上海市闸北区2019-2020学年高二下学期期末2份数学联考试题

同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数a b c d 、、、成等差数列,且曲线()ln 2y x x =+-取得极大值的点坐标为(),b c ,则a d +等于（ ） A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
2．将函数()sin 3f x x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()cos2g x x =的图象，则ϕ的最小值为（ ）
A ．
3
π B ．
6
π C ．
12
π
D ．
24
π
3．已知随机变量()2,X B p ，()22,Y
N σ，若()10.36P X <=，()02P Y p <<=，则()4P Y >=
（ ） A ．0.1
B ．0.2
C ．0.32
D ．0.36
4．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有
A ．21种
B ．315种
C ．153种
D ．143种
5．某个班级组织元旦晚会，一共准备了A 、B 、C 、D 、E 、F 六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排A 或B ，最后一个节目不能排A ，且C 、D 要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（ ）种 A ．72
B ．84
C ．96
D ．120
6．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（ ）种 A ．19
B ．7
C ．26
D ．12
7．将函数()()cos f x x ϕ=+图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变），再把得到的图像向左平移
6π
个单位长度，所得函数图像关于2
x π=对称，则tan ϕ=（ ）
A ．3
-
B ．
C ．3
±
D ．8．复数()2
1z i =+在复平面内对应的点在（ ） A ．实轴上 B ．虚轴上
C ．第一象限
D ．第二象限
9． “若1
2
a ≥
，则0x ∀≥，都有()0f x ≥成立”的逆否命题是（ ） A ．0x ∃<有()0f x <成立，则12a < B ．0x ∃<有()0f x ≥成立，则1
2
a <
C ．0x ∀≥有()0f x <成立，则12
a <
D ．0x ∃≥有()0f x <成立，则12
a <
10．已知定义在R 上的函数()f x 在()2,+∞上单调递增且()00f =，若()2f x +为奇函数，则不等式
()0f x <的解集为（）
A ．()(),20,4-∞-⋃
B ．()0,4
C ．()
(),20,2-∞- D ．()(),02,4-∞⋃
11．执行下面的程序框图，如果输入的9N =，那么输出的S =（ ）
A ．11112310+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
B ．111
12!3!10!+
++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ C ．1111239
+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
D ．111
12!3!9!
+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
12．已知函数()2f x +的图像关于直线2x =-对称，且对任意()1212,0,,x x x x ∈+∞≠有
()()1212
0f x f x x x ->-，则使得()()211f x f -<成立的x 的取值范围是（ ）
A ．()0,1
B ．()(),01,-∞⋃+∞
C ．()1,1-
D ．()
(),10,-∞-+∞
二、填空题：本题共4小题 13．函数
，
且
是上的减函数，则的取值范围是____.
14．已知直线20ax y ++=与双曲线2
2
14
y x -=的一条渐近线平行，则这两条平行直线之间的距离
是 ．
15．已知离散型随机变量ξ服从正态分布(2,1)N
，且(3)0.968P ξ<=，则(13)P ξ<<=____.
16．已知
则
______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y α
α
=+⎧⎨=-⎩（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，x 正半轴为极轴
建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1
sin 2cos θθρ
-=
，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.
18．某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析。

经数据处理后,得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中,身不低于1.69米的学生只有16名,其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率.
(I)求该市高一学生身高高于1.70米的概率,并求图1中a b c 、、的值.
(II)若从该市高一学生中随机选取3名学生,记ξ为身高在(]
1.501.70
，的学生人数,求ξ的分布列和数学期望；
(Ⅲ)若变量S 满足-<+)>0.6826P
S （μσμσ≤且22)0.9544P S μσμσ-≤+（,则称变量S 满足近似于正态分布2
(,)N μσ的概率分布.如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布(1.6,0.01)N 的概率分布，则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的.试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常,并说明理由.
