宁夏大学附属中学立体几何多选题试题含答案

宁夏大学附属中学立体几何多选题试题含答案
一、立体几何多选题
1．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为
23的等边三角形，侧棱长为43，则
（ ）
A ．直线1AC 与直线1B
B 之间距离的最大值为3
B ．若1A 在底面AB
C 上的投影恰为ABC ∆的中心，则直线1AA 与底面所成角为60︒ C ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB 与1AC 所成的角为30
D ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64π 【答案】AD 【分析】
建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】
如图示，以A 为原点，AC 为y 轴正方向，Ax 为x 轴正方向，过A 点垂直于面ABC 的向上方向为z 轴正方向建系，则()()()
0,0,0,3,0,0,23,0,A B C 设()()()
100010001000,,,3,3,,,23,,A x y z B x y z C x y z +++
所以()()()
1
000100011,23,,,,,3,3,0,AC x y z BB x y z A B =---== 对于A:设n 为直线1AC 与直线1BB 的公垂线的方向向量，则有：11
·
0·0A C n BB n ⎧=⎪⎨
=⎪⎩， 即()()
000000230
x x y y zz x x y y zz ⎧-+-=⎪⎨++=⎪⎩解得：()00,0n z x =- 设直线1AC 与直线1BB 之间距离为d ，则
2
2
0112222000039||||
z z A B n
d d x z n x z ===++ 22009x d ≥∴≤，即3d ≤，故A 正确；
对于B ：若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则()
11,3,211A 底面法向量()()
10,0,1,1,3,211m AA ==，设直线 1AA 与底面所成角为θ，则：
121133
sin |cos ,|6143
AA n θ==
=⨯，故B 错误； 对于C ： 三棱柱的侧棱垂直于底面时，则
(
)()()
1110,0,43,3,3,43,0,23,43,A B C
则()()1
3,3,0,0,23,43,AB AC ==-
设异面直线AB 与1AC 所成的角为θ，则
1
1
165cos |cos ,|||10||||
23215AB AC AB AC AB AC θ====⨯,故C 错误；
对于D ：若三棱柱的侧棱垂直于底面时，外接球的球心O 为上下底面中心DD 1连线的中点,所以外接球的半径()
2
22324R =+=，所以2464S R ππ==.
故D 正确
故选：AD 【点睛】
向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.
2．如图，已知正方体1ABCD ABC D -的棱长为a ，E 是棱CD 上的动点.则下列结论中正确的有（ ）
A ．11E
B AD ⊥
B ．二面角11E A B A --的大小为
4
π C ．三棱锥11A B D E -体积的最小值为3
13
a D ．1//D E 平面11A B BA 【答案】ABD 【分析】
连接1A D 、1BC ，则易证1AD ⊥平面11A DCB ，1EB ⊂平面11A DCB ，则由线面垂直的性质定理可以判断选项A 正确；二面角11E A B A --的平面角为1DA A ∠，易知
14
DA A π
∠=
，则可判断选项B 正确；用等体积法，将求三棱锥11A B D E -的体积转化为
求三棱锥11E AB D -的体积，当点E 与D 重合时，三棱锥11E AB D -的体积最小，此时的值为
3
16
a ，则选项C 错误；易知平面11//D DCC 平面11A B BA ，而1D E ⊂平面11D DCC ，则根据面面平行的性质定理可得1//D E 平面11A B BA ，可判断选项D 正确. 【详解】
选项A ，连接1A D 、1BC
，则由正方体1ABCD ABC D -可知，
11A D AD ⊥，111A B AD ⊥，1111A D
A B A =，
则1AD ⊥平面11A DCB ，又因为1EB ⊂平面11A DCB ，
所以11EB AD ⊥，选项A 正确； 选项B ，因为11//DE A B ，
则二面角11E A B A --即为二面角11D A B A --， 由正方体1ABCD ABC D -可知，11A B ⊥平面1DA A ，
则1DA A ∠为二面角11D A B A --的平面角，且14
DA A π
∠=，
所以选项B 正确；
选项C ，设点E 到平面11AB D 的距离为d ， 则111111
1
3
A B D E E AB D AB D V V S d --==
⋅，
连接1C D 、1C B ，易证平面1//BDC 平面11AB D ，
则在棱CD 上，点D 到平面11AB D 的距离最短， 即点E 与D 重合时，三棱锥11A B D E -的体积最小， 由正方体1ABCD ABC D -知11A B ⊥平面1ADD ， 所以1111123
11
1
113
326
D AB D B ADD
ADD a V V S A B a a --==⋅=⋅⋅=， 则选项C 错误；
选项D ，由正方体1ABCD ABC D -知，
平面11//CC D D 平面11A B BA ，且1D E ⊂平面11CC D D ， 则由面面平行的性质定理可知1//D E 平面11A B BA ，则选项D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
关键点点睛：本题对于选项C 的判断中，利用等体积法求三棱锥的体积是解题的关键.
