 236＋y
2
9＝1，消去y 得
(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 假设设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝32k 2－16k
1＋4k 2
，
由于AB 中点恰好为P (4，2)，
所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12
，且满足Δ>0.
这时直线方程为y －2＝－1
2(x －4)，
即x ＋2y －8＝0.
方法二
设A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，那么有⎩⎪⎨⎪⎧
x 2136＋y 21
9＝1，
x 22
36＋y
22
9
＝1，
两式相减得
x 22－x 2136
＋
y 22－y 2
1
9
＝0，
整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9x 2＋x 1
36y 2＋y 1
，
由于P (4，2)是AB 中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－1
2
，
于是直线AB 方程为y －2＝－1
2(x －4)，
即x ＋2y －8＝0.
反思与感悟 处理直线与椭圆相交关系问题通用方法是通过解直线与椭圆构成方程.利用根与系数关系或中点坐标公式解决，涉及弦中点，还可使用点差法：设出弦两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦中点与斜率关系.
跟踪训练3 椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 中点，假设|AB |＝22，OC 斜率为2
2
，求椭圆方程.
解 方法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差， 得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.
①
∵A ，B 为直线x ＋y －1＝0上点，∴y 1－y 2
x 1－x 2＝－1.
由得y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22
，代入①式可得b ＝2a .
∵直线x ＋y －1＝0斜率k ＝－1.
又|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， ∴|x 2－x 1|＝2.
联立ax 2＋by 2＝1与x ＋y －1＝0， 可得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.
且由得x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0两根，∴x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b
， ∴4＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b . ②
将b ＝2a 代入②式，解得a ＝13，∴b ＝23
.
∴所求椭圆方程是x 2
3＋2y 2
3
＝1.
方法二 由⎩⎪⎨
⎪⎧
ax 2＋by 2＝1，
x ＋y －1＝0，
得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝2b a ＋b ，x 1x 2＝b －1
a ＋
b ，
且直线AB 斜率k ＝－1， ∴|AB |＝k 2＋1x 1－x 2
2
＝
k 2＋1[x 1＋x 22
－4x 1x 2]
＝2·
4b 2－4a ＋b
b －1
a ＋b
.
∵|AB |＝22，∴
2·4b 2－4a ＋b
b －1
a ＋b
＝22，
∴a ＋b －ab a ＋b
＝1.
①
设C (x ，y )，那么x ＝x 1＋x 2
2
＝
b
a ＋b
，y ＝1－x ＝
a
a ＋b
.
∵OC 斜率为2
2
，
∴y x ＝a b ＝22，将其代入①式得，a ＝13，b ＝23
. ∴所求椭圆方程为x 2
3＋2y 23
＝1.
类型三 椭圆中最值(或范围)问题
例4 椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .
(1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m 取值范围； (2)求被椭圆截得最长弦所在直线方程.
解 (1)由⎩⎪⎨
⎪⎧
4x 2＋y 2＝1，
y ＝x ＋m ，
得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m 2
－20(m 2
－1)≥0，解得－52≤m ≤5
2
.
(2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2
－1)，
所以|AB |＝x 1－x 2
2
＋y 1－y 2
2
＝2x 1－x 22
＝2[x 1＋x 22
－4x 1x 2] ＝
2⎣
⎢⎢⎡⎦
⎥⎥
⎤4m 225－4
5m 2
－1
＝25 10－8m 2.
所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x . 引申探究
在例4中，设直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求△AOB 面积最大值及△AOB 面积最大时直线方程. 解 可求得O 到AB 距离d ＝|m |
2
，
又|AB |＝2510－8m 2， ∴S △AOB ＝12
|AB |·d ＝12·2510－8m 2·|m |2
＝25 54
－m 2m 2≤25·54－m 2＋m 22＝14， 当且仅当54
－m 2＝m 2时，等号成立， 此时m ＝±104∈[－52，52
]. ∴所求直线方程为x －y ±104
＝0. 反思与感悟 解析几何中综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想与数形结合思想.其中应用比拟多是利用方程根与系数关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根判别式来确定参数限制条件.
跟踪训练4 椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)左，右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为12
，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2面积最大值为 3. (1)求椭圆方程；
(2)直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且直线l 方程为y ＝kx ＋3(k >0)，假设O 为坐标原点，求△OAB 面积最大值.
解 (1)椭圆离心率为12
，不妨设c ＝t ，a ＝2t ， 即b ＝3t ，其中t >0，
又△F 1PF 2面积取最大值3时，即点P 为短轴端点，
因此12
·2t ·3t ＝3， 解得t ＝1，那么椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋3，x 24＋y 23＝1，
整理得(4k 2＋3)x 2＋83kx ＝0.
