新冀教版数学八年级上册同步练习：17.2 直角三角形

17.2直角三角形
知识点1直角三角形两锐角互余的性质
1．2018·百色在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，则∠B的度数为()
A．35°B．55°C．65°D．145°
2．如图17－2－1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则图中与∠A互余的角有()
A. 0个
B. 1个C．2个 D. 3个
图17－2－1 图17－2－2
3．如图17－2－2，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝38°，则∠A的度数为________．
4．直角三角形中两个锐角度数的比是12，则其两个锐角的度数分别是________，________．
5．如图17－2－3，在△ABC中，AD＝BD，AD⊥BC于点D，∠C＝55°，求∠BAC的度数．
图17－2－3
知识点 2 直角三角形的判定定理
6．有下列条件：①∠A ＋∠B ＝∠C ；②∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3；③∠A ＝90°－∠B ；④∠A ＝∠B ＝1
2
∠C .其中能确定△ABC 是直角三角形的条件有( )
A. 1个
B. 2个 C ．3个 D. 4个
7．如图17－2－4所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝∠BCD ，判断△ACD 的形状，并说明理由．
图17－2－4
8．在△ABC 中，∠C 与∠A 的差等于∠B . 求证：△ABC 为直角三角形．
知识点3直角三角形斜边上的中线的性质
9．2018·福建如图17－2－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，D为AB的中点，则CD＝________．
图17－2－5 图17－2－6
10．如图17－2－6，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，E为AC的中点，DE＝3，则AB的长度为()
A．4 B．5 C．5.5 D．6
11．如图17－2－7，直线a，b相交于点A，C，E分别是直线b，a上的点且BC⊥a于点B，DE⊥b于点D，M，N分别是EC，DB的中点．求证：MN⊥BD.
图17－2－7
知识点4含30 °角的直角三角形的性质
12．将一个等腰直角三角尺的直角顶点放在一张宽为3 cm的长方形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边与纸带的一边所在直线所成的锐角为30°，如图17－2－8，则三角尺的直角边的长为()
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
图17－2－8 图17－2－9
13．如图17－2－9，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝1.5 cm，则AB＝________cm.
14．等腰三角形的顶角为30°，一腰上的高为2 cm，则该三角形的面积是________．
15．如图17－2－10，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB 上，PM＝PN.若MN＝2，则OM的长为()
图17－2－10
A．3 B．4 C．5 D．6
16．教材习题A组第2题变式如图17－2－11，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE＝5，BC＝8，则△DEF的周长是()
A．21 B．18 C．13 D．15
图17－2－11 图17－2－12
17．2018·郴州 如图17－2－12，∠AOB ＝60°，以O 为圆心，任意长为半径作弧分别交OA ，OB 于点C ，D ；分别以C ，D 为圆心，大于1
2CD 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；
作射线OP ，在射线OP 上截取线段OM ＝6，则点M 到OB 的距离为( )
A ．6
B ．2
C ．3
D ．3 3
17．如图17－2－13，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，∠ACD ＝3∠BCD ，E 是斜边AB 的中点，则∠ECD 的度数为__________．
图17－2－13
19．如图17－2－14所示，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，D 是BC 上的一点，且AD ⊥AB ，E 是BD 的中点，连接AE .
求证：(1)∠AEC ＝∠C ；(2)BD ＝2AC .
图17－2－14
20．已知∠MAN，AC平分∠MAN，D为AM上一点，B为AN上一点．
(1)如图17－2－15①所示，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，试说明AB＋AD ＝AC；(2)如图②所示，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．
图17－2－15
教师详解详析
1．B[解析] 根据直角三角形的两锐角互余，得∠B＝90°－35°＝55°.
2．C[解析] ∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD ＝90°，∴与∠A互余的角有2个．故选C.
3．52°[解析] ∵∠BOD＝38°，∴∠AOC＝38°.∵AC⊥CD于点C，∴∠A＝90°－∠AOC＝90°－38°＝52°.
4．30°60°[解析] 设两锐角的度数分别为x°，2x°，则x＋2x＝90，解得x＝30，则2x＝60.
5．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵∠C＝55°，
∴∠CAD＝90°－∠C＝90°－55°＝35°.
∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝45°，
∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝45°＋35°＝80°.
