山西省阳高县第一中学高中数学必修4 第三章复习学案3

第三章复习
编者：王飞审核人：贾成
题型一灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用
给值求值的重要思想是沟通已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换
时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·α
2
，α＝(α＋β)－
β，α＝β－(β－α)，α＝1
2
[(α＋β)＋(α－β)]，β＝
1
2
[(α＋β)－(α－
β)]等．
例1 已知α、β为锐角，cosα＝4
5
，tan(α－β)＝－
1
3
，求cosβ的值．
解
跟踪训练1 已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17
，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
解
题型二 整体换元的思想在三角恒等变换中的应用
在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来(如例2令sin x －cos x ＝t )．
例2 求函数y ＝sin x ＋sin2x －cos x (x ∈R )的值域．
解
跟踪训练2 求函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，x ∈R 的最值及取到最值
时x 的值．
解
题型三 转化与化归的思想在三角恒等变换中的应用
三角函数式的化简就是通过恒等变换化繁为简．其中切化弦、异名化同名、异角化同角等方法均为转化与化归思想的运用；三角恒等式的证明就是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简，左右归一或变更论证，也属转化与化归思想的应用．
例3 求证：tan 32x －tan x 2＝2sin x cos x ＋cos2x
. 证明
跟踪训练3 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，17π12
<x <7π4，求sin2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值． 解
题型四构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用
方程(组)思想是中学重要的思想方法之一．借助三角函数公式构建关于某些量的方程(组)来求解，也是三角求值中常用的方法之一．
例4 已知锐角三角形ABC中，sin(A＋B)＝3
5
，sin(A－B)＝
1
5
.
(1)求证：tan A＝2tan B.
(2)设AB＝3，求AB边上的高．
跟踪训练4 已知向量m＝(cosθ，sinθ)和n＝(2－sinθ，cosθ)，θ∈(π，
2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2
＋π8的值． 解。