卡方分布及其它分布

卡方分布
一、 卡方分布的定义：
若n 个相互独立的随机变量ξ1，ξ2，…，ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n 个服从标准正态分布的随机变量的平方和∑ξi∧2构成一新的随机变量，其分布规律称为χ2(n)分布（chi-square distribution ），其中参数 n 称为自由度。

二、 卡方分布的性质：:
（1） (可加性) 设i Y ~且相互独立，则,,,1,,2k i i
i n =λχ
,~2,1λχn k Y Y ++
这里.,∑∑==
i
i
n n λλ
（2） ,)(2
,λχλ+=n E n .42)(2
,λχλ+=n Var n 证明 （1）根据定义易得。

（2）设则依定义，
,~
2
,λχn Y 可表示为Y ,2
2121n n X X X Y +++=-
其中且相互独立，于是),1,(~,1,,1),1,0(~λN X n i N X n i -=
)
2(.
)()()
1(,
)()(1
21
2∑∑====n
i i n
i i X Var Y Var X E Y E
因为
⎩⎨
⎧+=+=,
1,1)()()(22λi i i X E X Var X E .,
1,,1n i n i =-=
代入（1），第一条结论可得证。

直接计算可得
.
36,1,,1,
3244
++=-==λλn i EX n i EX
于是
,1,,1,
213)()(2
242-==-=-=n i EX EX X Var i i i
.42)()(2
242λ+=-=n n n EX EX X Var
代入（2）便证明了第二条结论。

三、 卡方分布的概率密度函数：
()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥⎪
⎭⎫ ⎝⎛Γ=--，其他当00,221
21222x e x n x f x n n
x 数）。

现在来推导随机变，（相互独立且都服从设随机变量10n ,....1N X X
的分布。

2^.....2^2^1n X ++X =χ
()()()
2^x 2^x 2
1
^2
n ^n 21n 1n 1++-X X θ的密度函数为，
[
]()[]()
[]()[]()
()()x
x x d D X P P o z z X P P n σχ
χ2^2^2
1
-
2
n
2
n 21
2
2
n 2
121e n 21
z z z 0
z 0z ++⎰⎰
=+X
==++X =≤ 时，当时，当
其中Dx 为n 维x 空间内由不等式z x x n 2
2
1+所定的区域。

即，Dz 为n 维x 空间内以坐标原点为球心、z 为半径的球面所围成的区域（边界不在内）
可以利用极坐标来计算这积分。

令
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=-===-----11
112121211cos sin 2cos sin sin cos sin sin sin n n n n n n n r x r x r x r x θθ
θθθθθθθ
与这变换相应的函数行列式为：
()
()()()()()()()()()()Φ
==∂∂-1-n 111,,,,,r r
r r
r r r r x x n n
θθ 其中括号和Φ都表示1,,1-n θθ 的函数。

因此。

当z>0时，
[]()
()
C P z ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=⎰z 0dr r -1-n 2
n 22
r 21
z θπχ C 是常数。

为了定出C,在上述等式的两端令,∝+→r 得到
()
C dr r z r n n
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=
⎰∝+--012
2
21
1θπ 从而，
()
⎰
∝
+--=
2122dr
r C z
n n
θ
π
在分母内的积分中令μ=22
1
r ，即，用21
2μ=r 作代换，那么，这个积分等
于⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ==•-∝+------∝
+⎰⎰222212212
01212212
10
21-n n d d n
n n n n μθμμμθμ
μ
因此，()
⎪⎭
⎫ ⎝⎛Γ=
-22
212
2
n C n n
π
从而，当z>0时，
[
]()
⎰-
--⎪⎭
⎫
⎝⎛
Γ=
<x
z
n n d n z x P 0
2
1
12
2
22
1
γθγ
⎰-
--⎪⎭
⎫
⎝⎛Γ=
z
n
n d n 0
212
12
22
1νθνν
即，2χ的密度函数为
()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥⎪
⎭⎫ ⎝⎛Γ=--，其他当00,221
21222z e z n x f z n n
z 称这个密度函数所定的分布为自由度为n 的2χ分布，记作2
）（n χ。

它的图像如下：
图（一）2
χ分布密度函数图
四、卡方分布的累积分布函数为：
()()dx x f x F x k ⎰+∞
∞-=2
dx e x
n x n n
⎰
∞
+--⎪
⎭
⎫ ⎝⎛Γ=0
2
122
221
()()
()
22,2k x k x F k Γ=
γ，
其中γ(k,z)为不完全Gamma函数。

其图像如下：
分布的分布函数图
图（二）2
五、卡方分布的特征函数及其推导：
特征函数：ψ(t)
= f(x)dx
=dx
=
六、论证过程中的心得体会：
首先通过对卡方的研究和证明，提高了我们对数学的兴趣。

其次，通过这次的推导和搜索资料进行分析，大大提高了我们的独立思考的能力，我们当中很多同学之前都很害怕类似的证明题，这一次的合力解决难题使我们信心倍增。

当然同时，这个合作锻炼了我们团队合作的能力，分工合作解决问题，有的人负责收集资料，有点人负责推导公式，有的人负责输入文章，整理公式，等等。

这让大家明白了团结的力量。

做出合理的时间安排，做任何事情，合理的时间安排非常重要，多元课程设计也是一样，事先要做好一个规划，课程设计一共分5个板块（定义，性质，特征函数，密度函数，分布函数，心得体会）。