3．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，点O 为11A D 的中点，若以O 6为半径的球面与正方体1111ABCD A BC D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ，则下列结论正确的是（ ）
A ．11//A D 平面EFGH
B ．1
AC ⊥平面EFGH C ．11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°
D ．平面EFGH 将正方体1111ABCD A BC D -分成两部分的体积的比为1:7 【答案】ACD 【分析】
如图，计算可得,,,E F G H 分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方
法可判断A 、B 的正确与否，计算出直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒后可得C 正确，而几何体BHE CGF -为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D 正确与否. 【详解】
如图，连接OA ，则2115OA AA =
+=，故棱1111,,,A A A D D D AD 与球面没有交点.
同理，棱111111,,A B B C C D 与球面没有交点.
因为棱11A D 与棱BC 之间的距离为226>BC 与球面没有交点. 因为正方体的棱长为2，而26<
球面与正方体1111ABCD A BC D -的棱有四个交点E ，F ，G ，H ， 所以棱11,,,AB CD C C B B 与球面各有一个交点， 如图各记为,,,E F G H .
因为OAE △为直角三角形，故22651AE OE OA -=-=，故E 为棱AB 的中点. 同理,,F G H 分别为棱11,,CD C C B B 的中点.
由正方形ABCD 、,E F 为所在棱的中点可得//EF BC ， 同理//GH BC ，故//EF GH ，故,,,E F G H 共面. 由正方体1111ABCD A BC D -可得11//A D BC ，故11//A D EF
因为11A D ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，故11//A D 平面EFGH ，故A 正确. 因为在直角三角1BAC 中，122A B =2BC = ，
190A BC ∠=︒， 1AC 与BC 不垂直，故1AC 与GH 不垂直，故1
AC ⊥平面EFGH 不成立，故B 错误. 由正方体1111ABCD A BC D -可得BC ⊥平面11AA B B ，而1A B ⊂平面11AA B B ， 所以1BC A B ⊥，所以1EF A B ⊥
在正方形11AA B B 中，因为,E H 分别为1,AB BB 的中点，故1EH A B ⊥， 因为EF
EH E =，故1A B ⊥平面EFGH ，
所以BEH ∠为直线AB 与平面EFGH 所成的角，而45BEH ∠=︒， 故直线AB 与平面EFGH 所成的角为45︒，
因为11//AB A B ，故11A B 与平面EFGH 所成的角的大小为45°.故C 正确.
因为,,,E F G H 分别为所在棱的中点，故几何体BHE CGF -为三棱柱， 其体积为
1
11212
⨯⨯⨯=，而正方体的体积为8， 故平面EFGH 将正方体1111ABCD A BC D -分成两部分的体积的比为1:7，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】
本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题.
4．如图，矩形ABCD 中， 22AB AD ==，E 为边AB 的中点.将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △（点1A 不落在底面BCDE 内），若M 在线段1AC 上（点M 与1A ，C 不重合），则在ADE 翻转过程中，以下命题正确的是（ ）
A ．存在某个位置，使1DE AC ⊥
B ．存在点M ，使得BM ⊥平面1A D
C 成立 C ．存在点M ，使得//MB 平面1A DE 成立
D ．四棱锥1A BCD
E -2
【答案】CD 【分析】
利用反证法可得A 、B 错误，取M 为1AC 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，可证明//MB 平面1A DE ，当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大2 【详解】
如图（1），取DE 的中点为F ，连接1,A F CF ，
则45CDF ∠=︒，22DF =
，故212254222222
CF =+-⨯=， 故222DC DF CF ≠+即2
CFD π
∠≠．
若1CA DE ⊥，因为11,A D A E DF FE ==，故1A F DE ⊥，而11
1A F AC A ⋂=， 故DE ⊥平面1AFC ，因为CF ⊂平面1AFC ，故DE CF ⊥，矛盾，故A 错． 若BM ⊥平面1A DC ，因为DC ⊂平面1A DC ，故BM DC ⊥， 因为DC CB ⊥，BM CB B ⋂=，故CD ⊥平面1
ACB ， 因为1AC ⊂平面1ACB ，故1CD AC ⊥，但1A
D CD <，矛盾，故B 错． 当平面1A D
E ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值， 由前述证明可知1A
F DE ⊥，而平面1A DE
平面BCDE DE =，
1A F ⊂平面1A DE ，故1A F ⊥平面BCDE ，
因为1A DE △为等腰直角三角形，111A D A E ==，故12
2
A F =， 又四边形BCDE 的面积为13211122
⨯-⨯⨯=， 故此时体积为13
22
3224
⨯⨯
=
，故D 正确． 对于C ，如图（2），取M 为1AC 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ， 则1//,2IM CD IM CD =
，而1
//,2
BE CD BE CD =， 故//,IM BE IM BE =即四边形IEBM 为平行四边形，
故//IE BM ，因为IE ⊂平面1A DE ，BM ⊄平面1A DE ，故//MB 平面1A DE ， 故C 正确．
故选：CD.
