2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题(普通班,含解析)

2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题
（普通班，含解析）
第I卷(选择题共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1.已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用交集公式计算得到答案.
【详解】集合，集合，则
故选：
【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.
2. 设集合A＝{－1,3,5}，若f：x→2x－1是集合A到集合B的映射，则集合B可以是（）
A. {0,2,3}
B. {1,2,3}
C. {－3,5}
D. {－3,5,9}
【答案】D
试题分析：-1的映射为-3,3的映射为5,5的映射为9，因此集合B必含有-3,5,9，因此D正确
考点：映射
3.已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用三角函数的定义得到答案.
【详解】终边经过点，则
故选：
【点睛】本题考查了三角函数值的计算，属于简单题.
4.要得到函数的图象，只需将函数图象（）
A. 向右平移的单位
B. 向右平移的单位
C. 向左平移的单位
D. 向左平移的单位
【答案】A
【分析】
变换得到，根据平移公式得到答案.【详解】
故只需将函数图象向右平移的单位
故选：
【点睛】本题考查了三角函数的平移，意在考查学生对于三角函数平移变换的应用..
5.下列函数中，在区间上为增函数的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，函数和函数在区间上为减函数；函数在区间上先减后增的函数，故选A．
考点：函数的单调性．
6.已知是第三象限角，，则（）
A. B. C. D.
【解析】
【分析】
利用条件以及同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα的值．
【详解】∵α是第三象限角，tanα，sin2α+cos2α＝1，
得sinα，
故选D．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
7.函数的零点所在的区间为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可判断在上为增函数，再由，，可得函数零点所在的区间．
【详解】函数的定义域为，又与在上都为增函数，
∴在上为增函数，
又，，
∴函数零点所在的区间为．
故选A．
【点睛】本题考查函数零点的判定，考查函数的单调性的判断及应用，是基础题．
8.己知函数（，，，）的图象（部分）如图所示，则的解析式是（）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象可知，利用正弦型函数可求得；根
据最大值和最小值可确定，利用及可求得，从而得到函数解析式.
【详解】由图象可知，的最小正周期：
又
又，且
，，即，
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据图象求解三角函数解析式的问题，关键是能够明确由最大值和最小值确定；由周期确定；通常通过最值点来进行求解，属于常考题型.
9.设是两个互相垂直的单位向量，且则在上的投影为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算，，再利用投影公式计算得到答案.【详解】，则
在上的投影为
故选：
【点睛】本题考查了向量投影的计算，意在考查学生的计算能力.
10.函数的图象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过函数在处函数有意义，在处函数无意义，可排除A、D；通过判断当时，函数的单调性可排除C，即可得结果.
【详解】当时，，函数有意义，可排除A；
当时，，函数无意义，可排除D；
又∵当时，函数单调递增，
结合对数函数的单调性可得函数单调递增，可排除C；
故选B.
【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.
11.已知函数在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先确定为等边三角形，再计算得到，根据周期公式计算得到答案.
【详解】易知为中点，故
故选：
【点睛】本题考查了三角函数图像，确定为等边三角形是解题的关键.
12.已知函数，则函数的零点个数为（）
A. 1
B. 3
C. 4
D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
令,可得,解方程,结合函数的图象,可求出答案.
【详解】令,则,
令,若,解得或,符合;若,解得,符合.
作出函数的图象,如下图,时,;时, ;时,.
结合图象若,有3个解;若,无解;若,有1个解.
所以函数的零点个数为4个.
故选:C.
【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13.计算：________ ；________．【答案】 (1). 2 (2).
【解析】
【分析】
直接利用对数和指数幂公式计算得到答案.
【详解】
故答案为： (1). 2 (2).
【点睛】本题考查了对数，指数幂的运算，意在考查学生的计算能力.
14.已知函数，则______；若，则实数_______．
【答案】 (1). 0 (2).
