四川省成都外国语学校2018-2019学年高二3月月考数学(文)试题(解析版)

成都外国语学校2018-2019学年度高二下期第一次月考
数学（文科）试卷
第Ⅰ卷(选择题)
一．选择题：本大题共12小题,在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则=（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由，得：，，则，故选C.
2.下列导数式子正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数的运算法则，即可作出判定，得到答案．
【详解】根据导数的运算法则，可得，所以 A 不正确；，所以B不正确；
，所以C不正确；由是正确的，故选D．
【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记导数的运算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
3.已知等差数列的前项和为，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
等差数列的前项和为，所以，得
所以。

故选C.
4.设，满足约束条件，则目标函数取最小值时的最优解是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
作出可行域如图所示：
标函数，即平移直线，当直线经过点A时，最小.
，解得，即最优解为.
故选B.
5.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为
，以下结论中不正确的为（）
A. 15名志愿者身高的极差小于臂展的极差
B. 15名志愿者身高和臂展成正相关关系，
C. 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米
D. 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B，根据回归方程可判断正相关；C将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D，根据回归方程x的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确. 【详解】A，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；
B，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；C，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；
D，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确.
故答案为：D.
【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.
6.已知，则等于（）
A. -2
B. 0
C. 2
D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
对函数的解析式求导，得到其导函数，把代入导函数中，列出关于的方程，进而得到的值.
【详解】，
，
令，得到，
解得.
故选：A.
【点睛】在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误．
7.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分不必要条件是（）
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
【答案】A
【解析】
【分析】
的一个充分不必要条件,为的判定条件。

【详解】，，可推出，故选A
【点睛】本题为基础题，已知线面垂直关系推平行。

8.若函数在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析：函数在上有最大值无最小值，则极大值在之间，一阶导函数有根在
，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解
详解：函数在上有最大值无最小值，则极大值在之间，设
的根为，极大值点在处取得则
解得，故选C。

点睛：极值转化为最值的性质：
1、若上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为的最小值；
2、若上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为的最大值；
9.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r的圆，若该几何体的体积是,则它的表面积是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，可以确定该几何体为圆柱中挖去一个半球，根据体积求得的值，再计算表面积即可.
【详解】由已知三视图可知：该几何体的直观图是一个底面半径为，高为的圆柱内挖去一个半径为的半球，
因为该几何体的体积为，
所以，即，
解得，
所以该几何体的表面积为，
故选C.
【点睛】该题考查的是有关三视图的问题，涉及到的知识点有根据三视图还原几何体，有关组合体的体积和表面积，属于简单题目.
10.
已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若
，则的大小关系正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数g（x），由g′（x），可得函数g（x）单调递减，再根据函数的奇偶性得到g（x）为偶函数，即可判断．
【详解】构造函数g（x），
∴g′（x），
∵xf′（x）﹣f（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴函数g（x）在（0，+∞）单调递减．
∵函数f（x）为奇函数，
∴g（x）是偶函数，
∴c g（﹣3）＝g（3），
∵a g（e），b g（ln2），
∴g（3）＜g（e）＜g（ln2），
∴c＜a＜b，
故选：D．
【点睛】本题考查了构造函数并利用导数研究函数的单调性，进行比较大小，考查了推理能力，属于中档题．
11.已知抛物线上有三点，的斜率分别为3，6，，则的重心坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解.
【详解】设则，得，
同理，，三式相加得，
故与前三式联立，得，，，
则.故所求重心的坐标为，故选C.
【点睛】本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.
12.已知函数，函数，若方程有4个不同实根，则实数的取
值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
方程，化为，即或，要使方程有4个不同实根，则需方程
有3个不同根，当时，方程有1个根，则只需：时，与
有两个交点即可，数形结合可得到答案。

【详解】解：方程，化为，即或，
要使方程有4个不同实根，则需方程有3个不同根，
如图：
而当时，方程有1个根，
则只需：时，与有两个交点即可．
当时，，
过点作的切线，设切点为（），
切线方程为，把点代入上式得或，
因为，所以，
切线斜率为，所以，即，
当时，，与轴交点为
令，解得．
故当时，满足时，与有两个交点，
即方程有4个不同实根。