19．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知线
C 的极坐标方程为：ρ＝2sin （θ+4π），过P （0，1）的直线l 的参数方程为：1231x t y ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为
参数），直线l 与曲线C 交于M ，N 两点． （1）求出直线l 与曲线C 的直角坐标方程．
（2）求｜PM ｜2+｜PN ｜2
的值． 20．（6分）已知
且
，求
，
，
的值．
21．（6分）已知函数()2(0)f x a lnx ax a =+->. （1）求()f x 的最大值()a ϕ； （2）若()0f x ≤恒成立，求a 的值；
（3）在（2）的条件下,设[]()()x f x ax g x x a
+=-在(,)a +∞上的最小值为,m 求证：11()10f m -<<-.
22．（8分）已知函数2
1()ln 2()2
f x ax x a R =
--∈ （1）当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调性.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 由题意得1()12f x x '=
-+，1()10,()ln(2)2
f b f b b b c b =-==+-=+'，解得1,1,b c =-=由于是等差数列，所以0a d b c +=+=，选B. 2．C 【解析】 【分析】
根据题意得到变换后的函数解析式，利用诱导公式求得结果 【详解】
由题，向左平移(0)ϕϕ>不改变周期，故2ω=，
∴平移得到()sin 2sin 22cos 233x x x ππϕϕ⎡⎤⎡⎤
⎛⎫++
=++= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎝⎭⎣
⎦ 2+
=
+23
2
k π
π
ϕπ∴，12
k π
ϕπ∴=
+
0ϕ>，∴当0k =时，min 12
π
ϕ=
，故选C
【点睛】
本题考查函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，利用诱导公式完成正、余弦型函数的转化 3．A 【解析】 【分析】
由()10.36P X <=求出0.4p =，进而()020.4P Y p <<==，由此求出()4P Y >. 【详解】 解：因为()2,X
B p ，()22,Y
N σ，()10.36P X <=，
所以()()2
110.36P X p <=-=， 解得0.4p =或 1.6p =（舍）， 由()020.4P Y p <<==， 所以()()1
410.420.12
P Y >=-⨯=. 故选：A. 【点睛】
本题考查概率的求法，考查二项分布、正态分布等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题. 4．D
【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种， 选一本数学书一本英语书有5×7=35种， 选一本语文书一本英语书有9×5=45种， ∴共有63+45+35=143种选法. 故选D. 5．B 【解析】
分析：先排第一个节目，同时把C 、D 捆绑在一起作为一个元素，按第一个节目排A 还是排B 分类，如果第一个是B ，则第二步排最后一个节目，如果第一个是A ，则后面全排列即可．
详解：由题意不同节目顺序有24213
2423384A A A C A +=．
故选B ．
点睛：本题考查了排列、组合题两种基本方法
(1)限制元素(位置)优先法：①元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；②位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置．
(2)相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”——将“捆绑”元素在这些位置上作全排列． 6．C 【解析】 【分析】
由题意，根据甲丙丁的支付方式进行分类，根据分类计数原理即可求出． 【详解】
顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，
①当甲丙丁顾客都不选微信时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人2
22A =种，
当甲选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有
11
2251C C +=，故有2+5=7种，
②当甲丙丁顾客都不选支付宝时，则甲有2种选择，当甲选择现金时，其余2人2
22A =种，
当甲选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有
11
2251C C +=，故有2+5=7种，
③当甲丙丁顾客都不选银联卡时，若有人使用现金，则1232C A 6=,若没有人使用现金，则有22
32C A 6=种，
故有6+6=12种，根据分步计数原理可得共有7+7+6+6=26种， 故选C ． 【点睛】
本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题. 7．B 【解析】 【分析】
运用三角函数的图像变换，可得cos 1212y x πϕ⎛⎫
=++
⎪⎝⎭
，再由余弦函数的对称性，可得,3
k k Z π
ϕπ=-
∈，计算可得所求值.