【点睛】
本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.
5．如图，线段AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，//EF AB ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，且2AB =，1EF AD ==，则下述正确的是（ ）
A ．//OF 平面BCE
B ．BF ⊥平面ADF
C ．点A 到平面CDFE 的距离为
217
D ．三棱锥C BEF -5π 【答案】ABC 【分析】
由1EF OB ==，//EF OB ，易证//OF 平面BCE ，A 正确；
B ， 由所矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直， 易证AD ⊥平面ABEF ，所以
AD BF ⊥，由线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，易证故B 正确.
C ，由C DAF A CDF V V --=可求点A 到平面CDFE 的距离为
21
7
，C 正确. D ，确定线段DB 的中点M 是三棱锥C BEF -外接球心，进一步可求其体积，可判断D 错误. 【详解】
解：1EF OB ==，//EF OB ，四边形OFEB 为平行四边形，所以//OF BE ，
OF ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以//OF 平面BCE ，故A 正确.
线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，
矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，平面ABCD 平面ABEF AB =，AD ⊂平
面
ABCD ，所以AD ⊥平面ABEF ，BF ⊂平面ABEF ，所以AD BF ⊥
AD ⊂平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，AD
AF A =，
所以BF ⊥平面ADF ，故B 正确.
1OF OE EF ===，OFE △是正三角形，所以1EF BE AF ===， //DA BC ，所以BC ⊥平面ABEF ，BC BF ⊥，
3BF =，22312CF CB BF =+=+=，
22112DF DA AF =+=+=，
2AB CD ==，CDF 是等腰三角形，CDF 的边DF 上的高
2
2
22
2142222DF CF ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 1147
2222
CDF S =⨯⨯=
△， //DA BC ，AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ， //BC 平面ADF ，点C 到平面ADF 的距离为3BF =，
11
1122
DAF S =⨯⨯=△，C DAF A CDF V V --=，
设点A 到平面CDFE 的距离为h ，
11
33ADF CFD S FB S h ⨯⨯=⨯⨯△△，111733232
h ⨯⨯=⨯⨯， 所以21
7
h =
，故C 正确. 取DB 的中点M ，则//MO AD ，1
2
MO =
，所以MO ⊥平面CDFE ，
所以2
15122ME MF MB MC ⎛⎫====+= ⎪⎝⎭
所以M 是三棱锥C BEF -外接球的球心，其半径
5
2
， 三棱锥C BEF -外接球的体积为3
344
5553326V r πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
，故D 错误， 故选：ABC. 【点睛】
综合考查线面平行与垂直的判断，求点面距离以及三棱锥的外接球的体积求法，难题.
6．已知棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -，过对角线1BD 作平面
α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，以下结论正确的是（ ） A ．四边形1BFD E 不一定是平行四边形 B ．平面α分正方体所得两部分的体积相等 C ．平面α与平面1DBB 不可能垂直 D ．四边形1BFD E 面积的最大值为2 【答案】BD 【分析】
由平行平面的性质可判断A 错误;利用正方体的对称性可判断B 正确;当E ､F 为棱中点时,通过线面垂直可得面面垂直,可判断C 错误;当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积最大,且最大值为2,可判断D 正确. 【详解】 如图所示,
对于选项A,因为平面1111//ABB A CC D D ,平面1BFD E 平面11ABB A BE =,平面1BFD E
平
面111CC D D D F =,
所以1//BE D F ,同理可证1//D E BF ,所以四边形1BFD E 是平行四边形,故A 错误; 对于选项B,由正方体的对称性可知,平面α分正方体所得两部分的体积相等,故B 正确; 对于选项C,在正方体1111ABCD A BC D -中,有1,AC BD AC BB ⊥⊥, 又1BD BB B ⋂=,所以AC ⊥平面1BB D ,
当E ､F 分别为棱11,AA CC 的中点时,
有//AC EF ,则EF ⊥平面1BB D ,
又因为EF ⊂平面1BFD E ,
所以平面1BFD E ⊥平面1BB D ,故C 错误;
对于选项D,四边形1BFD E 在平面ABCD 内的投影是正方形ABCD ,
当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积有最大值, 此时1212S D E BE =⋅=⋅=,故D 正确;
故选:BD.
