19年高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角形 4.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 文 新人教A版

②由图象变换来确定，由 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＝Asin ωx＋ωφ 知，“五点法”中的第一个点－ωφ ，0就是由原点平移而来的， 可从图中读出此点横坐标等于－ωφ ，即可得到 φ 值．
(1)[教材习题改编]已知简谐运动的函数 f(x)＝2sinπ3x＋φ
＝1＋12＋－12＋(－1)＋－12＋12，
∴2n0＝117fn6π＝fπ6＝1，故选 C.
(2)已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的最大值为
4，最小值为 0，最小正周期为π2，直线 x＝π3是其图象的一条
对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( D )
§4.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
考纲展示► 1.了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出 y＝Asin(ωx ＋φ)的图象，了解参数 A，ω，φ 对函数图象变化的影响． 2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用 三角函数解决一些简单的实际问题．
考点 1 函数 y＝Asin(ωx＋φ) 的图象及变换
解析：根据函数图象变换法则可得.
(2)[教材习题改编]为了得到函数 y＝2sinx－3π的图象， 只要把函数 y＝2sinx＋π6的图象上所有的点( C )
A．向右平移π6个单位长度 B．向左平移π6个单位长度 C．向右平移2π个单位长度 D．向左平移π2个单位长度
图象变换的两个误区：平移变换；伸缩变换．
(2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸
长到原来的 2 倍，然后再将整个图象沿 x 轴向左平移π2个单位长 度，得到的曲线与 y＝12sin x 的图象相同，则 f(x)＝－__12_c_o_s_2_x_.
[解析] 把 y＝12sin x 的图象向右平移π2个单位长度得到的图 象对应的函数解析式为 y＝12sinx－π2，将所得图象上各点的纵坐 标保持不变，横坐标缩短到原来的12得到的图象对应的函数解析 式为 y＝12sin2x－π2＝－12cos 2x，故 f(x)＝－12cos 2x.
[解析] 因为 y＝cos2x－4π ＝cosπ4－2x＝sinπ2－π4－2x ＝sin2x＋π4＝sin 2x＋π8， 所以要得到函数 y＝cos2x－π4的图象，可将函数 y＝sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度，故选 A.
解析：把横坐标缩短，周期变小，则 ω 应变大，故应得到 函数 y＝sin 2x 的图象．
注意：由于对伸缩变换理解不到位，本题易得到错误答案是 y＝sin12x.
[典题 1] (1)要得到函数 y＝cos2x－π4的图象，可由函 数 y＝sin 2x( A )
A．向左平移π8个单位长度 B．向右平移8π个单位长度 C．向左平移4π个单位长度 D．向右平移π4个单位长度
|φ|<π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的初相
φ
π 为____6____．
解析：因为该函数图象经过点(0,1)，所以将点(0,1)的坐
标代入函数表达式可得 2sin φ＝1，即 sin φ＝12.因为|φ|<2π，所
以 φ＝π6.
(2)[教材习题改编]电流 I(单位：A)随时间 t(单位：s)变化的 函数关系是 I＝5sin100πt＋π3，t∈[0，＋∞)．则电流 I 变化的初 相、周期分别是__π3_，__51_0__．
特别地，当 b＝0 时，A＝__M_＝__－__m_.
(2)ω 由周期 T 确定，即由2ωπ＝T 求出．常用的确定 T 值的方 T
法如下：①曲线与 x 轴的相邻两个交点之间的距离为____2____；
T
②最高点和与其相邻的最低点横坐标之间的距离为____2____；③
相邻的两个最低点(最高点)之间的距离为 T；④有时还可以从图
[典题 1] (1)[2017·河南安阳模拟] 函数 f(x)＝sin(ωx＋