6．D[解析] 因为根据三角形内角和定理可求出∠C＝90°，所以①可以确定；因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30°，60°，90°，所以②可以确定；因为由题意可得∠C＝90°，所以③可以确定；因为根据三角形内角和定理可求出∠C＝90°，所以④可以确定．故选D.
7．解：△ACD是直角三角形．
理由：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°.
又∵∠A＝∠BCD，
∴∠ACD＋∠A＝90°，
∴△ACD 是直角三角形(如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形)． 8．证明：由题意，得∠C －∠A ＝∠B ， ∴∠A ＋∠B ＝∠C .
∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， ∴2∠C ＝180°， ∴∠C ＝90°，
∴△ABC 为直角三角形． 9．3
10．D [解析] ∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ， ∴AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°. ∵E 为AC 的中点，∴DE ＝1
2AC ＝3，
∴AB ＝AC ＝6.
11．证明：∵BC ⊥a ，DE ⊥b ，M 是EC 的中点，
∴在Rt △EDC 中，DM ＝12EC ，在Rt △EBC 中，BM ＝1
2EC ，∴DM ＝BM .
∵N 是BD 的中点， ∴MN ⊥BD . 12．D 13.6
14．4 cm 2 [解析] 由已知可得，这个等腰三角形的腰长为4 cm ，于是可得这个三角形的面积为4 cm 2.
15．C [解析] 如图，过点P 作PH ⊥OB 交OB 于点H.
∵PH ⊥MN ，PM ＝PN ， ∴MH ＝NH. ∵MN ＝2， ∴MH ＝1.
在△OPH 中，∠O ＝60°，∠PHO ＝90°，OP ＝12， ∴∠OPH ＝30°， ∴OH ＝6，
∴OM ＝OH －MH ＝6－1＝5.
16．C [解析] ∵CD ⊥AB ，F 为BC 的中点， ∴DF ＝12BC ＝1
2×8＝4.
∵BE ⊥AC ，F 为BC 的中点，
∴EF ＝12BC ＝1
2
×8＝4，∴△DEF 的周长＝DE ＋EF ＋DF ＝5＋4＋4＝13.
17．C [解析] 如图，过点M 作ME ⊥OB 于点E ，由作图可知OP 是∠AOB 的平分线，则∠POB ＝12∠AOB ＝30°，∴ME ＝1
2
OM ＝3.
18．45°
19．证明：(1)∵AE 是Rt △BAD 的斜边BD 上的中线， ∴AE ＝EB ＝1
2BD ，
∴∠B ＝∠BAE.
又∵∠AEC ＝∠BAE ＋∠B ， ∴∠AEC ＝2∠B.
∵∠C ＝2∠B ，∴∠AEC ＝∠C. (2)由(1)知∠AEC ＝∠C ，∴AE ＝AC. ∵AE ＝1
2
BD ，
∴AC ＝1
2
BD ，即BD ＝2AC.
20．解：(1)∵AC 平分∠MAN ，∠MAN ＝120°， ∴∠CAB ＝∠CAD ＝60°. ∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°， ∴∠ACB ＝∠ACD ＝30°， ∴AB ＝AD ＝1
2AC ，
∴AB ＋AD ＝AC. (2)成立．
理由：方法一：如图①，过点C 分别作AM ，AN 的垂线，垂足分别为E ，F.
图①
∵AC平分∠MAN，
∴∠CAE＝∠CAF.
又∵∠CEA＝∠CFA，
∴∠ECA＝∠FCA.
又∵CE⊥AM，CF⊥AN，
∴CE＝CF.
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，
∠ADC＋∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠ABC.
又∵∠CED＝∠CFB＝90°，
∴△CED≌△CFB，
∴ED＝FB，
∴AB＋AD＝AF＋FB＋AE－ED＝AF＋AE.
同(1)理，得AF＋AE＝AC，
∴AB＋AD＝AC.
方法二：如图②，在AN上截取AG＝AC，连接CG.
图②
由题意，得∠MAC＝∠CAB＝60°.
∵AG＝AC，
∴∠AGC＝60°，CG＝AC＝AG. ∵∠ABC＋∠ADC＝180°，
∠ABC＋∠CBG＝180°，
∴∠CBG＝∠ADC.
又∵∠CAD＝∠CGB，
∴△CBG≌△CDA，∴BG＝AD，∴AB＋AD＝AB＋BG＝AG＝AC.。