【详解】
函数()()cos f x x ϕ=+图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变）， 则可得1cos 2y x ϕ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，
再把得到的图像向左平移6
π
个单位长度， 则可得cos 1212y x πϕ⎛⎫=++
⎪⎝⎭
，
因为所得函数图像关于2
x π=对称，
所以cos 1412ππϕ⎛⎫
++=± ⎪⎝⎭
， 即
4
12
k π
π
ϕπ+
+=，
解得：,3
k k Z π
ϕπ=-
∈，
所以：tan tan 3
ϕπ
=-=故选： B 【点睛】
本题考查了三角函数的图像变换以及余弦函数的对称性，属于一般题. 8．B 【解析】 【分析】
利用复数的乘法法则将复数z 表示为一般形式，即可得出复数z 在复平面内对应的点的位置． 【详解】
()2
21122z i i i i =+=++=，对应的点的坐标为()0,2，所对应的点在虚轴上，故选B ．
【点睛】
本题考查复数对应的点，考查复数的乘法法则，关于复数问题，一般要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行解答，考查计算能力，属于基础题． 9．D 【解析】 【分析】
根据逆否命题定义以及全称命题否定求结果. 【详解】 “若12a ≥
，则0x ∀≥，都有()0f x ≥成立”的逆否命题是:0x ∃≥有()0f x <成立，则1
2
a <,选D. 【点睛】
对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定. 10．D
【分析】
因为()2f x +是奇函数，所以()y f x =关于()2,0对称，根据条件结合数形结合可判断()0f x <的解集. 【详解】
()2f x +是奇函数， ()f x ∴关于()2,0对称， ()f x 在()2,+∞单调递增，
()f x ∴在(),2-∞也是单调递增， ()00f = ，
(),0∴-∞时()0f x <，()0,2时，()0f x >
又
()f x 关于()2,0对称，
()2,4∴时()0f x <，()4,+∞时()0f x > ()0f x ∴<的解集是()(),02,4-∞⋃.
故选D. 【点睛】
本题考查了利用函数的性质和图像，解抽象不等式，这类问题的关键是数形结合，将函数的性质和图像结合一起，这样会比较简单. 11．D 【解析】
分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各个变量值的变化情况，可得结论.
详解：模拟程序的运行过程，分析循环中各个变量值的变化情况， 可得程序的作用是求和111
1...1212312 (9)
S =+
+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯， 即S =111
1
?2!3!9!
+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，故选D. 点睛：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是中档题.算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可. 12．A
∵函数()2f x +的图象关于直线2x =-对称， ∴函数()f x 的图象关于直线0x =对称， ∴函数()f x 为偶函数．
又对任意()1212,0,,x x x x ∈+∞≠有
()()1212
0f x f x x x ->-，
∴函数()f x 在()0,+∞上为增函数． 又()()211f x f -<， ∴211x -<， 解得01x <<.
∴x 的取值范围是()0,1.选A ． 二、填空题：本题共4小题 13．
【解析】试题分析：因为函数 且是上的减函数，即
⇒
．故其每一段都为减函数，且前一段的最小值须大于等于后一段的最大值；
故答案为
．
考点：分段函数的单调性.