【点睛】
本题考查了正方体的几何性质与应用问题,也考查了点线面的位置关系应用问题,属于中档题.
7．如图，已知矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆，若M 为线段1AC 的中点，则ADE ∆在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A ．线段BM 的长是定值
B ．存在某个位置，使1DE A
C ⊥
C ．点M 的运动轨迹是一个圆
D ．存在某个位置，使MB ⊥平面1A DE
【答案】AC
【分析】
取CD 中点F ，连接BF ，MF ，根据面面平行的判定定理可得平面//BMF 平面1A DE ，由面面平行的性质定理可知//BM 平面1A DE ，可判断D ；在BFM ∆中，利用余弦定理可求得BM a =为定值，可判断A 和C ；假设1DE AC ⊥，由线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面1
ACE ，由线面垂直的性质定理可知1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾，可判断B ．
【详解】
解：取CD 的中点F ，连接BF ，MF ，
∵M ，F 分别为1AC 、CD 中点，
∴1MF A D ∥，
∵1A D ⊂平面1A DE ，MF ⊄平面1A DE ，
∴MF 平面1A DE ，
∵DF BE ∥且DF BE =，
∴四边形BEDF 为平行四边形，
∴BF DE ，
∵DE ⊂平面1A DE ，BF ⊄平面1A DE ，
∴BF ∥平面1A DE ，
又BF MF F =，BF 、MF ⊂平面BMF ，
∴平面//BMF 平面1A DE ，
∵BM ⊂平面BMF ，
∴BM ∥平面1A DE ，即D 错误，
设22AB AD a ==， 则112MF A D a =
=，2BF DE a ==，145A DE MFB ︒∠=∠=， ∴222cos45BM MF BF MF BF a ︒=+-⋅⋅=，
即BM 为定值，所以A 正确，
∴点M 的轨迹是以B 为圆心，a 为半径的圆，即C 正确， ∵2DE CE a ==，2CD AB a ==，
∴222DE CE CD +=，
∴DE CE ⊥，
设1DE AC ⊥，
∵1AC 、CE ⊂平面1ACE ，1
AC CE C =，
∴DE ⊥平面1
ACE ， ∵1A E ⊂平面1
ACE ， ∴1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾，
所以假设不成立，即B 错误.
故选:AC .
【点睛】
本题考查立体几何中的翻折问题，涉及到线段长度的求解、直线与平面位置关系的判定、点的轨迹的求解、反证法的应用等知识点，考查学生的空间立体感和推理论证能力．
8．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）
A ．存在某个位置，使得CN A
B ⊥
B ．翻折过程中，CN 的长是定值
C ．若AB BM =，则1AM B
D ⊥
D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π
【答案】BD
【分析】
对于选项A ，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结KN ，BK ，通过假设CN AB ⊥，推出
AB ⊥平面BCNK ，得到AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =
+>，即可判断；
对于选项B ，在判断A 的图基础上，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，易得
1NEC MAB ∠=∠，由余弦定理，求得CN 为定值即可；
对于选项C ，取AM 中点O ，1B O ，DO ，由线面平行的性质定理导出矛盾，即可判断； 对于选项D ，易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大，说明此时AD 中点E 为外接球球心即可.
【详解】
如图1，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，KN ，BK ,
则易知1//NE AB ，1//NF B M ，//EF AM ，//KN AD ，112NE AB =，EC AM = 由翻折可知，1MAB MAB ∠=∠，1AB AB =， 对于选项A ，易得//KN BC ，则K 、N 、C 、B 四点共面，由题可知AB BC ⊥，若CN AB ⊥，可得AB ⊥平面BCNK ，故AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =+>，不可能，故A 错误；
对于选项B ，易得1NEC MAB ∠=∠，
在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠， 整理得2
22212422
AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+， 故CN 为定值，故B 正确； 如图2，取AD 中点E ，取AM 中点O ，连结1B E ，OE ，1B O ，DO ，，
对于选项C ，由AB BM =得1B O AM ⊥，若1AM B D ⊥，易得AM ⊥平面1B OD ，故有AM OD ⊥，从而AD MD =，显然不可能，故C 错误；
对于选项D ，由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得122
BO =，2DM =22
2211221
22B E OB OE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此
1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1，表面积为4π，故D 正确.
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查了立体几何中的翻折问题以及空间图形的位置关系，考查了空间想象能力，属于较难题.。