你每天要做完哪几个板块事先要确定好，这样做才会使自己游刃有余，保证在2周时间内内完成论文，以避免由于时间上的不妥，以致于最后无法完成论文。

另外，写论文的过程中也使我们对论文的格式有了一个了解，更规范更具
体，为以后的学业报告做了一次很好的准备。

论文属于科学性的文章，它有严格的书写格式规范，因此一篇好的论文一定要有正确的格式，论文格式错误就不能得到好成绩，因此我们写论文时要端正态度，注意书写格式。

多元课程的设计更加是丰富了我们的业余生活，让大家聚在一起讨论题目，其乐融融。

这样的课程设计也能使我们找到志同道合的朋友，发现生活中的点滴数学趣事，从实际出发思考题目，同时我们对计算机的知识也有了一定的加深，matlab 的使用等等。

学生t-分布可简称为t分布。

其推导由威廉·戈塞于1908年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。

因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student）这一笔名。

之后t检验以及相关理论经由罗纳德·费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布
由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为
t 变换t =
x
s u
x -，统计量t 值的分布称为t 分布。

t 分布的分布函数及证明
用);(n x T 表示n t 分布的分布函数，则
{
00)21,21(121)21,21(21);()2/(22)/(≤>⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+=++x x n I n I n x T x n x x n n 证明 根据分布函数的定义有
dy n y n B dy n y t n x T n x
x
2
/)1(2)1()
2
1,21(1);();(+-∞
-∞
-+•=
=⎰⎰
π
当0>x 时，上式为
212/)1(202/)1(20
)1()2
1,21(1)1()21,21(1);(A A dy n y n B dy n y n B n x T n x
n +=+++=
∧
+-+-∞
-⎰⎰
ππ
由于⎰
∞
∞
-=1);(dy n y t ，故立即可得2/11=A ，为了计算2A ，我们做变换)/(2
2
y n y t +=则
dt t t
dt ny y n dy 2
32
1
2
2)1(2
)2/()(-
-
-=
•+=π
，因此
dt t t
t n B dy n y n B A n x
n x n x
2
32
12
1
02/)1(202)1(2
)
1()2
1,21(1
)1()21,21(12
2
-
-
+++--•
-=+=⎰⎰π
ππ
)2
1,21(21)/(22n I x n x += 故)2
1
,21(2121);()/(2122n I A A n x T x n X ++=+=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=
+)21,21(121)/(22n I x n x 而当0≤x 时，我们有
⎰⎰⎰-∞-=-=-=x
x x
dy n y t dy n y t dy n y t n x T 0
0);(21
);(21);(1);(
然后利用刚刚的讨论可知
)2
1,21(21)21,21(2121);()/()/(222n I n I n x T x n n x n x ++=-=
综上所述便得我们所要的结论。

t 分布的密度函数及证明
设z ,ζ为相互独立随机变量，ζ服从正态z N ),1,0(服从自由度为n 的2
χ—分布，则t=n
z ζ
的密度函数为 21
2//
)
1()
2
()21
(
)()(+-+•Γ+Γ=
=n n
z t n x n n n x f x f πζ 称)(x f t 是自由度为n 的t —分布（或Student 分布）的密度函数， 证：首先，易知与
ζn
z 相互独立，事实上， .0),()(0)(0)(.0),()(}
{}{}{}{},{},{),(,
22,
时当时当<=•=•==>•=<•<=<•<=<<=<<=y x F x F x F x F
y y n
z
F
x F y n
z P x P ny z P x P ny z x P y n
z
x P y x F
n
z n
z
n
z
ζζζζζζζζζ
故得证.是相互独立的与n
z ζ（其实，由商的密度函数为
.)1()
2
()21
()()2()21
(2)()2()(,2,21)2()2(2)(.
)()()(212
2
1
2
20
2
1
22
2
22222
022222
222
2
2212
1+=+-∞+--∞∞∞-+Γ+Γ=
+Γ+Γ=⎰+Γ=
+=
⎰•Γ=⎰=n n n
u
n n n n
z nx n x x n
z
n x n n n x n n n n du e u x n n
n
x f
x n x u dx e x e n n x f
dx x x f x x f x f ππππζ
ζ
ζζζζ则上式变为令故
证明过程用到公式
).0(2)(2
120
10
>⎰=⎰=Γ--∞--∞
ααααdy e y
dx e x
y x
t 分布的w 特征函为：
dx t x wal n n x n n n t ),()21(^)2^1()2
()21
(
)(+-+Γ+Γ=⎰∞∞πϕ
t 分布有如下特征：
1、t 分布是对称分布，且其均值为0
2．t 分布是一簇曲线，其形态变化与n （确切地说与自由度ν）大小有关。

自由度ν越小，t 分布曲线越低平；自由度ν越大，t 分布曲线越接近标准正态分布（u 分布）曲线，如图1。

3、t 分布是一个分布族，对于不同的样本容量都对应不同的分布，且其均值都为0。

4、与标准正态分布相比，t 分布的中心部分较低，2个尾部较高。

5、变量t 的取值范围在∞+∞-到之间
图1自由度为1、5、∞的t 分布
t 分布有如下性质：
性质1 令2
/)1(2)1()(+-+=n n x x g 则x n
x n n x g n •++-='+-2
/)3(2)1(1)( )
31()1(1)(2
22/)5(2x n
n n x n x n n x g n +-+++-=''+-
故
)(=''x g 的解为
)2/(+±=n n x ，即分布密度在)2/(+±=n n x 处有拐点。

性质2 22
1
21);(lim x n e
n x t -∞
→=
π
性质3 设n t X ~，若n r <，则)(r X E 存在；若n r >，则)(r
X E 不存在。

此点由微积分
中判别积分收敛的法则很容易看出。

若n r <，且r 为奇数，由于函数2
/)1(2)/1(+-+n r n x x 是x 的奇函数，因此，0='
r μ；
若n r <且r 为偶数，可以算得)
()4)(2()
1(5312/r n n n r n
r r r ----••=='
μμ 特别
,4,3,2)(,0)(=-=
=n n n X Var X E ,6,5,4
6,021=-==n n r r 性质4 n t 分布由于只有1-n 阶矩存在，故没有矩母函数存在。

性质5 如1X 和2X 独立同分布于n 2
χ
，则随机变量
[]
n t X X X X
Y ~/)(2
1
2112
-=
π。

t 分布的∂分位数
t 分布的∂分位数记作()n t ∂.如图所示，
当X~()n t 时，{()}n t X P ∂
<=∂.给出概率∂和自由度n ,可从t 分布的分为表中查出()n t ∂.与标准正态分布相类似,根据t 分布密度曲线的对称性,也有()n t ∂()n t ∂-=1,论述同∂-∂-=1u u .如果在t 分布的分为表中没有负的分位,则先查出()n t ∂-1,然后得到()n t ∂()n t ∂-=1. 例如,
()()()()()()132
.24,776.24,604.44,604.44,776.24,132.24025.0025.0005.0995.0975.095.0-=-=-====t t t t t t 另外,当30>n 时,在比较简略的表中查不到()n t ∂,可用∂u 作为()n t ∂的近似值.
t 分布的∂分位数
t 分布表 n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
60 120
广义非中心t 分布
定义：
设）（且其中'=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡=++0,,0,1:),,(~)
2(,11)2(1 δμφμn x I EC x x x n n 。