【方法点晴】本题是对分段函数单调性的考查，难度适中，容易进入陷阱，要想整个函数单调递减，前提必须为分段函数的每一段都有自己的单调性，所以在研究整函数的单调性时每一段都在考查范围内．当函数为减函数时，故其每一段都为减函数，且前一段的最小值须大于等于后一段的最大值；当函数为增函数时，故其每一段都为增函数，且前一段的最大值须小于等于后一段的最小值. 14．
【解析】
因为直线ax+y+2 =0与双曲线2
2
14
y x -=的一条渐近线y=2x 平行，所以-a=2，(或者-a=-2),则a=-2,(a=2,)
假设a=2,则利用平行线间距离公式解得为225
5
5
d ==
15．0.936 【解析】
∵随机变量X 服从正态分布()~21N ，
， ∴μ=1，得对称轴是x=1． ∵(3)0.968P ξ<=，
∴P （1<ξ<3）=()
30.5P ξ<-=0.468， ∴P （1＜ξ＜3）=0.4682⨯=0.936． 故答案为0.936．
点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－1σ<X≤μ＋1σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1. 16．
【解析】 【分析】
根据题意，由二项式定理可得
的展开式的通项，分析可知
、、
为负值，在
中，令
可得：
，即可求解．
【详解】 根据题意，中，其展开式的通项为
，
又由，
则、
、
为负值， 则在中，令
可得：
，
又由、、为负值，
则
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，赋值法求项的系数和，属于中档题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）26cos 2sin 60ρρθρθ--+=（22+ 【解析】
【分析】
（1）利用平方和为1消去参数α得到曲线C 的直角坐标方程，再利用y sin x cos ρθρθ=⎧⎨=⎩
，整理即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离.
【详解】
（1）由3212x cos y sin αα=+⎧⎨=-⎩，得3212x cos y sin αα-=⎧⎨-=-⎩
， 两式两边平方并相加，得()()22
314x y -+-=，
所以曲线C 表示以()3,1为圆心，2为半径的圆. 将y sin x cos ρθρθ
=⎧⎨=⎩代入得()()22cos 3sin 14ρθρθ-+-=，化简得26cos 2sin 60ρρθρθ--+= 所以曲线C 的极坐标方程为26cos 2sin 60ρρθρθ--+=
（2）由1
sin 2cos θθρ-=，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即21y x -=，得210x y -+=
所以直线l 的直角坐标方程为210x y -+=
因为圆心()3,1C 到直线:l 210x y -+=的距离5
d ==，
所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为2d r +=
. 【点睛】 本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.
18． (I) 见解析;（Ⅱ）见解析；(Ⅲ) 见解析.
【解析】
分析: (I)先求出身高高于1.70米的人数,再利用概率公式求这批学生的身高高于1.70 的概率.分别利用
面积相等求出a 、b 、c 的值. (II)先求出从这批学生中随机选取1名，身高在[]
1.501.70
，的概率，再利用二项分布写出ξ的分布列和数学期望. (Ⅲ)先分别计算出-<X +P μσμσ≤（）和
22)P S μσμσ-<≤+（，再看是否满足-<+)>0.6826P S μσμσ≤（且
22)0.9544P S μσμσ-<≤+>（,给出判断.
详解： (I)由图2 可知，100名样本学生中身高高于1.70米共有15 名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70 的概率为0.15.
记X 为学生的身高，结合图1可得:
2(1.30 1.40)(1.80 1.90)0.02100
f X f X <≤=<≤=
=， 13(1.40 1.50)(1.70 1.80)0.13100
f X f X <≤=<≤==, 1(1.50 1.60)(1.60 1.70)(120.0220.13)0.352f X f X <≤=<≤=-⨯-⨯=, 又由于组距为0.1,所以0.2a =， 1.3 3.5b c ==，
（Ⅱ）以样本的频率估计总体的概率，
可得: 从这批学生中随机选取1名，身高在[]
1.501.70
，的概率 (1.50 1.70)(1.50 1.60)+(1.60 1.70)0.7P X f X f X <≤=<≤<≤=.
因为从这批学生中随机选取3 名，相当于三次重复独立试验，
所以随机变量ξ服从二项分布(3,0.7)B ， 故ξ的分布列为:()3()?0.3?0.70,1,2,33
n n n P n C n ξ-===
=00.027+10.189+20.441+30.343=2.1E ξ⨯⨯⨯⨯（）（或=30.7=2.1E （））ξ⨯
(Ⅲ)由 1.60.01N （，）
，取=1.60=0.1μσ， 由（Ⅱ）可知，-<X += 1.50 1.70)0.70.6826P
P X μσμσ≤<≤=>（）（, 又结合(I)，可得:-2<X +2= 1.40 1.80)P
P X μσμσ≤<≤（）（ =2 1.70<X 1.80 1.50 1.70)0.960.544f P X ⨯≤+<≤=>（）（，
所以这批学生的身高满足近似于正态分布(1.60.01N ，）的概率分布，应该认为该市高一学生的身高
发育总体是正常的.
