一类常系数线性微分方程特解的求法

一类常系数线性微分方程特解的求法
李岚
【摘要】针对一类常系数线性微分方程,运用积分公式和微分算子法,得到了微分方程特解的一种公式化求解方法,为计算机解题提供依据.
【期刊名称】《常州工学院学报》
【年(卷),期】2012(025)006
【总页数】3页(P54-56)
【关键词】微分方程;特解;微分算子;逆算子;特征根方程
【作者】李岚
【作者单位】闽西职业技术学院电气工程系,福建龙岩364021
【正文语种】中文
【中图分类】O175
0 引言
n阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式:
相应的齐次方程为:
根据线性微分方程的通解结构理论，方程(1)的通解可以表示为方程(1)的一个特解与方程(2)的通解之和，而方程(2)的通解的求法一般采用Euler待定指数函数法(即
特征根法)，因此要求方程(1)的通解，只要求出方程(1)的一个特解即可。

常系数非齐次线性微分方程特解的求法通常使用常数变易法、待定系数法、算子解法和拉普拉斯变换法，这些方法各具特色。

如，待定系数法，虽然解题思路简单，易于掌握，但不具有一般性，计算比较繁琐，容易出错。

本文先给出一阶常系数非齐次线性微分方程的特解求解公式，一阶常系数非齐次线性微分方程:
其中，Qm(t)=是 m 次多项式，p、α、ai(i=0，1，2，…，m)是复常数，并由此推广到 n 阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法，以此来简化n阶常系数非齐次线性微分方程的特解的计算问题。

1 主要定理和性质
1.1 微分算子与逆算子及其性质
1.1.1 微分算子
记D=，…，称 D，D2，…，Dk，…为微分算子，则n阶常系数非齐次线性微分方程(1)用算子符号记为:
称P(D)=Dn+p1Dn－1+…+pn－1D+pn为算子多项式，方程(4)可简记为:
1.1.2 逆算子
微分算子多项式P(D)的逆算子记为它满足条件:
f(t)的结果不唯一，是一族函数。

)
算子Dk的逆算子记为，其意义为:
1.1.3 逆算子位移定理
1.2 基本定理
由不定积分公式:
可推得:
引理1 ，其中，f(t)是 m 次多项式。

这里为组合数=1，0!=1。

定理1 设非齐次线性微分方程(3)对应的齐次方程的特征根为λ，则:
1)当α≠λ时，方程(3)一特解为:
2)当α=λ时，方程(3)一特解为:
证明
1)当α≠λ时，由算子性质及引理1可得:
结论成立。

由于n次数多项式P(D)在复数范围内可因式分解为n个一次多项式的乘积，即
P(D)=(D－λ1)(D－λ2)…(D －λn)(其中可能发生λi=λj(1≤i，j≤n)的重根现象)，因此对于求 n阶常系数非齐次线性微分方程(1)的特解时，可多次重复使用定理1，
从而达到求解的目的。

2 应用举例
例1 求微分方程x'－2ix=e2t(4t+2)的特解。

解对应齐次方程的特解是λ=2i。

由自由项 e2t(4t+2)可知，α =2，a1=4，a0=2，且α≠λ，所以所求非齐次线性微分方程的特解为:
例2 求微分方程x'－2x=(13t－4)cos 3t的特解。

解对应齐次方程的特解是λ=2。

微分方程中的自由项(13t－4)cos 3t可采用欧拉公式化为 Re[e3it(13t－4 ) ] 。

可知α=3i、a1=13、a0=－4，且α≠λ，所以所求非齐次线性微分方程的特解为:
例3 求微分方程x″+5x'+6x=e－2t(t2+3t－5)的特解。

解对应齐次方程的特解是λ1=－3，λ2=－2。

由自由项 e－2t(t2+3t－5)可知，α =－2，a0=－5，a1=3，a2=1，且α = λ2，所以所求非齐次线性微分方程的特解为:
其中，b0= －6，b1=1，b2=1。

例4 求微分方程x‴－5x″+9x'－5x=et(3t2－13t+14)的特解。

解对应齐次方程的特解是λ1=1，λ2=2+i，λ3=2 －i。

由自由项 et(3t2－
13t+14)可知，α =1，a0=14，a1=－13，a2=3，其中αλ1所以所求非齐次线性微分方程的特解为:
3 结语
本文针对一类一阶常系数线性微分方程(3)，运用积分公式和算子法推导了微分方程特解的求解方法，不仅方法较为简单，并可多次重复使用定理1计算出n阶常系数线性微分方程(1)当自由项f(t)=eαtQm(t)时)的特解，还能为求微分方程(1)的特解的解析解提供依据。

［参考文献］
［1］王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程［M］.北京:高等教育出版社，2006.
［2］华东师范大学数学系.数学分析(下册)［M］.3版，北京:高等教育出版社，2002.
［3］同济大学教研室.高等数学(下册)［M］.4版，北京:高等教育出版社，1996.。