【解析】
【分析】
直接代入计算得到答案；讨论和两种情况计算得到答案.【详解】则
当时：或（舍去）；
当时：（舍去）；
综上所述：
故答案为：(1). 0 (2).
【点睛】本题考查了分段函数值的计算，意在考查学生的计算能力.
15.已知函数，有三个零点、、，则实数a的取值范围是________；的取值范围是________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
(1)令,则,设函数画出图像再分
析与的交点个数即可.
(2)根据图像分析得,再分析的范围即可.
【详解】(1)令,则,设函数
,
画出函数的图像.易得当为抛物线上顶点为
又有三个零点、、,即与有三个交点,故
(2)有图像得,即,当时,
即,此时,故
故
故答案为(1). (2).
【点睛】本题主要考查了数形结合的思想以及绝对值函数的分段方法等,同时也考查了根据图像求零点的范围问题,属于中等题型.
16.若___.
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式,即可.
【详解】
【点睛】本道题考查了诱导公式,关键抓住,属于容易题.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.求值：（1）；
（2）.
【答案】（1）0.55（2）1
【解析】
【分析】
（1）利用根式与分数指数幂的性质直接求解．
（2）直接利用对数运算法则及换底公式．
【详解】（1）
＝0.3+2﹣3+2﹣2﹣2﹣3
＝0.3+0.25
＝0.55．
（2）=1
【点睛】本题考查根式与分数指数幂的性质，考查了对数的运算性质，是基础题．
18.已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
【答案】（1）50cm2（2）
【解析】
【详解】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓．
∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝π(cm)．
S弓＝S扇－S△＝×π×10－×102·sin60°＝50cm2.
(2)∵扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，∴S扇＝α·R2＝α＝，当且仅当α＝，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值.
19.已知函数
（1）求的单调递增区间
（2）若，已知，求的值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）由二倍角的正弦、余弦公式可得，再结合正弦函数单调区间的求法即可得解；
（2）由已知可得，，再由辅助角公式
运算即可.
【详解】解：（1）因为
，
由，解得：，
故的单调递增区间为：；
（2）由，则，
由，所以，则，
所以，故.
【点睛】本题考查了二倍角的正弦、余弦公式，重点考查了辅助角公式，属中档题.
20.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
（1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其最大收益为多少万元？
【答案】（1），；（2）债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元
【解析】
【分析】
（1）由题意，得到，，代入求得的值，即可得到函数的解析式；
（2）设债券类产品投资万元，可得股票类产品投资万元，求得总的理财收益的解析式，利用换元法和二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）设投资债券类产品的收益与投资额的函数
关系式为，
投资股票类产品的收益与投资额的函数关系式为，
可知，，
所以，.
（2）设债券类产品投资万元，则股票类产品投资万元，
总的理财收益.
令，则，，
故，
所以，当时，即债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元.
【点睛】本题主要考查了函数实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，熟练应用函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
【此处有视频，请去附件查看】
21.已知.
（1）当时，解不等式；
（2）若，解关于x的不等式.
【答案】（1）或；（2）答案不唯一，具体见解析【解析】
【分析】
（1）将代入，解对应的二次不等式可得答案；
（2）对值进行分类讨论，可得不同情况下不等式的解集．
【详解】解：（1）当时，有不等式，
，
∴不等式的解集为或
（2）∵不等式
又
当时，有，∴不等式的解集为；
当时，有，∴不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解二次不等式，难度中档．
22.已知函数为奇函数，且，其中
，.
（1）求，的值.
（2）若，，求的值.
【答案】(1)；（2）.
【解析】
试题分析：（1）先根据奇函数性质得y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，解得θ＝，再根据解得a（2）根据条件化简得sinα＝，根据同角三角函数关系得cosα，最后根据两角和正弦公式求sin的值
试题解析：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝，所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2cos2x)，
由f＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝－sin 4x，因为f＝－sin α＝－，
即sin α＝，又α∈，从而cos α＝－，
所以sin＝sin αcos＋cos αsin＝×＋×＝. 2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题
（普通班，含解析）
第I卷(选择题共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1.已知集合，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用交集公式计算得到答案.