解得x 1＝0或x 2＝－83k 4k 2＋3
. ∵k >0，
∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2
|－83k 4k 2＋3| ＝1＋k 2·83k 4k 2＋3， 原点O 到直线l 距离为d ＝3
1＋k 2 .
∴S △OAB ＝121＋k 2·83k 4k 2＋3·3
1＋k 2
＝12k 4k 2＋3＝
124k ＋3k
≤12
43＝3，
当且仅当4k ＝3k ，即k ＝3
2时，
△OAB 面积最大值为 3.
x 216＋y 2
3＝1中心直线与椭圆两个交点间距离最大值为( )
A.6
B.8 C
答案 B
x 29＋y 2
6＝1焦点与椭圆长轴垂直直线与椭圆相交弦长度为( )
A.1
B.2 C 答案 D 解析 由题意知，其相交弦为通径，长为2b 2a ＝2×6
3＝4.
y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 2
3＝1有两个公共点，那么m 取值范围是(
)
A.m >1
B.m >1且m ≠3
C.m >3
D.m >0且m ≠3
答案 B
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1⇒(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0， ∵Δ>0，∴m >1或m <0. 又∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3. P (－1，1)直线交椭圆x 24＋y 22
＝1于A ，B 两点，假设线段AB 中点恰为点P ，那么AB 所在直线方程为________________.
答案 x －2y ＋3＝0
解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 那么⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2.又⎩⎪⎨⎪⎧ x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，
两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝12
. ∴AB 所在直线方程为x －2y ＋3＝0.
l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22
＋y 2＝1交于M ，N 两点， 且|MN |＝423
，求直线l 方程. 解 设直线l 与椭圆交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简，
得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，
所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2
，x 1x 2＝0. 由|MN |＝423
，得 (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
＝329， 所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2
＝329， 所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2]＝329， 即(1＋k 2
)(－4k 1＋2k 2)2＝329， 化简得k 4＋k 2－2＝0，
所以k 2＝1，所以k ＝±1.
所以所求直线l 方程是x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.
解决直线与椭圆位置关系问题，经常利用设而不求方法，解题步骤为
(1)设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；
(2)联立直线与椭圆方程；
(3)消元得到关于x 或y 一元二次方程；
(4)利用根与系数关系设而不求；
(5)把题干中条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.
40分钟课时作业
一、选择题
x 225＋y 29
＝1上点P 到椭圆左焦点最大距离与最小距离分别是( ) A.8，2
B.5，4
C.5，1
D.9，1 答案 D
解析 因为a ＝5，c ＝4，所以最大距离为a ＋c ＝9，最小距离为a －c ＝1. y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m
＝1总有公共点，那么m 取值范围是( ) A.m >1
B.m ≥1或0<m <1
C.0<m <5且m ≠1
D.m ≥1且m ≠5
答案 D
解析 ∵直线y ＝kx ＋1恒过(0，1)点，
假设5>m ，那么m ≥1，
假设5<m ，那么必有公共点，
∴m ≥1且m ≠5.
F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 两个焦点，过F 2且垂直于x 轴直线交
椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，那么C 方程为( )
A.x 22
＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23
＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 C
解析 由题意知，c ＝1，|AB |＝2b 2a
＝3， 又b 2＝a 2－c 2，
解得a ＝2，b ＝3，
所以所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1. ax ＋by ＋4＝0与圆x 2＋y 2＝4没有公共点，那么过点P (a ，b )直线与椭圆x 29＋y 24
＝1公共点个数为( ) A.0
C.2
a ，
b 取值来确定 答案 C
解析 ∵直线与圆没有交点，
∴d ＝4a 2＋b 2
>2， ∴a 2＋b 2<4，即a 2＋b 24<1， ∴a 29＋b 2
4
<1，
∴点(a ，b )在椭圆内部，
故直线与椭圆有2个交点.
x 216＋y 24
＝1上点到直线x ＋2y －2＝0最大距离是( ) A.3 B.11 2 D.10 答案 D
解析 设与直线x ＋2y －2＝0平行直线为x ＋2y ＋m ＝0与椭圆联立得，
(－2y －m )2＋4y 2－16＝0，
即4y 2＋4my ＋4y 2－16＋m 2＝0，得
2y 2＋my －4＋m 24＝0.
Δ＝m 2－8⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫m 24－4＝0， 即－m 2＋32＝0，
∴m ＝±4 2.