故选：B.
【点睛】本题考查了函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的思想，属于难题。

二．填空题：本大题共4小题．把答案写在答题卷相应位置上.
13.已知平面向量共线，则=____.
【答案】
【解析】
试题分析：．考点：平面向量共线．
14.已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为____.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，得，又由，求得，进而的奥双曲线的渐近线的方程．
【详解】由题意，双曲线的离心率为，即，
又由，所以，
解得，所以双曲线的渐近线的方程为，即
【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理、准确运算
是解答的关键，同时注意双曲线的焦点的位置是解答的一个易错点，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
15.已知，则的值为______
【答案】
【解析】
【分析】
利用三角函数的基本关系式，化简得原式，代入即可求解，得到答案．
【详解】由题意，可得
．
【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系式化简、求值，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系式化简是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
16.—只蚂蚁在三边长分别为，，的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过的概率为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
作出以三角形三个顶点为圆心，半径为1的扇形，结合扇形的面积公式求解，即可得到答案．
【详解】某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1，如图所示，
只需蚂蚁在以三角形三个顶点为圆心，半径为1的扇形内运动即可，
由面积比的几何概型，可得某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过1的概率为
．
【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
三、解答题：本大题6题．解答应在答题卷写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.命题关于的不等式的解集为；命题函数为增函数．
(1)若是真命题, 求实数的取值范围；
(2)若“”是真命题，“”是假命题, 求实数的取值范围．
【答案】(1)或. (2)
【解析】
【分析】
(1)关于的不等式的解集为，转化为恒成立，利用
，即可求解；
(2)求得q为真命题时，，解得或，根据“”是真命题，且“”是假命题，分类讨论即可求解的取值范围．
【详解】(1)关于的不等式的解集为，等价于恒成立，
所以p为真命题时，，解得或.
(2)q为真命题时，，解得或.
“”是真命题，且“”是假命题，
有两种情况：p为真命题，q为假命题时，；p为假命题，
q为真命题时，.
故“”是真命题，且“”是假命题时，
a的取徝范围为．
【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，以及利用复合命题的真假求解参数，其中解答中合理转化为不等式的恒成立，借助二次函数的性质，以及准确命题，合理分类讨论是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
18.汉字听写大会不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组，第2组，，第6组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率
试估计该市市民正确书写汉字的个数的中位数；
已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率．
【答案】（1）0.32（2）平均数168.56；中位数：168.25（3）
【解析】
【分析】
利用频率分布直方图能求出被采访人恰好在第2组或第6组的概率；利用频率分布直方图能求出平均数和中位数；共人，其中男生3人，设为a，b，c，女生三人，设为d，e，f，利用列举法能求出至少有1名女性市民的概率．
【详解】被采访人恰好在第2组或第6组的概率
平均数
设中位数为x，则
中位数
共人，其中男生3人，设为a，b，c，女生三人，设为d，e，
则任选2人，可能为，，，，，，，，，，，，，
，，共15种，
其中两个全是男生的有，，，共3种情况，
设事件A：至少有1名女性，
则至少有1名女性市民的概率
【点睛】本题考查概率、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)在[0,2]上的最值；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．
【答案】(1)见解析；(2)a≥.
【解析】
【分析】
(1) 当a＝2时，求得函数的导数，利用导数得出函数的单调性，即可求解函数的最值；
(2)根据函数f(x)在(－1,1)上单调递增，转化为在(－1,1)上恒成立，再利用分离参数，转化为函数的最值问题，即可求解．
【详解】(1) 当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)e x，f′(x)＝(－x2＋2)e x.
令f′(x)=0，则x=－或x=
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
，，
f(
所以，f(x)max= f()=(-2+2),f(x)min= f(0)=0.
(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立．
又f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]e x，即[－x2＋(a－2)x＋a]e x≥0，注意到e x>0，
因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，
也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立．
设y＝x＋1－，则y′＝1＋>0，
即y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，
则y<1＋1－＝，故a≥.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．
20.如图，在三棱锥中，面，∠BAC=，且=1，过点作平面，分别交
于点.
（1）若求证：为的中点；
（2）在（1）的条件下，求点到平面的距离．
【答案】(1)见证明(2)
【解析】
【分析】
（Ⅰ）取中点，连接，证明面，由即可证明；（Ⅱ）利用，求得值即可求解.
【详解】（Ⅰ）取中点，连接，∵∴，∵面，
为的中点，为的中点
（Ⅱ）设点到平面的距离为，∵为的中点，
又，，∴，∵∴
又，，，
可得边上的高为，∴
由得，∴
【点睛】本题考查线面垂直证明，点到面的距离，熟练运用线面关系，准确计算是关键，是中档题.
21.已知点是椭圆E：上一点，、分别是椭圆的左右焦点，且
求曲线E的方程；
若直线l：不与坐标轴重合与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为、，对任意的斜率k，若存在实数，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
根据点P在椭圆上以及，列方程组可解出，，从而可得曲线的方程；联立直线与曲线，根据韦达定理以和斜率计算公式可得，结合判别式可得的取值范围. 【详解】设，，
，
由，，
曲线E的方程为：
设，，
∴
∴，即，
当时，；
当时，，
由对任意恒成立，
则
综上
【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质及其运算，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，属中档题．
22.已知函数，.
（1）若在处取得极值，求的值；
（2）设，试讨论函数的单调性；
（3）当时，若存在正实数满足，求证：.
【答案】（1）．（2）见解析（3）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意，求得函数的导数，根据，即可求解；
（Ⅱ）由题意，得，求得函数的导数，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（Ⅲ）代入，求出，令，，根据函数的单调性，即可作出证明.
【详解】（1）因为，所以，
因为在处取得极值，
所以，解得．
验证：当时，在处取得极大值．
（2）解：因为
所以．
①若，则当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减．
②若，，
当时，易得函数在和上单调递增，
在上单调递减；
当时，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，易得函数在和上单调递增，
在上单调递减．
（3）证明：当时，，
因为，
所以，
即，
所以．
令，，
则，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增．所以函数在时，取得最小值，最小值为．
所以，
即，所以或．
因为为正实数，所以．
当时，，此时不存在满足条件，
所以．
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.。