点睛：(1)本题不难，但是题目的设计比较新颖，有的同学可能不能适应. 遇到这样的问题,
首先是认真审题，理解题意，再解答就容易了. (2)在本题的解答过程中，要灵活利用
频率分布图计算概率.
19．（1）310x y -+=，22220x y x y +--=；（2）3 【解析】
【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；
（2）将直线l 的参数方程代入圆C 的方程中，得到关于t 的方程，根据t 的几何意义可得
222212||||PM PN t t +=+的值．
【详解】
（1）直线l ：1231x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），消去参数t 得：310x y -+=
直线l 的直角坐标方程为：310x y -+=，
曲线C 的极坐标方程22224sin sin cos πρθθθ⎛⎫=+
=+ ⎪⎝⎭
， 即ρ2＝2ρsin θ+2ρcos θ，
可得直角坐标方程：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ＝0； （2）把直线l 的参数方程1231x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数）
代入圆C 的方程，化简得：t 2﹣t ﹣1＝0，
∴12121
?1t t t t +==-，， ∴22222
121212||||()2123PM PN t t t t t t +=+=+-=+=．
【点睛】
本题主要考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了直线参数方程的几何意义，考查了学生的运算能力和转化能力，属中档题．
20．，，. 【解析】
【分析】
先利用同角三角函数的基本关系计算出的值，并计算出的取值范围，然后利用半角公式计算出和
的值，再利用同角三角函数的商数关系计算出的值.
【详解】 ，，. 又，， ，.
【点睛】
本题考查利用半角公式求值，同时也考查了利用同角三角函数的基本关系，在利用同角三角函数的基本关系时，要考查角的范围，确定所求三角函数值的符号，再结合相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.
21．（1）()22ln 2ln2(0)a a a a ϕ=--+>；（2）2；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）()2'(0)ax f x a x
-=>，判断函数的单调性即可求解最大值；（2）要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln20a a a ϕ=--+≤，()2'a a a
ϕ-=，判断单调性求解()()min 20a ϕϕ==即可得解2a =；（3）()22ln 2x x x g x x +=-，得()()()
222ln 4'2x x g x x --=-，令()2ln 4u x x x =--判断其单调性进而求得()()20000000min 0022ln 2=22
x x x x x g x g x x x x +-===--，得0m x =，再求()0f x 的范围进而得证 【详解】
（1）()2'(0)ax f x a x
-=>, 由()'0f x >得20x a <<
；()'0f x <得2x a >；所以()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.故()max 222ln 2ln2f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭
， 即()22ln 2ln2(0)a a a a ϕ=--+>；
（2）要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln20a a a ϕ=--+≤.因为()2'a a a
ϕ-=，所以当02a <<时，()'0a ϕ<；当2a >时，()'0a ϕ>.
所以()a ϕ在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.又()()min 20a ϕϕ==，所以满足条件的a 只有2，即2a =.
