圆锥曲线中关于四点共圆的几个定理

圆锥曲线中关于“四点共圆”的几个定理
浙江省海盐元济高级中学（314300） 崔宝法
四点共圆在平面几何里是研究的重点之一，但在平面解析几何里，较少涉及与圆锥曲线有关的四点共圆问题。

笔者经过研究后发现，在圆锥曲线中也有一些关于四点共圆的定理。

下面列出其中几个，并给出证明。

定理1 若椭圆的两条相交弦与长轴成等角,则两弦的四个端点共圆.
证明：如图1,设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>,
相交弦AB CD 、与长轴所成的角12∠=∠,则AB CD k k =-.
设直线AB 的方程为10mx ny l ++=,
则CD 的方程为20mx ny l -+=.
因为A B C D 、、、是椭圆2
2
2
2
22
0b x a y a b +-=与
两直线AB CD 、的交点，所以可设过A B C D 、、、四点的二次曲线系方程为:
22222212()()()0mx ny l mx ny l b x a y a b λ++-+++-=（λ为参数）,
整理,得 22222222
122112()()()()0b m x a n y m l l x n l l y l l a b λλλ++-+++-+-=.
令2
2
b m λ+=2
2
0a n λ-≠,∵a b ≠，∴可解得22
22
m n a b λ+=-,由此可知存在
22
22m n a b
λ+=-,使得此二次曲线表示一个圆，即一定存在一个圆能经过A B C D 、、、四点.
所以A B C D 、、、四点共圆。

定理2 若一个三角形三边所在的直线都与抛物线相切，则这个三角形的三个顶点与抛物线的焦点共圆。

证明：如图2，设抛物线线方程为2
4(0)y ax a =>，焦点为(,0)F a ，ABC ∆的三
边所在直线AC 、AB 、BC 分别与此抛物线切于点2
(,2)(1,2,3)i i i P at at i =,则三边所在
切线的方程为
2
242
i i x at at y a +=⋅
,即
20i i x t y at -+=(1,2,3)i =.
当0(1,2,3)i t i ≠=时，令tan i i t α=，则有
1212
11tan 11t t BAC t t -∠=+21121t t
t t -=+21tan()αα=-.
又因为可解得点B 、C 的坐标为2323(,())at t a t t +、1313(,())at t a t t +， 所以32323232
()1BF a t t t t
k at t a t t ++=
=---32tan()αα=-+32tan()αα=--,
同理,CF k =13tan()αα--，tan 1BF CF
BF CF
k k BFC k k -∴∠=
+
32133213tan()tan()
1tan()tan()
αααααααα-----=
+----321312tan()tan()αααααα=--++=-.
2112tan tan tan()tan()0BAC BFC αααα∴∠+∠=-+-=,
即BAC ∠与BFC ∠互补,故A 、B 、C 、F 四点共圆.
当(1,2,3)i t i =中有一个为0（即有一边切于原点）时，不妨设30t =，则
120t t 、均不为，此时切线BC ：0x =与切线AC 、AB 的交点分别为1(0,)B at 、
2(0,)C at ，故1
1BF at k t a
=
=--，1111,BF AB k k t t ∴⋅=-⋅=-从而有AB BF ⊥.
同理有AC CF ⊥，因此，四边形ABFC 对角互补，故A 、B 、C 、F 四点共圆.
定理3 若双曲线上任一点（异于顶点）处的切线交两渐近线于两点,法线交两坐标轴于两点,则这四点共圆,且此圆过双曲线中心.
证明：如图3，设双曲线22
221x y a b
-=上任意一点的坐标为(sec ,tan )M a b θθ，则过
点M 的切线方程为
sin cos x y
a b θθ-=, 它与渐近线b y x a =±的交点为cos cos (,)1sin 1sin a b A θθ
θθ
-++、
cos cos (,)1sin 1sin a b B θθθθ
--.易知点M 处的法线方程为 22sin ()tan ax by a b θθ+=+,它分别与x 轴、y 轴交于
2
(sec ,0)c C a θ、2(0,tan )c D b θ.
2222cos cos (1sin )AD
ab k a c θθθ∴=--, 2222cos (1sin )
cos AC a c k ab θθθ
-+-=, 从而1AD AC k k ⋅=-,0
90CAD ∴∠=.
同理， 0
90CBD ∠=,
A ∴、
B 都在以CD 为直径的圆上，即A 、B 、
C 、
D 四点共圆.
又
090COD ∠=，∴点O 也在以CD 为直径的圆上，即此圆经过双曲线的中心.
定理4 若椭圆上任意一点（异于长轴端点）处的切线与长轴两端点处的两条切线相交，则所得的两个交点和椭圆的两个焦点共圆。

