函数y=Asin 的图象

函数)sin(ϕω+=x A y 的图象
➢ 教学重点：
1．用“五点法”画函数)sin(ϕω+=x A y 的简图． 2．在函数式中，ϕω,,A 三个参数的名称、作用．
3．函数)sin(ϕω+=x A y 的图象可以通过怎样的方法从正弦曲线逐步变化而得到，
ϕω,,A 三个参数对图象有什么影响．
➢ 教学难点：
当1≠ω时，弄清函数)sin(1111ϕω+=x A y ，)sin(2222ϕω+=x A y 的图象的关系．
➢ 教学方法：探究式教学．
➢ 教学过程： 一、新课引入
在前面的学习中，我们曾陆陆续续接触过函数)sin(ϕω+=x A y 的图象与一些简单的
性质，但还没有系统学习过，可能许多同学还是觉得十分模糊，从今天开始，我们将一起来系统地研究这种函数的图象与性质，按照我们解决问题的一般模式，先从简单的开始．
二、作三种非标准正弦函数的图象 （一）函数R x x A y ∈=,sin 的图象
例1 ．画出函数R x x y ∈=,sin 2，R x x y ∈=
,sin 2
1
的简图． 说明：1．这两个函数的周期均为2π，我们只需作出函数在[0，2π]上的图象，然后根据周期性将它们的图象分别向左、右扩充便可得到函数的简图．
2．教师用“五点法”在同一坐标系中画出两个函数（及R x x y ∈=,sin ）的图象，由学生观察它们的图象与R x x y ∈=,sin 的图象有什么关系（扩充从略）．
3．由函数图象知，对于同一个x 值，函数]2,0[,sin 2π∈=x x y 的图象的点的纵坐标等于函数]2,0[,sin π∈=x x y 的图象上的点的纵坐标的2倍．因此，函数R x x y ∈=,sin 2的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到的．从而函数R x x y ∈=,sin 2的值域为[-2，2]，最大值为2，最小值为-2．
4．同理，函数R x x y ∈=,sin 2
1
的图象可以看作怎么得到的？值域为多少？最大值、最小值分别为多少？
5．请同学们根据以上结论画出函数R x x y ∈=,sin 3，R x x y ∈=
,sin 3
1
的图象． 6．一般地，函数R x x A y ∈=,sin （其中A>0且A ≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0<A<1时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到．函数R x x A y ∈=,sin 的值域是[-A ，A]，最大值是A ，最小值是-A ．（电脑显示） （二）函数R x x y ∈=,sin ω的图象
例2 ．画出函数R x x y ∈=,2sin ，R x x y ∈=,2
1
sin
的简图． 说明：1．对于函数R x x y ∈=,2sin ，它的周期分别为π，因此，只需作出函数在[0，π]上的图象，然后根据周期性将它的图象分别向左、右扩充便可得到函数的简图．
2．教师用“五点法”作出函数],0[,2sin π∈=x x y 的图象（列表），经过学生短暂思
考后，显示函数]4,0[,2
1
sin
π∈=x x y （扩充从略）．
3．由图象知，函数],0[,2sin π∈=x x y 的图象上，横坐标为
]),0[(2
00
π∈x x 的点的纵坐标，同正弦曲线上横坐标为0x 的点的纵坐标相等（如，当2
0π
=
x 时，=⋅
)2
2sin(0
x 12
sin
sin 0==π
x ）
，因此，函数R x x y ∈=,2sin 的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的2
1
倍（纵坐标不变）而得到的． 4．同理，函数R x x y ∈=,2
1
sin 的图象可看作由正弦曲线如何变化而来？
5．请同学们根据以上结论想象一下函数R x x y ∈=,3sin ，R x x y ∈=,3
1
sin 的图象．
6．一般地，函数R x x y ∈=,sin ω（其中0>ω且1≠ω）的图象，可以看作把正弦
曲线上所有点的横坐标缩短（当1>ω时）或伸长（当10<<ω时）到原来的ω
1
倍（纵坐标不变）而得到的．
（三）函数R x x y ∈+=),sin(ϕ的图象