（*）2
1
)2()2(12
1)(n x x X t '=的分布称为广义非中心t 分布，记为),(~φδn Gt t 或),(~f Gt t n δ。

定理1：设),(~f Gt t n δ，则t 的密度是
（*1）
+∞<<∞-+-+Γ⎰
∞
+-t dy y y y f t n n n n n n ,)2()
()2
1()
(20
212)1(2
1
2
2
1δδπ，
其中2
12
1)/(t n t +=δδ。

证：设),,(~11f I EC x n n ++μ，其中)0,,0,('= δμ且)(•h 是Borel 函数使得∞<))((t h E 。

利用)21()21()()()2
1()(,,)(112
1
0121
2
111
2m f I m dy y f y m dx dx x f m m m m m
i
-∞-Γ=Γ=⎰⎰∑ππ 对于12,,+n X X ，则我们有112210121
2
1))(()/()2
1
(2))((drdx r r x f r x n h n t h E n n -∞+∞-∞+-Γ=⎰⎰δπ
（*2） drdt r r n tr f t h n n n n ⎰⎰
∞+∞-∞
+-Γ=
222
12
1
2
1))/(()()2
1
(2δπ
因此，t 的密度是
dr r rn
t n r n t f n n n n ⎰
∞
-
-+-+Γ0
22
11222
12
1)2)(()
2
1(2δδπ
，
令r n n t y 2
1
2
)/)((+=，我们立得（*）。

当0=δ时，（*1）成为我们熟悉的密度t 。

推论1：设∞<)(),,(~t h E f Gt t n δ，则（*3）ρρρρπ
d f M t h E n n )()()2
1(2))((202
1⎰∞
Γ=
,
其中（*4）θθθρθρδρd n h M n x
10
2
1sin ))sin /()cos (()(-⎰
+=。

证：做变换θρθρδsin ,cos 1=+=r x ，则由（*2）结论得证。

推论2：设∞<k t E ，则（*5）122)2(2
1
2]2[0
2
1)!2(!2)2
1(!))(21()(++---=-⨯Γ-Γ=∑j k n j j k j k k j k k c j k j n k k n n t E πδ 其中][x 表示x 的整数部分，且c 由⎰
∞
-Γ0
212
1)(2)21
(~
dr
r f r l c l l l π
定义。

特别（注意11=+n c ）
（*6） ⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧Γ-Γ-+-=>+-=>Γ-Γ=---2
1212
1
2
2
2
1
)))21(/())1(21((]12[2)var(2]12[2)(1)21())1(21()()(n n n n
c n n n c n n t n c n n t E n c n n n t E πδπ
δπδδπ 由（*3），（*4）和Legendre 倍量公式)2
1
()(2)2(2
1
1
2+ΓΓ=Γ-a a a a π
，结论得证。

分布
一、定义
如果随机变量的密度函数为
则称随机变量服从第一自由度为，第二自由度为的分布，记为。

二、性质
1、设随机变量与相互独立，且，，则随机变量。

证明：因为随机变量与分别分布，所以其密度函数分别为
，
由商的密度函数公式，故得
令，得
，其中
所以，随机变量。

2、设随机变量，则，D。

解：
令，得
令，得
同理可得，
D
3、设随机变量，则。

证明：因为随机变量，所以其密度函数为。

则的密度函数为
所以，。

4、若随机变量，则。

证明：因为随机变量，所以其密度函数为
的密度函数为
所以，。

三、非中心分布
设，，且与相互独立，令，则称服从自由度为，非中心参数为的非中心分布，记为。

随机变量的密度函数为
证明：的联合分布为
作变换
则
的联合分布为
的边沿分布为
将改为，即为所证。

二次型的分布
1
1
1/2
1/2
1
1,,~(0,),()(12)
itA =={...0,...0ij i j p p i j r
j r x N I A a x x y t it j y x Ax diag λλλ==--='=-=|I -2|
''=ΓΛΓΓΛ∑∑∏⎰
定义：设随机向量为p 阶对称阵，则称y=x Ax=为随机变量x 的二次型.
二次型分布的性质：
①特征函数：我们考虑标准正态向量的二次型，有y 的特征函数为：
证明：对二次型的分布，由谱分解我们有A ，其中为正交阵，2
2
2
1,1
2
21
1/2
1/21
},
...()
,~(0,)1()=^()()
1
~|||I-2it |||=(12)1
()(12)itA r k P p j j
r
j j j
j j j
j r
j A r r A z x z N I r
y x Ax z z z
j r y y t Ee it z z
t j r
z x it j y t it j λλλλλλλ=--=='=Γ''∴==Λ=
=∴=='ΓΛΓ-==-=|I -2|
∑∑∏
⎰⎰∏
∏⎰为的非零特征值，且记显然的特征函数为注意到，又可得
222
~==2=[]=[(X Np X X E X X E X X E X X tr A μ∑A E '∑μ'μ'∑μ'∑μ'A ∑Aμ'A 'A -'A 'A -∑)-μ'Aμ]②均值与方差及协方差：
设（，），为对称阵，则均值为：（X AX ）trA +A ,
方差为：Var(X AX)=2tr(A )+4A A ,协方差为：
Cov(X ，X ）。

证明：对方差我们有Var(X ）（）
()()22
,=[((()])(=0
)()()(){()]}{((ij i j ij i j i j
i j j k i i j j k k l l ij kl ik jl il jk E trA XX E a X X X X ii E
X X X X X XX E X X E X X X tr A --'-∑-μμ')]=-σμμμμμ-μ-μ-μ-μ=σσ+σσ+σσ'μ['A -'A =-μ)[('A -μ'Aμ-∑)]}
=∑i ?k 然后利用等式（i ）E （X -）（对协方差我们有Cov （X,X AX)=E （X-）(){((}={}=2E X X X X tr A X X A A -μ)[(-μ)'A(-μ)+2(-μ)'Aμ-∑)]2E -μ-μ'μ∑μ
（）
2211~0'='~r rank A =r A =A
2~=Ai ==,k
i i X Np p A A X AX X X Np p A I =μ''∑③其他一些性质
（）设（，I ），，则（），当且仅当（）且（）设（，I ），Ai ，qi X AiX ，i=1,2,?k ，其中则如下三个命题是相互等价的：
1====k
i rank Ai p i j k =≤≠≤∑12k i i i j （i ）q ,q ,?q 相互独立且均服从非中心的X^2分布；（ii)（）；
（iii)A ^2A ，i 1,2，…k,且A A 0,1。