φ)ω>0，|φ

|<
π2的部分图象如图，则
2n0＝117fn6π＝(
C
)
A．－12
B．0
C．1
3 D.2
[解析] 由题图可知， T4＝51π2－π6＝π4，即 T＝π， ∴ω＝2Tπ＝2. 由 fπ6＝1，即 sinπ3＋φ＝1，得 π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z， ∴φ＝2kπ＋π6，k∈Z，
象．
注意：这里的向右平移π6个单位长度，指的是 x－6π，而不是 2x－π6，否则本题易错误地认为应该将函数 y＝sin2x＋π3的图象 向右平移π3个单位长度．
(2)把函数 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12 (纵坐标不变)，得到函数__y_＝__s_in__2_x_的图象．
A．y＝4sin4x＋π6 C．y＝2sin4x＋3π＋2
B．y＝2sin2x＋π3＋2 D．y＝2sin4x＋π6＋2
[解析] 由函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的最大值为 4，最小值为 0 可知，b＝2，A＝2.
由函数的最小正周期为π2可知，2ωπ＝π2，得 ω＝4. 由直线 x＝π3是其图象的一条对称轴可知，4×3π＋φ＝kπ＋π2， k∈Z，从而 φ＝kπ－56π，k∈Z. 故满足题意的解析式是 y＝2sin4x＋π6＋2.
A，ω 的符号对函数 y＝Asin(ωx＋φ)单调性的影响：A 的符号； ω 的符号．
(1) 函数 y＝－2sin3x＋π4＋1 的单调递增区间是 ________23_k_π_＋__1π2_， __23_k_π_＋__51_π2__(_k_∈__Z_) ______．
[点石成金] 三角函数的图象变换法应用规律 函数 y＝sin x 的图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤 如下：
注意：由 y＝sin x 的图象变换到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两 种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ| 个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|ωφ| (ω>0)个单位长度，原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而 言，即 x 本身加减多少值，而不是 ωx 加减多少值．
考点 2 求函数 y＝Asin(ωx＋φ) 的解析式
求函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的解析式是常见问题， 一般和函数周期、最值及图象变换相结合．由图象(或性质)求三 角函数解析式的方法：
(1)在一个周期内(或者从最高点到相邻的最低点，即半个周
M－m
M＋m
期内)，若最大值为 M，最小值为 m，则 A＝____2____，b＝____2____.
(2)函数 y＝sin(－2x)的单调递减区间是 ___－__π4_＋__k_π_，__4π_＋__k_π__(k_∈__Z__) __.
解析：y＝sin(－2x)＝－sin 2x，它的图象和函数 y＝sin 2x 的图象关于 x 轴对称，单调性正好相反．由－π2＋2kπ≤2x≤2π＋ 2kπ(k∈Z)，得－π4＋kπ≤x≤4π＋kπ(k∈Z)，故所求函数的单调递 减区间为－π4＋kπ，4π＋kπ(k∈Z)．
中读出T4或者34T的长度来确定 ω.
(3)φ 的确定有两种途径： ①由特殊点确定，可以利用最高点或最低点，也可以利用零 点．利用零点时，通常把“五点法”中的第一个点(x0,0)(初始点) 作为突破口，从图象的升降情况找准第一个点的位置，图象上升 时与 x 轴的交点为“第一点”，可得等式 ωx0＋φ＝2kπ(k∈Z)．而 图象下降时与 x 轴的交点(x0,0)为“第三点”，等式为 ωx0＋φ＝π ＋2kπ(k∈Z)．再由已知条件中 φ 的具体范围确定相应的 φ 值．
解析：函数 y＝－2sin3x＋π4＋1 的单调递增区间即为函数 y ＝2sin3x＋π4＋1 的单调递减区间．
由于函数 y＝sin x 的单调递减区间为2kπ＋π2，2kπ＋32π(k∈ Z)，
所以由 2kπ＋2π≤3x＋π4≤2kπ＋32π(k∈Z)，得
23kπ＋1π2≤x≤23kπ＋51π2(k∈Z)． 故所求函数的单调递增区间为23kπ＋1π2，23kπ＋152π(k∈Z)．
[点石成金] 解决 y＝Asin(ωx＋φ)图象问题的方法 (1)五点作图法 五点作图法就是在求解三角函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的图象 的基本变换应用问题时，利用三角函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的 “五点”来解决有关三角函数图象问题的一种方法．由图象及五 点作图法中的“五点”确定 ω 的值，由三角函数的图象确定“某 一点”是三角函数五点作图法中“五点”的第几点，进而建立关 于 φ 的关系式． 适合题型：已知函数的解析式作函数的图象．
又|φ|<π2，∴φ＝6π， 则 f(x)＝sin2x＋π6. ∴fn6π＝sinn3π＋π6， 易知 fn6π＝fn＋66π， 又 2 017＝6×336＋1， 而 fπ6＋f26π＋f36π＋f46π＋f56π＋f66π
π
3π 2
2π
0 1 0 －1 0
y＝2sin2x＋3π
0
2 0 －2 0
②解法一：把 y＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位， 得到 y＝sinx＋π3的图象；再把 y＝sinx＋π3的图象上的点的横坐 标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到 y＝sin2x＋π3的图象；最 后把 y＝sin2x＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标 不变)，即可得到 y＝2sin2x＋3π的图象．
(1)要得到函数 π
y＝sin
2x
的图象，只需把函数
y＝sin2x＋π3的
图象向右平移___6_____个单位长度．
解析：因为 y＝sin2x＋3π＝sin 2x＋π6，所以应把函数 y＝
sin2x＋π3的图象向右平移6π个单位长度，得到函数 y＝sin 2x 的图
＝2sinωx＋π3，
又∵T＝π，∴2ωπ＝π，即 ω＝2， ∴f(x)＝2sin2x＋π3. ①令 z＝2x＋π3，则 y＝2sin2x＋π3＝2sin z. 列表，并描点画出图象.
x
－π6
π 12
π 3
7π 5π 12 6
z y＝sin z
0
π 2
(3)设函数 f(x)＝sin ωx＋ 3cos ωx(ω＞0)的周期为 π.
①用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
②说明函数 f(x)的图象可由 y＝sin x 的图象经过怎样的变换
而得到．
[解] f(x)＝sin ωx＋ 3cos ωx
＝212sin
ωx＋
3 2 cos
ωx
关键点，如下表所示：
x
－ωφ
－ωφ ＋2πω
π－φ ω
23ωπ －ωφ
2π－φ ω
ωx＋φ
__0__
π 2
__π__
3π 2
__2_π___
y＝Asin(ωx＋(1)[教材习题改编]函数 y＝sin x 的图象上每个点的横坐标不 变，纵坐标伸长为原来的 2 倍得到函数____y＝__2_s_i_n_x____的图象．
1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，
ω>0)
振幅 A
周期
2π T＝__ω____
频率
f＝T1＝ ω 2π
相位 初相 _ω_x_＋__φ_ φ
2．用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个
解法二：将 y＝sin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来 的12倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin 2x 的图象；再将 y＝sin 2x 的图 象向左平移π6个单位，得到 y＝sin 2x＋π6＝sin2x＋π3的图象；
再将 y＝sin2x＋π3的图象上每一点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标保持不变)，得到 y＝2sin2x＋π3的图象．