2021高考一轮复习 第十六讲 三角函数的图象与性质

2021高考一轮复习 第十六讲 三角函数的图象与性质
一、单选题（共12题；共24分）
1.将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移 π
6 个单位得到 g(x) ，下列关于 g(x) 的说法正确的是（ ） A. x =π
12 是对称轴 B. 在 [0,π
2] 上单调递增
C. 在 [0,π
3] 上最大值为1 D. 在 [−π
3,0] 上最小值为 −1 【答案】 D
【考点】正弦函数的单调性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换
2.已知函数 f(x)=sinωx +√3cosωx(ω>0) 的图象关于直线 x =π
8 对称，则 ω 的最小值为（ ） A. 1
3 B. 2
3 C. 4
3 D. 8
3 【答案】 C
【考点】正弦函数的奇偶性与对称性
3.已知函数 y =sin(ωx +π3
)(ω>0) 在区间 (−π6
,π3
) 上单调递增，则 ω 的取值范围是（ ）
A. (0,12]
B. [12,1]
C. (13,23]
D. [2
3,2] 【答案】 A
【考点】正弦函数的单调性
4.已知函数 f(x)=cos x
2−√3sin x
2 的图象为C ，为了得到关于原点对称的图象，只要把C 上所有的点（ ） A. 向左平移 π
3 个单位 B. 向左平移 2π3
个单位 C. 向右平移 π3 个单位 D. 向右平移 2π3
个单位
【答案】 A
【考点】余弦函数的奇偶性与对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换
5.函数 f(x)=2sin (wx +φ)(w >0,x ∈R) 的部分图象如图所示，则该函数图象的一个对称中心是（ ）
A. (π3,0)
B. (−2π3
,0) C. (−
4π3
,0) D. (4π
3,0)
【答案】 C
【考点】正弦函数的奇偶性与对称性，由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 6.下列函数中，周期为1的奇函数是( )
A. y=1-2sin 2πx
B. y=sin (2πx +π
3
) C. y=tan π2
x D. y=sinπxcosπx
【答案】 D
【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，正弦函数的奇偶性与对称性，正切函数的周期性 7.下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（ ）
A. y =sin2x
B. y =cos x
2 C. sin2x +cos2x D. y =1−tan 2x 1+tan 2x
【答案】 D
【考点】函数奇偶性的判断，二倍角的余弦公式，三角函数的周期性及其求法，同角三角函数间的基本关系
8.已知函数 f(x)=√3sin(2x +φ)+cos(2x +φ) 为R 上的奇函数，且在 [π4,π
2] 上单调递增，则 φ 的值可能是（ ） A. −
2π
3
B. −π6
C. π3
D. 5π
6 【答案】 D
【考点】正弦函数的单调性
9.函数 y =sin(2x +π
4) 的最小正周期是（ ）
A. π
B. 2π
C. π
2 D. π
4 【答案】 A
【考点】三角函数的周期性及其求法
10.函数 f(x)=cosx(1+√3tanx) 的最小正周期为（ ）
A. 2π
B. π
C. 3
2π D. 1
2π 【答案】 A
【考点】三角函数的周期性及其求法
11.函数 y =cos 2x +sin x −1 的值域为（ ）
A. (−∞,1
4] B. [0,1
4] C. [−2,14] D. [−2,0] 【答案】 C
【考点】二次函数在闭区间上的最值，正弦函数的定义域和值域
12.把函数 y =sin(x +π
6) 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移 π
3 个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ）
A. (π
3,0) B. (π
4,0) C. (π
12,0) D. (0,0) 【答案】 D
【考点】正弦函数的奇偶性与对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换
二、多选题（共2题；共6分）
13.函数f（x）＝cos（2x +π
6
）的图象的一条对称轴方程为（）
A. x =π
6 B. x= 5π
12
C. x =11π
12
D. x= −2π
3
【答案】B,C
【考点】余弦函数的奇偶性与对称性
14.将函数f(x)=√3cos(2x+π
3)−1的图象向左平移π
3
个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函
数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是（）
A. 最大值为√3，图象关于直线x=π
12
对称 B. 图象关于y轴对称
C. 最小正周期为π
D. 图象关于点(π
4
,0)对称
【答案】B,C,D
【考点】余弦函数的奇偶性与对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
三、填空题（共3题；共4分）
15.若函数f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<π
2
)的图象过点(0,√3)，则函数f(x)在[0,π]上的单调减区间是________．
【答案】(π
12,7π
12
)(或[π
12
,7π
12
])
【考点】正弦函数的单调性
16.函数f(x)=2sin(2x−π
6)−m，若f(x)≤0在x∈[0,π
2
]上恒成立，则m的取值范围是________;
若f(x)在x∈[0,π
2
]上有两个不同的解，则m的取值范围是________. 【答案】m≥2；1≤m＜2
【考点】函数恒成立问题，正弦函数的图象，函数的零点与方程根的关系17.不等式sin2x−cos2x≥0的解集为________．
【答案】[kπ+π
4,kπ+3π
4
]，k∈Z
【考点】二倍角的余弦公式，余弦函数的单调性四、解答题（共3题；共35分）
18.已知函数f(x)=sinx−2√3cos2x
2
+√3（1）求f(π)的值；
（2）求函数y=|f(x)|的单调递增区间.
【答案】（1）解：化简得f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π
3)，所以f(π)=2sin2π
3
=√3
（2）解：由于y=2|sin(x−π
3)|，故kπ⩽x−π
3
⩽π
2
+kπ，k∈Z，
解得函数y=|f(x)|的单调递增区间为[kπ+π
3,kπ+5π
6
]，k∈Z
【考点】两角和与差的正弦公式，二倍角的余弦公式，正弦函数的单调性19.已知函数f(x)=2√3cos2x+sin(π−2x)．
（1）求函数f(x)的最小正周期．
（2）求函数f(x)在[0,π
2
]上的单调区间．
【答案】（1）解：∵f(x)=2√3cos2x+sin(π−2x)
=√3(cos2x+1)+sin2x
=sin2x+√3cos2x+√3
=2sin(2x+π
3
)+√3，
∴函数f(x)的最小正周期为2π
2
=π．
（2）解：当x∈[0,π
2]时，2x+π
3
∈[π
3
,4π
3
]，
∴令π
3≤2x+π
3
≤π
2
，得0≤x≤π
12
．
令π
2≤2x+π
3
≤4π
3
，得π
12
≤x≤π
2
．
∴函数f(x)在[0,π
2]上的单调增区间是[0,π
12
]，单调减区间是[π
12
,π
2
]．
【考点】二倍角的余弦公式，三角函数的积化和差公式，正弦函数的单调性，正弦函数的周期性20.已知函数f(x)=sinxcosx+√3
2
(cos2x−sin2x).
（1）求f(π
6
)的值；
（2）求f(x)的单调递增区间；
（3）求f(x)的最大值.
【答案】（1）解：由题意可得f(x)=sinxcosx+√3
2(cos2x−sin2x)=1
2
sin2x+√3
2
cos2x
=sin(2x+π
3
)，
所以f(π
6)=sin(2×π
6
+π
3
)=sin2π
3
=√3
2
；
（2）解：由−π
2+2kπ≤2x+π
3
≤π
2
+2kπ,k∈Z，解得−5π
12
+kπ≤x≤π
12
+kπ,k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[−5π
12+kπ，π
12
+kπ](k∈Z)；
)，
（3）解：由（1）得f(x)=sin(2x+π
3
所以f(x)的最大值为1.
【考点】三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的单调性，三角函数的最值。