22
21/2
12/21/2/21
(0,),',().
()(12)(12),(12)(12),
p p s r
j j s r
s s j j x N I y x Ax A y
x A A
s rk A y t it s x it y
x it it t λλ-=---==⇔===--∴⇔-=-∏⎰∏二次型分布定理：
以下为标准正态向量的二次型的重要定理定理1 设为对称阵，则和证明：易知y 的特征函数为又知一个自由度为的分布的特征函数为作为两个的多项式恒等，必须各项系数2222
/2
1,1,
,.
0=,'''002.(,),0,'~(),
()='.
()()(12)
s j r p r r r i y
x r s j r I A T T T T T T A x
N A x Ax x A A A r rk A A x y y t it e λμλλμμλ-⇔===⎛⎫Λ=Λ=ΛΛ= ⎪⎝⎭
∑∑>⇔=∑==-⎰相等。

因此通过系数比较，得且于是且得证。

以下为一般正态向量的二次型重要定理定理设为对称阵，则并且证明：提示：一个非中心分布的变量的特征函数为
/(12)121212.
3.(0,),''=0.
'()',
t it p p i i i x N I A A x A x x A x A A x A x A x A x λ-⇔=二次型的独立性
定理设为对称幂等阵，则和相互独立
证明：先证充分性
12
12212122122i i 21212212121 2.
10~=1,2().^2+~1+++i i r r A A A x A x x A x x A x A A x A x x A x x x A x x r i r rk A x x A A x x A x x A x x A A A A A A A A +∴=''∴'''='''=+1，由，推得与独立.与相互独立
再证必要性，由于对称幂等性，由定理1可知和均服从分布，记，，其中由于两者独立，由分布的可加性.有（）（）再由定理可知幂等，即（）=从而推得22111122112121121122121212212+=0.
+=0+=0.=0.=0.
1~(,),0,=0.=0..
2P A A A A A A A A A A A A A A A A A A x N x A x x A x x A A A A A x A x x A x x A x ∴''μ>''∴∑∑∑∑1而又由用左和右分别乘以上式及的幂等性.有和又推得推论：设二次型和服从分布，则两者独立的充要条件证明：充分性显然：则与相互独立.与相互独立再证必要性：由定理，假设条件1222 2.212212i i 12121212==+(),((),=1,2)+=++.0.
i r r i A A A A A A x x A A x x r rk A A i A A A A A A A A λλλ+'+==μμ, =∑∑∑∑111意味着，仿照定理3的证明，由独立的可加性，有（）服从（）其中又（）（）可得
21/21/21/21/21/24~(,),>0,P P ()P P A 0.P P =U V.U U=I,V V=I,z=,~(,),V ~(,)P k p P z k k x N A P k x Ax x x Ax x x z N I N U I z UU z ---μ∑∑⨯''=⇔∑='∑∑Λ''Λ∑''∑μ∑μ''∴二次型和线性型的独立性
定理、设为阶对称阵，为k p 阶阵，
r ，二次型服从分布，则与线性型独立证明：必要性：考虑矩阵的奇异值分解，其中为正数元对角阵，令并有21/21/2001/21/21/21/21/21/21/21/21/21/21/2~(),.P A P A U V .U .A .3VV A =0.
V V A 0U U V A 0P A 0.
P A 0k x UU x Ax x z z z z z z z z z VV z --''λλ=μ∑∑μ''''∑∑∑∑∑Λ'''Λ∑∑'∑∑'''∑=ΛΛ∑=∴∑=∑=假设与独立.
则有与或者与独立由于有左逆和可逆推得与独立再由定理，推得用左乘上式得，又用左乘它即得充分性：当时，1/21/21/21/2V A 0.V z A U V z A A P .
z z z x Ax x '∑='∴∑''∴Λ∑∑∑'由上述奇异值分解有与独立
与独立.
即与线性型独立，得证
一． Wishart 分布
设1,
,n x x 相互独立同标准正态(0,1)N 分布，令'1(,,)n X x x =，则
'
221~()n
i i Y XX x n χ===∑ ①
其密度函数为：
1
/2/212exp ,0,22n n n y y y --⎛⎫⎛⎫⎧⎫
Γ->⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎩⎭⎝⎭ ②
而在1,
,n x x 相互独立同正态2(0,)N σ分布时，()22~Y n σχ，其密度函数为：
1
/2/21
22exp ,0,22n n n n y y y σσ---⎛⎫⎛⎫⎧⎫Γ->⎨⎬ ⎪
⎪⎝⎭⎩⎭⎝
⎭ ③
下面将上述结果推广至多元正态分布的情况。

二． Wishart 分布的定义
假设()()()12,,...,m
Y Y Y 相互独立，
()()()
~,P Y N u αα∑
其中：0∑>，()()()
(
)12,,...,m Y Y Y Y
p m =⨯，()()'
1
'm
a
a U YY Y Y α===∑，则称随机阵U 服
从自由度为m ，非中心参数为()()()()
()12,,...,=E m
M u u u p m Y =⨯的非中心wishart
分布，记为()~,;u Wp m M ∑，特别地，当()0,0,....,0M =时，则称之为中心wishart 分布，记为：()~,u Wp m ∑，其概率密度为：
()()1
2
221101
1exp ,0
221,20,N P p
np n n p W t W W n p f W αγαπ----=⎧⎛⎫
-∑> ⎪⎪-⎛⎫⎪
⎝⎭
-∑Γ∑=⎨ ⎪
⎝⎭⎪
⎪⎩∏其它
④
其中()ij W a p p =⨯为对称阵，是随机矩阵U 的观测值矩阵。

三．Wishart 分布的特征函数
定理：如果()~,S Wp m ∑，（0∑>已蕴含在W 分布的定义中），则
()2
2m
s P T I i T
ϕ-=-∑，其中()ij T t p p =⨯为实变元对称阵。

证明：因为()~,S Wp m ∑，所以S 可表示为()()'
1
m
f Y Y α
ααα==∑,其中
()()()1
2
,,...,m
Y Y Y 独立同分布与()0,,0p N ∑∑>。