例3．画出函数R x x y ∈+
=),3sin(π
，R x x y ∈-=),4
sin(π
的简图． 说明：1．由学生口答后，计算机显示．
2．一般地，函数R x x y ∈+=),sin(ϕ的图象（其中0≠ϕ）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当0>ϕ时）或向右（当0<ϕ时）平行移动ϕ个单位长度而得到．
三、函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω的图象
例4．画出函数R x x y ∈+
=),3
2sin(3π
的简图．
说明：1．此函数的周期为π，老规矩，我们先画出它在长度为一个周期的闭区间上的简图．
2．用“五点法”作该函数的图象，应找哪五个点？（列表，描点，作图，扩充从略） 3．请同学们用“五点法”作出函数R x x y ∈+=),6
3sin(2π
的简图．
4．观察例4图象，说明函数R x x y ∈+=),3
2sin(3π
的图象可以由正弦曲线经过怎样
的变换得到？（教师指着图象解释）
四、参数ϕω,,A 的意义
同学们在物理中学过简谐振动，函数[)+∞∈+=,0),sin(x x A y ϕω（注意定义域）表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复振动一次所需的时间ω
π
2=
T 称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数
π
ω
21=
=
T f ，称为振动的频率；ϕω+x 称为相位；x=0时的相位，即ϕ称为初相．
五、图象题
用五点法作出函数)5
2cos(3π
+
=x y 在一个周期内的图象．
说明：1．用五点法师生共解（列表，描点，连线），并口答：定义域、值域、周期、振幅、频率、初相——巩固旧知．
2．提问：此函数图象如何由函数x y cos =的图象变化而来．
3．上述问题由学生回答，教师进一步提问：如果先变周期，后变相位，图象会一样吗？要使图象一样，相位应变多少？
4．总结：函数的各种变换，都是对自变量x 或函数值y （振幅变换）进行的变换． 5．口答：如何由正弦曲线得出函数3)6
5sin(2++=π
x y 的图象．
（流程图表示） 6．反之，如何由函数3)6
5sin(2++=π
x y 的图象得出正弦曲线．
六、性质题
1．求上述函数的定义域、值域、振幅、周期、频率、初相． 2．求上述函数图象的对称轴方程． 3．求此函数的单调区间． 说明：以整体思想来考虑，将6
5π+x 看作一个整体．
七、课堂练习
1． 电流i （单位：安培）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是
[)+∞∈=,0,sin t t i i m ω
设A i s rrad m 5,/100==πω（安培）
（1） 求电流i 变化的周期与频率； （2） 当50
1
,2003,1001,2001,
0=t （单位：s ）时，求电流I ； （3） 画出电流i 随时间t 变化的函数的图象（以i 为纵坐标，1cm 表示2A ；以
t 为横坐标，1cm 表示
200
1
s ）． 答案：t i π100sin 5= （1）周期为
50
1
，频率为50； （2）0，5，0，-5，0； （3）略． 2． 若函数)20,0,0(),sin(πϕωϕω<<>>+=A x A y 的最小值为-2，周期为
3
2π，且它的图象过点（0，-2），求此函数的表达式． 答案：)453sin(2π+
=x y 或)4
73sin(2π
+=x y 3． 已知函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象 如图所示，求其解析式．
说明：（1）解法一：按如下顺序求A →T →ω→x 1→φ．
（2）解法二：利用最值代入解析式，将问题转化为求解方程组． （3）答案：)3
2sin(2π
+
=x y ．
（4）求上述函数的对称轴方程，单调区间．
八、作业补充
1．已知函数1cos sin 2
3
cos 212++=
x x x y ，该函数图象可由正弦曲线经过怎样的平移和伸缩变换得到？
2．用两种方法将函数x y sin =的图象变换到)5
33sin(21π
-=x y 的图象．。