【详解】集合，集合，则
故选：
【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.
2. 设集合A＝{－1,3,5}，若f：x→2x－1是集合A到集合B的映射，则集合B可以是（）
A. {0,2,3}
B. {1,2,3}
C. {－3,5}
D. {－3,5,9}
【答案】D
【解析】
试题分析：-1的映射为-3,3的映射为5,5的映射为9，因此集合B必含有-3,5,9，因此D正确考点：映射
3.已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用三角函数的定义得到答案.
【详解】终边经过点，则
故选：
【点睛】本题考查了三角函数值的计算，属于简单题.
4.要得到函数的图象，只需将函数图象（）
A. 向右平移的单位
B. 向右平移的单位
C. 向左平移的单位
D. 向左平移的单位
【答案】A
【解析】
【分析】
变换得到，根据平移公式得到答案.
【详解】
故只需将函数图象向右平移的单位
故选：
【点睛】本题考查了三角函数的平移，意在考查学生对于三角函数平移变换的应用..
5.下列函数中，在区间上为增函数的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，函数和函数在区间上为减函数；函数在区间上先减后增的函数，故选A．
考点：函数的单调性．
6.已知是第三象限角，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用条件以及同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα的值．
【详解】∵α是第三象限角，tanα，sin2α+cos2α＝1，
得sinα，
故选D．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
7.函数的零点所在的区间为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可判断在上为增函数，再由，，可得函数零点所在的区间．
【详解】函数的定义域为，又与在上都为增函数，
∴在上为增函数，
又，，
∴函数零点所在的区间为．
故选A．
【点睛】本题考查函数零点的判定，考查函数的单调性的判断及应用，是基础题．
8.己知函数（，，，）的图象（部分）如图所示，则的解析式是（）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图象可知，利用正弦型函数可求得；根据最大值和最小值可确定，利用及可求得，从而得到函数解析式.
【详解】由图象可知，的最小正周期：
又
又，且
，，即，
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据图象求解三角函数解析式的问题，关键是能够明确由最大值和最小值确定；由周期确定；通常通过最值点来进行求解，属于常考题型.
9.设是两个互相垂直的单位向量，且则在上的投影为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先计算，，再利用投影公式计算得到答案.
【详解】，则
在上的投影为
故选：
【点睛】本题考查了向量投影的计算，意在考查学生的计算能力.
10.函数的图象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过函数在处函数有意义，在处函数无意义，可排除A、D；通过判断当
时，函数的单调性可排除C，即可得结果.
【详解】当时，，函数有意义，可排除A；
当时，，函数无意义，可排除D；
又∵当时，函数单调递增，
结合对数函数的单调性可得函数单调递增，可排除C；
故选B.
【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.
11.已知函数在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若
，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先确定为等边三角形，再计算得到，根据周期公式计算得到答案.
【详解】易知为中点，故
故选：
【点睛】本题考查了三角函数图像，确定为等边三角形是解题的关键.
12.已知函数，则函数的零点个数为（）
A. 1
B. 3
C. 4
D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
令,可得,解方程,结合函数的图象,可求出答案.
【详解】令,则,
令,若,解得或,符合;若,解得,符合.
作出函数的图象,如下图,时,;时,;
时,.
结合图象若,有3个解;若,无解;若,有1个解.
所以函数的零点个数为4个.
故选:C.
【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13.计算：________ ；________．
【答案】 (1). 2 (2).
【解析】
【分析】
直接利用对数和指数幂公式计算得到答案.
【详解】
故答案为： (1). 2 (2).
【点睛】本题考查了对数，指数幂的运算，意在考查学生的计算能力.
14.已知函数，则______；若，则实数
_______．
【答案】 (1). 0 (2).
【解析】
【分析】
直接代入计算得到答案；讨论和两种情况计算得到答案.
【详解】则
当时：或（舍去）；
当时：（舍去）；
综上所述：
故答案为：(1). 0 (2).