有随机矩阵特征函数的定义可知
()()()'it s T E e T S γϕ=,且'T T =,因此有：
()()()()()()()
()()
'''111'm m m m
tr T S trTS trST tr Y Y T tr Y Y T tr Y TY Y TY αααααααααααα===⎛⎫====== ⎪⎝⎭
∑∑∑∑从而()()()()()()
()''1
'1[]m
m
i Y TY iY TY iY TY m s T E e E e LE e αααα
ααϕ==⎛⎫∑ ⎪=== ⎪⎝⎭
∏，其中()~0,P
Y N ∑,由对角定理，对于对称阵T 及正定阵1-∑，必存在奇异阵B 使得:
'1P B B I -∑=,
()(
)
11'1'B B BB ---∑=∑=即，,1'00
n a B TB a a ⎛⎫
⎪
==
⎪ ⎪⎝⎭
,做变换1
X B Y -=,反之Y BX =， 则:
()111~0,()p X N B B ---∑ ⑤
由于'BB ∑=，所以()~0,P X N I 。

记()'
12,,,P X X X X =,
则有()11,
,0,1P X X N ∈,故有2
21~,1,,K
X X K P =.
从而()2'''
11
21
12p
k k i p i X iY TY iX B TBX k k E e E e E e i λλ=-=⎡⎤∑⎢⎥⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
∏122p I i λ-=-
而2p I i λ-'1'
'122B B iBTB B iT B --=∑-=∑-=122P iT I iT -∑∑-=-∑
因此有()2
2m
s P T I iT ϕ-
=-∑。

反之，若是对称阵S 的特征函数()2
2m s P T I iT ϕ-=-∑，则()~,P S W m ∑。

四．Wishart 分布的性质
性质1：
设总体(),,P X N u ≈∑则样本离差阵S 服从自由度为n-1的wishart 分布，即:
()'
__
11,n
i i P i S X X X X W n =⎛⎫⎛⎫
=--≈-∑ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑ ⑥
证明：'
__
'1n
i i i S X X X X X HX =⎛⎫⎛⎫
=--= ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭∑,且'1H I II n =-,由2H H =和
()1rk H n =-，
由定理：X 为()0,p N ∑的n p ⨯阶数据阵，()rk A r =，A 为n n ⨯对称阵，且2A A =，则()'~,P X AX W r ∑，则()'~1,X HX n -∑。

性质2：
（可加性）设()()1122~,,~,P P W W n W W n ∑∑,且12,W W 相互独立，则
()1212~,P W W W n n ∑＋＋。

证：（用特征函数）由()()1122,,,P P W W n W W n ∈∑∈∑，可知其特征函数分别为
()()1
22
2
122,2m m p p T I i T
T I i T
ϕϕ-
-
=-∑=-∑，又由12,W W 相互独立，可推之12
W W ＋的特征函数为()()()21
2
122m p T T T I i T
ϕϕϕ-=•=-∑＋m ，由定理1之逆可知，
()1212~,P W W W n n ∑＋＋成立。

性质3：
设()~,P W W n ∑，对任意m p ⨯阶常数矩阵C,有()''~,m CWC W n C C ∑,特别的有，()~,P aW W n a ∑（0a ＞，为常数）。

证明：由()~,P W W n ∑，可知()
()'
1N
W X
X
∂∂∂==∑,其中()(
)
1,,N X X 相互独立，
且()()()
()()(
)
1~,,0,1,,,,
,N p X N u N M u u ∂∂∑∑∂==＞，
故()
(
)()
()'
'
1N
CWC CX
CX ∂∂∂==∑,而()
()
()
'
'
~,P CX
N Cu C C ∂∂∑，且()()1,N CX CX ，也相
互独立，则()''~,m CWC W n C C ∑。

同理得：()~,P aW W n a ∑（0a ＞，为常数）。

*关于p 阶wishart 分布密度函数有以下说明：
（1）、W 是p 阶对称阵,(3)式是W 的(1)/2p p +个变量，
()11
1222,
,,,,,
,p p pp ω
ωωωω的密度函数，而积分区域是使得W >0的这些变量
所构成的区域。

（2）、为了使得
p 阶wishart 分布有密度函数，除了0∑>，为什么还要求
?n p ≥这是因为p 阶矩阵W 以概率1为正定矩阵的充要条件是n p ≥。

证：由于'W XX =，X 是n p ⨯阶矩阵，所以n p <时，p 阶矩阵W 不可能是正定矩阵。

此外，在n p >时，'
'
'1
1
,p
n
i i i i i i W X X x x x x ====≥∑∑所以欲证W 以概率1为正定
矩阵的充要条件是n p ≥，仅需要证明在n p =时，(0)1p W >=。

在n p =时，由于'W XX =，所以 W 不是正定矩阵⇔0X =。

令'1(,
,),1,
,i i ip x x x i p ==。

显然{},,1,,:0ij G x i j p X ===是2p 维欧式空间
中一个没有内点的集合。

由此可见，()00p x ==。

从而有()0 1.p w >=故W 以
概率1为正定矩阵的充要条件是n p ≥得到证明。

五．非中心wishart 分布的定义
非中心wishart 分布是非中心2χ分布的推广。

若1,
,n x x 相互独立，
~(,1),1,
,,i i x N i n μ=则称21n
i i Y x ==∑服从非中心2χ分布，其自由度为n 。

它的分
布除了与n 有关外，还与21
n
i i a μ==∑有关，a 称为非中心参数。

非中心2χ分布记
为()2
,n a χ。

显然，在2
~(,)i i x N μσ
时，21
(/)n
i i x σ=∑服从非中心2(,)n a χ分布，其
中，2
1
(/)n
i i a x σ==∑。

这时2221
(,)n
i i Y x n a σχ===∑。

下面将非中心2χ分布推广到非中心wishart 分布。

若1,
,n x x 相互独立，
~(,),0,1,
,i p i x N i n μ∑∑>=，则称'1
n
i i i W x x ==∑服从非中心wishart 分布，显然W
的分布与,p n 和∑有关。