∴两直线间最大距离是当m ＝42时，
d max ＝|－2－42|5
＝10. x 2＋2y 2＝4，那么以(1，1)为中点弦长度是( )
2 3
C.303
D.362
答案 C 解析 设直线与椭圆x 2＋2y 2＝4交点为A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，
那么⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，
将A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点分别代入x 2＋2y 2＝4，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 21＋2y 21＝4， ①x 22＋2y 22＝4， ② ①－②可得，
x 21－x 22＋2(y 21－y 22)＝0，
即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，
∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12
， 那么直线方程为y －1＝－12
(x －1)， ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2y 2＝4，y ＝－12x ＋32，
得3x 2
－6x ＋1＝0，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝13， ∴|AB |＝
1＋－122x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝54 4－43＝303. 二、填空题
y ＝a 与椭圆
x 23＋y 24＝1恒有两个不同交点，那么a 取值范围是
________. 答案 (－2，2)
y ＝x ＋6与椭圆x 2＋y 2m
2＝1(m >0且m ≠1)只有一个公共点，那么该椭圆长轴长为________.
答案 25
解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋6，x 2＋y 2m 2＝1，
得(m 2＋1)x 2＋26x ＋6－m 2＝0，
Δ＝(26)2－4(m 2＋1)(6－m 2)＝0，
即4m 2(m 2－5)＝0，
∵m >0且m ≠1，∴m ＝5，那么长轴长为2m ＝2 5.
9.如图，椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为
2c ，假设直线y ＝3(x ＋c )与椭圆一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，那么该椭圆离心率等于________.
答案 3－1
解析 由直线方程y ＝3(x ＋c )，得直线与x 轴夹角∠MF 1F 2＝π3
，且过点F 1(－c ，0).∵∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，∴∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1＝π3
，即F 1M ⊥F 2M .∴在Rt△F 1MF 2中，F 1F 2＝2c ，F 1M ＝c ，F 2M ＝3c ，∴由椭圆定义可得2a ＝c ＋3c ，
∴离心率e ＝2c 2a ＝21＋3
＝3－1. mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)与直线x ＋y －1＝0交于A ，B 两点，假设n m
＝2，那么过原点与线段AB 中点M 连线斜率为________. 答案 2
2
解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
那么⎩⎪⎨⎪⎧ mx 21＋ny 21＝1， ①mx 22＋ny 22＝1， ②
①－②得m (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋n (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，
即m n ＋y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2
＝0. ∵y 1－y 2x 1－x 2＝－1，m n ＝22
，
∴y 1＋y 2x 1＋x 2＝22，∴k OM ＝22
. 三、解答题
A ，
B 是椭圆
C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >0，b >0)与直线x －3y ＋2＝0交点，点M 是AB 中点，且点M 横坐标为－12
，假设椭圆C 焦距为8，求椭圆C 方程.
解 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2A a 2＋y 2A b 2＝1，x 2B
a 2＋y 2B
b 2＝1，
∴2x M a 2＋2y M b
2k AB ＝0， ∵点M (－12，12
) ∴－1a 2＋1b 2×13
＝0， ∴a 2＝3b 2.
又∵c ＝4，∴a 2＝24，b 2＝8，
经检验，a 2＝24，b 2＝8符合题意，
∴椭圆C 方程为x 224＋y 2
8
＝1.
xOy 中，点P 到两点(0，－3)，(0，3)距离之与等于4，设点P 轨迹为C .
(1)写出C 方程；
(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时OA
→⊥OB →？此时|AB |值是多少？
解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，
点P 轨迹C 是以(0，－3)，(0，3b ＝22－
32＝1， 故曲线C 方程为x 2＋y 24
＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 其坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1.
消去y ，并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，
故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4
. ∵OA →⊥OB →，∴x 1x 2＋y 1y 2
＝0. ∵y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，
于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2
k 2＋4
＋1 ＝－4k 2＋1k 2＋4
.
又x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴k ＝±12. 当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217
. |AB |＝
x 2－x 12＋y 2－y 12 ＝1＋k 2x 2－x 1
2， 而(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2
＝42172＋4×1217＝43×13172
， ∴|AB |＝ 54×43×13172＝46517
. C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)，离心率为12，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1直线交椭圆于A ，B 两点.
(1)求椭圆C 方程；
(2)当△F 2AB 面积为1227
时，求直线方程. 解 (1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32
)， 所以1a 2＋94b 2＝1. ①
又因为离心率为12，所以c a ＝12
， 所以b 2a 2＝34
.②
解①②得，a 2＝4，b 2＝3.
所以椭圆C 方程为x 24＋y 23＝1. (2)当直线倾斜角为π2
时， A (－1，32)，B (－1，－32
)， 2ABF S △＝12|AB |×|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227
. 当直线倾斜角不为π2
时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)， 代入x 24＋y 23
＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
那么x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3
， 所以2ABF
S △＝12|y 1－y 2|×|F 1F 2| ＝|k |
x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝|k | －8k 24k 2＋3
2－4·4k 2－124k 2＋3 ＝12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227
， 所以17k 4＋k 2－18＝0，
解得k 2＝1(k 2
＝－1817舍去)，所以k ＝±1， 所以所求直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.。