证明：如图4，设椭圆方程为cos (0,)sin x a a b y b θ
θθ=⎧>>⎨=⎩
为参数，则过椭圆上任意一
点(cos ,sin )P a b θθ的切线的方程为
cos sin 1x y a b θθ+=，它与y 轴交于(0,)sin b
C θ
， 与长轴两端点处的两切线2
2
0x a -=交于
T (1cos )(,
)sin b a θθ-、T '(1cos )
(,)sin b a θθ
+-.
22
222(
)csc sin b CF c c b θθ
'=+=+，
22
222(
)csc sin b CF c c b θθ
=+=+ 而
222221cos ()cot 2sin b TT a a b θθθ
'=+=+ 2222222csc csc a b b c b θθ=-+=+，
1
2
CF CF TT ''∴==
，∴F 、F '都在以TT '为直径的圆上， 故T 、T '、F 、F '四点共圆.
定理5 若椭圆上任意一点（异于顶点）处的切线和法线都与短轴所在直线相交，则所得的两个交点与椭圆的两个焦点共圆。

证明：如图5，设椭圆方程为
22
22
1(0)x y a b a b +=>>, 其上任意一点为(cos ,sin )P a b θθ，则P 点处的切线 方程为cos sin 0bx ay ab θθ+-=,法线方程为
22cos sin ax by
a b θθ
-=-,故它们与短轴所在直线的交点 分别为(0,)sin b
T θ
、2(0,sin )c S b θ-.
从而直线22FT F S 、斜率之积为 22()(sin )1sin F T F S b c
k k c b
θθ⋅=-
⋅=-, ∴焦点2F 对ST 张直角.同理, 焦点1F 对ST 也张直角.
∴1F 、2F 都在以ST 为直径的圆上,即1F 、2F 、S 、T 四点共圆.
定理6 若双曲线上任意一点（异于顶点）处的切线与实轴两端点处的两条切线相交，则所得的两个交点与双曲线的两个焦点共圆。

证明：如图6， 设00(,)P x y 为双曲线22
221x y a b
-=上的
任意一点，则过点P 的切线为
00221x x y y
a b
-=，它与过顶点的两切线x a =±相交于点200()
(,)b x a M a ay -、
200
()
(,)b x a N a ay +--，
又因为两切线x a =±平行且关于y 轴对称，所以切线
00221x x y y a b -=与y 轴的交点2
(0,)b Q y -是MN 的中点， 故2
2
2
2
000()b x a b QM QN a ay y ⎡⎤-==++⎢⎥⎣
⎦=4220220b x a a y +22222222
0(b a b a y a a y +=+） 42
2
20b a b y =++.又因为QF QF '==22220()()b a b y ++422
20
b a b y =++，
QM QN QF QF '∴===，即M 、N 、F 、F '四点都在以Q 为圆心的圆上.
定理7 若双曲线上任意一点(异于顶点)处的切线和法线都与双曲线虚轴所在直线相交，则所得的两个交点与双曲线的两个焦点共圆.
证明：如图7，设双曲线方程为22
221x y a b
-=，焦点为
(,0)F c ，则其上任意一点00(,)P x y 处的切线与法线方程分别
为
00221x x y y
a b
-=和 000000
2222y x x y x y x y b a b a
+=+，它们与虚轴的交点分别 为2
(0,)b A y -、202(0,)y c B b ，
故 20201AF BF
y c
b k k y
c b
-⋅=⋅=-，∴AF BF ⊥，即090BFA ∠=. 又易知F AB FAB '∆≅∆，∴0
90BF A BFA '∠=∠=，∴F 、F '都在以AB 为直径的圆
上，即A、B、F、F 四点共圆.
值得指出的是,上述的定理4与定理6、定理5与定理7相对于椭圆和双曲线来说是对偶的，这也反映了椭圆与双曲线虽然在形状上有很大的差异，但同为圆锥曲线中的有心曲线，它们仍有许多类似的性质，因此我们在研究它们的有关性质时常可以作类比思考。