（3）由（2）知()22ln 2x x x g x x +=-，所以()()()
222ln 4'2x x g x x --=-. 令()2ln 4u x x x =--，则()2'0x u x x
-=>，()u x 是()2,+∞上的增函数；又()()80,90u u ，所以存在()08,9x ∈满足()00u x =，即002ln 4x x =-，
且当()02,x x ∈时，()()0,'0u x g x <<；
当()0,x x ∈+∞，()()0,'0u x g x >>
所以()g x 在()02,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增.所以()()20000000min 0022ln 2=22
x x x x x g x g x x x x +-===--，即0m x =. 所以()()000022ln 2=21110f m f x x x x ==+---∈--（，），即()1110f m -<<-.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性及最值，考查了零点存在定理和数学转化思想，在（3）的证明过程中，利用零点存在定理转化是难点属中档题．
22．（1）32
y =-. （2）0a ≤时，递减区间为(0,)+∞；当0a >时，()f x
在
递减，在)+∞递增. 【解析】
【分析】
（1）求导数，利用导数的几何意义求曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；
（2）先求出函数的导数，通过讨论a 的取值范围求出函数的单调区间．
【详解】
（1）当1a =时，函数()21ln 22f x x x =
--，()1f x x x '=-， ∴()10f '=，()312
f =-， ∴曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为32
y =- （2）()21(0)ax f x x x
->'=. 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 的单调递减区间为()0,+∞；
当0a >时，()f x 在⎛
⎝⎭递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭递增 【点睛】
本题考查利用导数研究切线方程、函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，是一道基础题．
提高练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设232i z i
-=
+，则z 的虚部是（ ） A ．713- B ．713 C ．713i - D ．713i 2．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ
，且()()03P P a ξξ<=>-，则a =（ ） A ．2- B ．2 C ．5 D ．6
3．设2921101211(1)(23)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则1211a a a +++的值为 （ ）
A ．－7
B ．3-
C ．2
D ．7 4．球的体积是
323π，则此球的表面积是（ ） A ．12π B ．16π C ．163π D ．643
π 5．已知服从正态分布()2,N μσ的随机变量，在区间(),μσμσ-+、()2,2μσμσ-+和()3,3μσμσ-+内取值的概率分别为68.3%、95.4%、和99.7%.某企业为1000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm ）服从正态分布()173,25N ，则适合身高在163183cm 范围内员工穿的服装大约要定制（ ）
A ．683套
B ．954套
C ．932套
D ．997套
6．设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A
B C =
A ．{1,1}-
B ．{0,1}
C ．{1,0,1}-
D ．{2,3,4}
7====，则,a b 的值分别是（ ）
A ．48，7
B ．61，7
C ．63，8
D ．65，8 8．已知函数()22x f x x e =-（e 为自然对数的底数），()()1,R g x mx m =+∈，若对于任意的[]11,1x ∈-，
总存在[]01,1x ∈-，使得()()01g x f x = 成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．][()22,11,e e -∞-⋃-+∞
B ．221,1e e ⎡⎤--⎣⎦
C ．][()
22,11,e e ---∞-⋃-+∞ D ．221,1e e --⎡⎤--⎣⎦
9．若将函数()2sin 16f x x π⎛⎫=+-
⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12
(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数()g x 在0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上单调递增 B ．函数()g x 的周期是2π C ．函数()g x 的图象关于点 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 D ．函数()g x 在0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上最大值是1 10．复数1(z i i =-为虚数单位）的虚部为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．i
D ．i - 11．函数sin 4y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
的一个单调增区间是（ ） A ．[],0π- B ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π C ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
12．阅读如图所示的程序框图，则输出的S 等于( )
A ．38
B ．40
C ．20
D ．32
二、填空题：本题共4小题
13．设向量(,1),(4,2)a x b ==，且//a b ，则实数x 的值是_______；
14．圆22420x y x y +-+=的圆心到直线3430x y ++=的距离__________.
15．二项式6
3ax ⎛ ⎝⎭的展开式中5x 320a x dx =⎰________. 16．在6
21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中,第4项的二项式系数是______（用数字作答）. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知正项等比数列{}n a 满足423a a a =，前三项和313S =．
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)若数列{}n b 满足3log n n b a n =+，11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，证明：12n T <． 18．选修4-5：不等式选讲
已知函数()|21|f x x =-．
(1)解不等式()24f x x <-+；
(2)若函数()()(1)g x f x f x =+-的最小值为a ，且(0,0)m n a m n +=>>，求2221m n m n
+++的取值范围．
19．（6分）设函数f(x)＝1－x 2＋ln(x ＋1).