下面证明其分布与1/2
'1/21
()n
i i i H μμ--==∑∑∑有关。

令()1/2~(0,),1,
,i i i p p y x N I i n μ-=∑-=，则因1/2,1,
,,i i i x y i n μ-=∑+=所以
()()'1/2
''1/21/2'
1/21
111=n
n n n
i i i i i i i i i i i i W x x y y y y H μμ----====⎡⎤=∑
+∑+∑+∑⎢⎥⎣⎦
∑∑∑∑，
其中：
()'1~,n
i i p p i y y W n I =∑ ⑦
()()'1/21
~0,n
i i p p p i y N H I μ-⨯=∑⊗∑ ⑧
()()1/2'1
~0,n
i i p p P i y N I H μ-⨯=∑⊗∑ ⑨
由此看来，W 的分布仅与,,p n ∑和H 有关。

三． Wishart 分布
设1,
,n x x 相互独立同标准正态(0,1)N 分布，令'1(,,)n X x x =，则
'
221~()n
i i Y XX x n χ===∑ ①
其密度函数为：
1
/2/212exp ,0,22n n n y y y --⎛⎫⎛⎫⎧⎫
Γ->⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎩⎭⎝⎭ ②
而在1,
,n x x 相互独立同正态2(0,)N σ分布时，()22~Y n σχ，其密度函数为：
1
/2/21
22exp ,0,22n n n n y y y σσ---⎛⎫⎛⎫⎧⎫Γ->⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎩⎭⎝
⎭ ③
下面将上述结果推广至多元正态分布的情况。

四． Wishart 分布的定义
假设()()()12,,...,m
Y Y Y 相互独立，
()()()
~,P Y N u αα∑
其中：0∑>，()()()
(
)12,,...,m Y Y Y Y
p m =⨯，()()'
1
'm
a
a U YY Y Y α===∑，则称随机阵U 服
从自由度为m ，非中心参数为()()()()
()12,,...,=E m
M u u u p m Y =⨯的非中心wishart
分布，记为()~,;u Wp m M ∑，特别地，当()0,0,....,0M =时，则称之为中心wishart 分布，记为：()~,u Wp m ∑，其概率密度为：
()()1
2
221101
1exp ,0
221,20,N P p
np n n p W t W W n p f W αγαπ----=⎧⎛⎫
-∑> ⎪⎪-⎛⎫⎪
⎝⎭
-∑Γ∑=⎨ ⎪
⎝⎭⎪
⎪⎩∏其它
④
其中()ij W a p p =⨯为对称阵，是随机矩阵U 的观测值矩阵。

三．Wishart 分布的特征函数
定理：如果()~,S Wp m ∑，（0∑>已蕴含在W 分布的定义中），则
()2
2m
s P T I i T
ϕ-=-∑，其中()ij T t p p =⨯为实变元对称阵。

证明：因为()~,S Wp m ∑，所以S 可表示为()()'
1
m
f Y Y α
ααα==∑,其中
()()()1
2
,,...,m
Y Y Y 独立同分布与()0,,0p N ∑∑>。

有随机矩阵特征函数的定义可知
()()()'it s T E e T S γϕ=,且'T T =,因此有：
()()()()()()()
()()
'''111'm m m m
tr T S trTS trST tr Y Y T tr Y Y T tr Y TY Y TY αααααααααααα===⎛⎫====== ⎪⎝⎭
∑∑∑∑从而()()()()()()
()''1
'1[]m
m
i Y TY iY TY iY TY m s T E e E e LE e αααα
ααϕ==⎛⎫∑ ⎪=== ⎪⎝⎭
∏，其中()~0,P
Y N ∑,由对角定理，对于对称阵T 及正定阵1-∑，必存在奇异阵B 使得:
'1P B B I -∑=,
()(
)
11'1'B B BB ---∑=∑=即，,1'00
n a B TB a a ⎛⎫
⎪
==
⎪ ⎪⎝⎭
,做变换1
X B Y -=,反之Y BX =， 则:
()111~0,()p X N B B ---∑ ⑤
由于'BB ∑=，所以()~0,P X N I 。

记()'
12,,,P X X X X =,
则有()11,
,0,1P X X N ∈,故有2
21~,1,,K
X X K P =.
从而()2'''
11
21
12p
k k i p i X iY TY iX B TBX k k E e E e E e i λλ=-=⎡⎤∑⎢⎥⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
∏122p I i λ-=- 而2p I i λ-'1'
'122B B iBTB B iT B --=∑-=∑-=122P iT I iT -∑∑-=-∑
因此有()2
2m
s P T I iT ϕ-
=-∑。

反之，若是对称阵S 的特征函数()2
2m s P T I iT ϕ-=-∑，则()~,P S W m ∑。

四．Wishart 分布的性质
性质1：
设总体(),,P X N u ≈∑则样本离差阵S 服从自由度为n-1的wishart 分布，即:
()'
__
11,n
i i P i S X X X X W n =⎛⎫⎛⎫
=--≈-∑ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑ ⑥
证明：'
__
'1n
i i i S X X X X X HX =⎛⎫⎛⎫
=--= ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭∑,且'1H I II n =-,由2H H =和
()1rk H n =-，
由定理：X 为()0,p N ∑的n p ⨯阶数据阵，()rk A r =，A 为n n ⨯对称阵，且2A A =，则()'~,P X AX W r ∑，则()'~1,X HX n -∑。

性质2：
（可加性）设()()1122~,,~,P P W W n W W n ∑∑,且12,W W 相互独立，则
()1212~,P W W W n n ∑＋＋。

证：（用特征函数）由()()1122,,,P P W W n W W n ∈∑∈∑，可知其特征函数分别为
()()122
2
122,2m m p p T I i T
T I i T
ϕϕ-
-
=-∑=-∑，又由12,W W 相互独立，可推之12
W W ＋的特征函数为()()()21
2
122m p T T T I i T
ϕϕϕ-=•=-∑＋m ，由定理1之逆可知，
()1212~,P W W W n n ∑＋＋成立。

性质3：
设()~,P W W n ∑，对任意m p ⨯阶常数矩阵C,有()''~,m CWC W n C C ∑,特别的有，()~,P aW W n a ∑（0a ＞，为常数）。

证明：由()~,P W W n ∑，可知()()'
1N
W X X ∂∂∂==∑,其中()(
)
1,
,N X X 相互独立，
且()()()
()()(
)
1~,,0,1,
,,,
,N p X N u N M u u ∂∂
∑∑∂==＞，
故()()()()
'
'
1
N
CWC CX CX ∂∂∂==∑,而()()()
'
'~,P CX N Cu C C ∂∂
∑，且()()1,N CX CX ，也相
互独立，则()''~,m CWC W n C C ∑。