【点睛】本题考查了分段函数值的计算，意在考查学生的计算能力.
15.已知函数，有三个零点、、，则实数a的取值范围是
________；的取值范围是________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
(1)令,则,设函数画出图像再分析与的交点个数即可.
(2)根据图像分析得,再分析的范围即可.
【详解】(1)令,则,设函数,
画出函数的图像.易得当为抛物线上顶点为
又有三个零点、、,即与有三个交点,故
(2)有图像得,即,当时,
即,此时,故
故
故答案为(1). (2).
【点睛】本题主要考查了数形结合的思想以及绝对值函数的分段方法等,同时也考查了根据图像求零点的范围问题,属于中等题型.
16.若___.
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式,即可.
【详解】
【点睛】本道题考查了诱导公式,关键抓住,属于容易题.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.求值：（1）；
（2）.
【答案】（1）0.55（2）1
【解析】
【分析】
（1）利用根式与分数指数幂的性质直接求解．
（2）直接利用对数运算法则及换底公式．
【详解】（1）
＝0.3+2﹣3+2﹣2﹣2﹣3
＝0.3+0.25
＝0.55．
（2）=1
【点睛】本题考查根式与分数指数幂的性质，考查了对数的运算性质，是基础题．18.已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
【答案】（1）50cm2（2）
【解析】
【详解】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓．
∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝π(cm)．
S弓＝S扇－S△＝×π×10－×102·sin60°＝50cm2.
(2)∵扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，∴S扇＝α·R2＝α＝
，当且仅当α＝，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值.
19.已知函数
（1）求的单调递增区间
（2）若，已知，求的值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）由二倍角的正弦、余弦公式可得，再结合正弦函数单调区间的求法即可得解；
（2）由已知可得，，再由辅助角公式
运算即可.
【详解】解：（1）因为
，
由，解得：，
故的单调递增区间为：；
（2）由，则，
由，所以，则，
所以，
故.
【点睛】本题考查了二倍角的正弦、余弦公式，重点考查了辅助角公式，属中档题.
20.某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
（1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，怎样分配资金才能获得最大收益？其最大收益为多少万元？
【答案】（1），；（2）债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元
【解析】
【分析】
（1）由题意，得到，，代入求得的值，即可得到函数的解析式；
（2）设债券类产品投资万元，可得股票类产品投资万元，求得总的理财收益的解析式，利用换元法和二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）设投资债券类产品的收益与投资额的函数关系式为，投资股票类产品的收益与投资额的函数关系式为，
可知，，
所以，.
（2）设债券类产品投资万元，则股票类产品投资万元，
总的理财收益.
令，则，，
故，
所以，当时，即债券类产品投资16万元时，收益最大，为3万元.
【点睛】本题主要考查了函数实际应用问题，其中解答中认真审题，列出函数的解析式，熟练应用函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
【此处有视频，请去附件查看】
21.已知.
（1）当时，解不等式；
（2）若，解关于x的不等式.
【答案】（1）或；（2）答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
（1）将代入，解对应的二次不等式可得答案；
（2）对值进行分类讨论，可得不同情况下不等式的解集．
【详解】解：（1）当时，有不等式，
，
∴不等式的解集为或
（2）∵不等式
又
当时，有，∴不等式的解集为；
当时，有，∴不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解二次不等式，难度中档．
22.已知函数为奇函数，且，其中，.（1）求，的值.
（2）若，，求的值.
【答案】(1)；（2）.
【解析】
试题分析：（1）先根据奇函数性质得y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，解得θ＝，再根据解得a（2）根据条件化简得sinα＝，根据同角三角函数关系得cosα，最后根据
两角和正弦公式求sin的值
试题解析：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所
以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝，所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2cos2x)，由f＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝－sin 4x，因为f＝－sin α＝－，
即sin α＝，又α∈，从而cos α＝－，
所以sin＝sin αcos＋cos αsin＝×＋×＝.。