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若不等式f(x)＞1
kx x +－x 2(k∈N *)在(0，＋∞)上恒成立，求k 的最大值. 20．（6分）某高科技公司研究开发了一种新产品，生产这种新产品的每天固定成本为30000元，每生产x
件，需另投入成本为t 元，22002000,0903200000010200310000,90x x x t x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩
每件产品售价为10000元（该新产品在市场上供不应求可全部卖完）．
（1）写出每天利润y 关于每天产量x 的函数解析式；
（2）当每天产量为多少件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大．
21．（6分）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.
（1）求角C ；（2）若7c =，332
ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点P 的起点为坐标原点O ,每秒沿格线向右或向上随机移动一个单位长.
（1）求经过3秒后，质点P 恰在点（1,2）处的概率；
（2）定义：点（x ,y ）的“平方距离”为2
2x y +.求经过5秒后，质点P 的“平方距离”ξ的概率分布和
数学期望()E ξ.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得z ，进而可得z 的虚部. 【详解】 ∵()()()()2322473232321313
i i i z i i i i ---=
==-++-， ∴4137
13
z i =+， ∴z 的虚部是7
13，故选B ．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，共轭复数的概念，属于基础题． 2．C 【解析】 【分析】
由题意结合正态分布的对称性得到关于a 的方程，解方程即可求得实数a 的值. 【详解】
随机变量ξ服从正态分布(
)2
1,N σ，则正态分布的图象关于直线1x =对称，
结合(0)(3)P P a ξξ<=>-有()
0312
a +-=，解得：5a =.
本题选择C 选项. 【点睛】
关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：
①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．
②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1. 3．D 【解析】 【分析】
利用赋值法，令2,1x x =-=-即可确定1211a a a +++的值.
【详解】
题中所给等式()
()()()()92
11
2
01211123222x x a a x a x a x ++=+++++
++中，
令2x =-可得：()()9
04143a +⨯-+=，即05a =-， 令1x =-可得：()()9
0123111123a a a a a +⨯-+=+++++，
即0123112a a a a a +++++=，
据此可知：1211a a a +++的值为()257--=.
本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查赋值法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．B 【解析】 【分析】
先计算出球的半径，再计算表面积得到答案. 【详解】
设球的半径为R ，则由已知得3
4323
3
R ππ=，解得2R =，故球的表面积2
416S R ππ==表. 故选：B 【点睛】
本题考查了圆的体积和表面积的计算，意在考查学生的计算能力. 5．B 【解析】 【分析】
由()173,25N 可得173μ=，5σ=，则163183cm 恰为区间()2,2μσμσ-+，利用总人数乘以概率即可得到结果. 【详解】
由()173,25N 得：173μ=，5σ=
1632μσ∴=-，1832μσ=+，又()2,295.4%P
μσμσ-+=
∴适合身高在163183cm 范围内员工穿的服装大约要定制：100095.4%954⨯=套
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查利用正态分布进行估计的问题，属于基础题. 6．C 【解析】
分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力. 7．C 【解析】 【分析】
仔细观察已知等式的数字可发现:2211
n n
n n
n n +=--,根据此规律解题即可. 【详解】 由22
22
33
+
=, 33
3388
+
=, 44
44, (1515)
+
=, 归纳可得2211
n n
n n
n n +
=--, 故当8n =时,2
8,8163b a ==-=, 故选C.
【点睛】
本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 8．A 【解析】，
在区间
上为增函数，在区间
上为减函数.
，
，又
，则函数
在区间上的值域为
.
当
时，函数
在区间
上的值域为
.
依题意有，则有，得.
当时，函数在区间上的值域为，不符合题意.
当
时，函数
在区间
上的值域为
.
依题意有，则有，得.
综合有实数的取值范围为.选A.