同理得：()~,P aW W n a ∑（0a ＞，为常数）。

*关于p 阶wishart 分布密度函数有以下说明：
（1）、W 是p 阶对称阵,(3)式是W 的(1)/2p p +个变量，
()11
1222,
,,,,,
,p p pp ω
ωωωω的密度函数，而积分区域是使得W >0的这些变量
所构成的区域。

（2）、为了使得
p 阶wishart 分布有密度函数，除了0∑>，为什么还要求
?n p ≥这是因为p 阶矩阵W 以概率1为正定矩阵的充要条件是n p ≥。

证：由于'W XX =，X 是n p ⨯阶矩阵，所以n p <时，p 阶矩阵W 不可能是正定矩阵。

此外，在n p >时，'
'
'1
1
,p
n
i i i i i i W X X x x x x ====≥∑∑所以欲证W 以概率1为正定
矩阵的充要条件是n p ≥，仅需要证明在n p =时，(0)1p W >=。

在n p =时，由于'W XX =，所以 W 不是正定矩阵⇔0X =。

令'1(,
,),1,
,i i ip x x x i p ==。

显然{},,1,,:0ij G x i j p X ===是2p 维欧式空间
中一个没有内点的集合。

由此可见，()00p x ==。

从而有()0 1.p w >=故W 以概率1为正定矩阵的充要条件是n p ≥得到证明。

五．非中心wishart 分布的定义
非中心wishart 分布是非中心2χ分布的推广。

若1,
,n x x 相互独立，
~(,1),1,
,,i i x N i n μ=则称21n
i i Y x ==∑服从非中心2χ分布，其自由度为n 。

它的分
布除了与n 有关外，还与21
n
i i a μ==∑有关，a 称为非中心参数。

非中心2χ分布记
为()2
,n a χ。

显然，在2
~(,)i i x N μσ
时，21
(/)n
i i x σ=∑服从非中心2(,)n a χ分布，其
中，2
1
(/)n
i i a x σ==∑。

这时2221
(,)n
i i Y x n a σχ===∑。

下面将非中心2χ分布推广到非中心wishart 分布。

若1,
,n x x 相互独立，
~(,),0,1,
,i p i x N i n μ∑∑>=，则称'1
n
i i i W x x ==∑服从非中心wishart 分布，显然W
的分布与,p n 和∑有关。

下面证明其分布与1/2
'1/21
()n
i i i H μμ--==∑∑∑有关。

令()1/2~(0,),1,
,i i i p p y x N I i n μ-=∑-=，则因1/2,1,
,,i i i x y i n μ-=∑+=所以
()()'1/2
''1/21/2'
1/21
111=n
n n n
i i i i i i i i i i i i W x x y y y y H μμ----====⎡⎤=∑
+∑+∑+∑⎢⎥⎣⎦
∑∑∑∑，
其中：
()'1~,n
i i p p i y y W n I =∑ ⑦
()()'1/21
~0,n
i i p p p i y N H I μ-⨯=∑⊗∑ ⑧
()()1/2'1
~0,n
i i p p P i y N I H μ-⨯=∑⊗∑ ⑨
由此看来，W 的分布仅与,,p n ∑和H 有关。

2T Hotelling 分布
回顾t 分布的定义。

假设变量X 与Y 相互独立，2~(0,1),~()X N Y n χ，则
~()
t t n =
（1） 称变量t 服从自由度为n 的t 分布。

显然，若2~(0,1),~()X N Y n χ，则t 仍然服从自由度为n 的t 分布。

事实上，所谓的将t 分布推广到多元正态分布的场合并不是直接将t 进行推广，而是将2t 进行推广。

2t 服从F 分布
2
2
~(1,)X t n F n Y
=。

下面将2t 推广到多元正态分布的场合。

1.2T Hotelling 分布的定义
定义：设()~0,P X N ∑，随机阵()∑,~n W W P ()P n ≥>∑,0，且X 与W 相互独立，则称统计量X W X n T 12-'=服从自由度为n 的（中心）2T Hotelling 分布，记为
()22~,T T P n 。

由于
21/21/21/211/2()()()T n X W X -----'=∑∑∑∑
1/21/21/2~(0,),~(,)p p p p X N I W W n I ---∑∑∑ 所以2T 的分布与∑无关。

一般地，若()∑,~μP N X ，则称统计量X W X n T 12-'=的分布为非中心2T Hotelling 分布，记为()μ,,~22n P T T 。

2.关于（中心）2T Hotelling 分布的一些性质： 性质1：设(1)(),
,n X X 是总体(),,0,p N n p μ∑∑>>的随机样本，则统计量
()212(1)()()~,1T n n X S X T p n μμ-'=----。

证明：因为⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑n N X P 1,~μ，
所以 ()()∑-,0~P N X n μ。

而 ()()()∑-'
--=∑=,1~1n W X X X X S P n
i i i ，且X 和S 相互独立，从而
()()()
()()[]()[]
()
1,~1121
12--'--=-'
--=--n P T X n S X n n X S X n n T μμμμ
性质2：2T 与F 分布的关系：设22~(,)T T p n ，则
2
1~(,1)n p T F p n p np
-+-+。

在一元统计中（设2~(0,1),~(),X N n ξχ且相互独立）
若~()t t n =
，则
2
2
~(1,)/X t F n n
ξ=。

当1p =时，一维总体2~(0,)X N σ,
),(~211
2)(1
)()(d
σαααααn W X X X W n
n ∑∑==='=())(22n χσ即，所以（因n
n
p n p n p =⨯+-=1,
1） 2221
2(/)~(1,)(/)n nX X T nX W X F n n W W n σσ-'===，这是性质2的特例，即当1p =时， 2~(1,)T F n 。

一般地，
2111
1
1111/d n p T n p n p X X n p X W X X X p n p p X W X p ξη
----'-+-+-+∑-+''•==∑=•' /~(,1)/(1)
p F p n p n p ξη=
-+-+
其中，1
2
~(,)(0),X X p ξχδδ-'=∑=还可以证明121
~(1),X X
n p X W X
ηχ--'∑=-+' 且ξ与η相互独立。