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 9．A 【解析】 【分析】
根据三角函数伸缩变换特点可得到()g x 解析式；利用整体对应的方式可判断出()g x 在0,
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，A 正确；关于点,112π⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
对称，C 错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知B 错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，D 错误. 【详解】
将()f x 横坐标缩短到原来的
12得：()2sin 216g x x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭
当0,
6x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，2,662x π
ππ⎛⎫+
∈ ⎪⎝⎭
sin x 在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 ()g x ∴在0,6π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，A 正确；
()g x 的最小正周期为：22T π
π=
= 2
π∴不是()g x 的周期，B 错误； 当12
x π
=-
时，206x π
+
=，112g π⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
()g x ∴关于点,112π⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
对称，C 错误；
当0,
6x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，2,662x π
ππ⎛⎫
+
∈ ⎪⎝⎭
()()0,1g x ∴∈
此时()g x 没有最大值，D 错误. 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质. 10．B 【解析】 【分析】
由虚数的定义求解． 【详解】
复数1z i =-的虚部是－1． 故选：B ． 【点睛】
本题考查复数的概念，掌握复数的概念是解题基础． 11．B 【解析】 【分析】
对函数sin 4y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
在每个选项的区间上的单调性进行逐一验证，可得出正确选项. 【详解】
对于A 选项，当[],0x π∈-时，3444x πππ-
≤+≤，所以，函数sin 4y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭在区间[],0π-上不单调；
对于B 选项，当0,
4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，442x πππ≤+≤，所以，函数sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增； 对于C 选项，当,42x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，3244x πππ≤+≤，所以，函数sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；
对于D 选项，当,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，35444x πππ≤+≤，所以，函数sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递
减.故选：B. 【点睛】
本题考查正弦型函数在区间单调性的判断，一般利用验证法进行判断，即求出对象角的取值范围，结合正
弦函数的单调性进行判断，考查推理能力，属于中等题. 12．B 【解析】 【分析】
模拟程序,依次写出各步的结果,即可得到所求输出值． 【详解】
程序的起始为04S i ==，， 第一次变为45203S i =⨯==，， 第二次变为2034322S i =+⨯==，， 第三次变为3223381S i =+⨯==，， 第四次变为3812400S i =+⨯==，， 满足条件可得40.S = 故选：B. 【点睛】
本题考查程序框图中的循环结构,难度较易. 二、填空题：本题共4小题 13．2 【解析】 【分析】
由条件利用两个向量共线的性质求得x 的值． 【详解】
解：∵(),1a x =，()4,2b =，且//a b ， ∴2x ＝4， 即x ＝2 故答案为2 【点睛】
本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题． 14．1 【解析】 【分析】
由题意首先确定圆心坐标，然后利用点到直线距离公式可得圆心到直线的距离. 【详解】
圆的方程即：()()2
2
215x y -++=，则圆心坐标为()2,1-，
圆心到直线3430x y ++=的距离
515
d ==
=. 故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查由圆的方程确定圆心的方法，点到直线距离公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 15．
13
【解析】
分析：先根据二项展开式的通项求得5
x 的系数，进而得到a 的值，然后再根据微积分基本定理求解即可．
详解：二项式6
6ax ⎛⎫
+ ⎪
⎪⎝⎭
的展开式的通项为666166()(),0,1,2,,6r r r r r r r
r T C ax a C x r ---+===，
令1r =
，可得5x
51
56a C
=，
5= 解得1a =．
∴1
2
3100
11|33
x dx x =
=⎰
． 点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项，然后根据题目要求求解．定积分计算的关键是确定被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求解． 16．20 【解析】 【分析】
利用二项式的通项公式即可求出. 【详解】
二项式6
21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的通项公式为：6236
1661()()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=⋅⋅-=⋅-⋅.
令3r =, 所以第4项的二项式系数是3
620C =
故答案为：20 【点睛】
本题考查了二项式某项的二项式系数,解决本题要注意与二项式某项的展开式系数的不同.。