特别，设()1,
,,,0,n p X X iid N n p μ∑∑>>，则
()
212(1)~,T n n X S X T p n -'=--
()()21~,,1n p T n p
nX S X F p n p p n p
δ---'⋅=--，其中1n δμμ-'=∑。

补充书本以外的一些性质如下：
由于X 与W 相互独立,所以在X 给定的条件下,W 条件分布仍为()∑,~n W W P ，
则11
X X Y X W X
--'∑='的条件分布为2
(1)n p χ-+。

由于这个条件分布与给定的X 没有关系，所以Y 与X 相互独立，并且Y 的（无条件）分布
仍为2(1)n p χ-+。

由于()~0,P X N ∑，根据多元正态分布的性质知，
12~()X X p χ-'∑。

因为
11
11/()X X
X X X X X W X ----'∑'∑='''
∑
所以有
性质（1）
21
2()(1)
d
p X W X n p χχ-'=
-+， （2）
其中，分子与分母这两个2χ分布相互独立。

性质（1）说明1X W X -'服从(/2,(1)/2)Z p n p -+分布，从而（1）式可知，
),(2n P T Hotelling 分布可转化为Z 分布
222
1()1
(,)~(,)(1)22
d p p n p T P n Z n n p χχ-+=-+. (3) 由（1），有
221211()/(1)/(1)
d n p n p p p T X W X np p n p n p χχ--+-+'==-+-+ 这说明),(2n P T Hotelling 分布可转化为F 分布。

性质（2）
2221()/(,)~(,1)(1)/(1)
d n p p p T P n F p n p np n p n p χχ-+=-+-+-+ （4） 显然,1p =时，（4）就化为（1）式。

由性质1导出性质2，把2T Hotelling 的分布转化为F 分布。

性质（1）在把
2T Hotelling 的分布转化为F 分布的过程中起着关键作用，所以除了记住（4）式
外，还有必要记住（2），（3）式。

3.关于非中心2T Hotelling 分布的定义与性质
严格的说，在X 与W 相互独立，()~0,P X N ∑，()∑,~n W W P 时，
X W X n T 12-'=的分布是中心的2T Hotelling 分布。

如果()~0,P X N ∑，则称2T 的
分布是非中心2T Hotelling 分布。

由于
21/21/21/211/2()()()T n X W X -----'=∑∑∑∑
1/21/21/2~(0,),~(,)p p p p X N I W W n I ---∑∑∑
所以21T nX W X -'=的分布与1/2δμ-=∑无关。

而在0δ=时，非中心2T Hotelling 分布就是中心的2T Hotelling 分布()22~,T T P n 。

与（2）式~（4）式相类似，有
（1） 在X 与W 相互独立，()~0,P X N ∑，()∑,~n W W P 时，
21
2(,)(1)
d
p a X W X n p χχ-'=
-+，1a δδμμ-''==∑，（5）
其中，分子与分母这两个2χ分布相互独立，分子的2(,)p a χ是自由度为p 的非中心2χ分布，其非中心参数为a ，由（5）式可以看出非中心X W X n T 12-'=的分布除了与p 有关外，还仅与1a δδμμ-''==∑有关。

为此，人们将非中心2T Hotelling 分布记为()a n P T T ,,~22，在0a =时，()0,,2n P T 分布，就是中心的2T Hotelling 分布。

（2） 非中心2T Hotelling 分布与非中心Z 分布
2221(,)1(,,)~(,,)(1)22
d p a p n p T P n a Z a n n p χχ-+=-+ （6） （3）非中心2T Hotelling 分布与非中心F 分布
2221(,)/(,,)~(,1,)(1)/(1)
d n p p a p
T P n a F p n p a np n p n p χχ-+=-+-+-+ （7） （5）式与（7）式的证明与（2）式与（4）式的证明类似。

下面讨论如何导出非中心2T Hotelling 分布的密度函数。

由（7）式知，由非中心
F 分布的密度函数可以得到非中心2T Hotelling 分布的密度函数。

同样地，(6)式说明由非中心Z 分布的密度函数也可以得到非中心2T Hotelling 分布的密度函数。

考虑到非中心Z 分布的密度函数容易记住，由它得到非中心2T Hotelling 分布的密度函数的计算过程比非中心F 分布的计算过程更为简单，所以下面首先介
绍一下非中心Z 分布的密度函数，然后导出非中心2T Hotelling 分布的密度函数。

根据非中心2χ分布的密度函数，引入服从泊松分布的变量ψ后，非中心2χ分
布变量y
可以理解成，在给定ψ后y 的条件分布为中心2χ分布。

因而由（6）式知，若令~(/2,(1)/2,)z Z p n p a -+，
则在引入服从泊松分布(/2)P a 的变量ψ后，变量z 的分布可以理解为，在给定ψ后z 的条件分布为中心的((2)/2,(1)/2)Z p n p ψ+-+分布，所以非中心(/2,(1)/2,)Z p n p a -+分布的密度函数为
/20
(/2)21(;)(|,)
!22k a k a p k n p p z a e Z z k ∞
-=+-+=∑ (2)/21
/2(21)/2
(/2)((21)/2)!((2)/2)((1)/2)(1)k p k a n k k a n k z e k p k n p z +-∞
-++=Γ++=Γ+Γ-++∑ 从而根据（6）式，可由非中心(/2,(1)/2,)Z p n p a -+分布密度函数得到非中心
()a n P T ,,2分布函数为
2(2)/21
2
/22(21)/2
01(/2)((21)/2)(/)(;)!((2)/2)((1)/2)(1/)k p k a n k k a n k T n z p T a e n k p k n p T n +-∞-++=Γ++=Γ+Γ-++∑（8）
在（8）式中取0a =，即得到中心()2,T P n 分布函数为
2/21
2
2(1)/2
((1)/2)(/)()(/2)((1)/2)(1/)p n n T n z p T p n p T n -+Γ+=ΓΓ-++ （9）
此外，中心()2,T P n 分布的密度函数也可以有中心(/2,(1)/2)Z p n p -+分布密度函数导出。

知道中心(,)Z αβ分布的密度函数为
/21()/2
(()/2)()(/2)(/2)(1)z p z z ααβαβαβ-+Γ+=ΓΓ+
从而根据（3）式，就可以得到中心()2,T P n 分布函数，即（9）式。

4.一元统计分布与多元统计分布的关系示意图。