三角形中的边的关系—教学设计及点评

目录
一、教材内容及其解析 (2)
二、教学目标及其解析 (3)
三、学生学情分析 (4)
四、教学策略分析 (4)
五、教学过程设计 (5)
教学流程示意图 (5)
教学过程 (6)
板书设计 (12)
六、课堂教学目标检测设计 (12)
七、教学设计思路说明 (13)
八、教学反思 (14)
附件：
教材相关内容 (15)
指导教师点评 (24)
第十一届全国初中青年数学教师优秀课展评
11.1.1 三角形中边的关系
合肥市第四十五中学橡树湾校区李莹莹
一、教材内容及其解析
（一）教学内容
本节课是人教版教材《数学八年级（下）》第十一章《三角形》第一节第1课时，主要研究：三角形中边的关系。

（二）教学内容分析
三角形是平面图形，是最基本的直线型封闭图形，是边数最少的多边形。

初中学段，对三角形的研究顺序大致如下：
从一般三角形，到特例三角形（等腰三角形、直角三角形；性质+判定）。

不仅研究一个或者一类三角形，也对两个或者两类三角形进行研究：全等、相似。

定性研究后，过渡到定量研究：如勾股定理和逆定理，锐角三角函数、解直角三角
形及其应用。

教材呈现的是有逻辑思考的体系。

年级定性研究定量研究
八年级·与三角形有关的线段
·与三角形有关的角
·全等三角形
·三角形全等的判定
·等腰三角形
·勾股定理
·勾股定理的逆定理
九年级·相似三角形·锐角三角函数
·解直角三角形及其应用
在进入第十一章教学之前，我们也有必要了解学生已有的知识储备。

三角形在义务教育阶段的基本课程内容如下：
学段三角形课程内容
第一学段·能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形·会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图
·结合实例认识周长，并能测量简单图形的周长
第二学段·认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180°
·认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形·探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式
第三学段·理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性
·探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论；证明三角形的任意两边之和大于第三边
·理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角
·掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
……
本节课作为第十一章《三角形》的起始课，承担的任务不言也明。

要有单元设计的意识——渗透一般三角形的研究顺序：
实际背景或数学背景得出研究对象——严谨的定义（内涵）——分类（为什么要分类，如何分类）——性质研究（一般三角形都具有的特性）——应用。

在性质研究中，首先关注的是组成要素。

角与角的关系（内角和180°），边与边的关
系（两边之和大于第三边），边与角的关系（大角对大边，等角对等边），这些最核心。

这些组成要素之间的关系，就是基本性质。

然后，再往外拓展相关要素，研究其它性质，
如高线性质、中线性质、角平分线性质，外角等等。

不难发现，对一般三角形的研究，隐含了几何图形的研究通法。

二、教学目标及其解析
（一）教学目标
1．在小学阶段对三角形的认识的基础上，进一步了解三角形的定义、表示方法、有
关概念及分类（按边）；
2．经历合作探究三角形三边关系的过程，渗透演绎推理的意识，发展逻辑推理能力；
3．会用三角形的三边关系解决简单问题；
（二）目标解析
《义务教育数学课程标准（2011 版）》在“课程设计思路”中明确指出：“在数学课程
中应注重发展学生的几何直观和推理能力．”依据《课程标准》，遵循我校八年级学生的年龄
特征和认知规律，结合教材确定了本节课的教学目标．
（三）教学重点及难点
➢教学重点：三角形的三边关系的探究及其简单运用
➢教学难点：学生自主发现、提出、推导“两边之差小于第三边”。

三、学生学情分析
学生在小学阶段已学习过三角形，了解三角形有关元素的名称，但限于小学时的
认知水平和教学要求，对三角形的概念表述还不够严谨。

因此，教师应通过必要的引导，让学生形成对三角形概念的准确理解。

等腰三角形和等边三角形，小学阶段都已经学习过。

所以，本节课的按边分类，
是在学生已有经验的基础上进行。

但等边三角形是等腰三角形的特殊情况，学生容易
出现混淆，需要引导学生紧扣定义，进行辨析。

小学阶段的数学学习主要建立在观察实验和经验的基础上，由感知实物世界过渡
到数值计算和直观思维。

初中阶段，学生们会对数学知识产生“刨根问底”的强烈愿望，此时是进行逻辑思维训练的最佳阶段。

在这个时段，应该积极引导学生进行抽象
思维，建构数学知识链。

只有懂得“道理”，学生才能学得清晰，才会有条理地表达
自己的思考过程，言之有理，落笔有据。

本节课，为什么“任意两边之和大于第三边”，如何导出“任意两边之差小于第三边”，显得尤为重要。

四、教学策略分析
数学是思维的体操，中学生学习数学的主要目的是培养数学素养，发展智力，学
习科学的思维方法。

初中数学教学总是以一个整体有机的系统活动呈现的，在这一个
系统活动过程中，必然表现出“怎样教”的策略问题，同时内隐着“为什么这样教”，“怎样教更高效”的认识、理解和观念的问题。

“图形与几何”研究：现实世界中物体和几何图形的形状，大小，位置关系及其
变换。

引导学生认识图形与物体，建立丰富的表象，形成直觉思维。

故本节课，采用
情景引入。

让学生动手画三角形，经历定义几何对象的过程，体验如何用数学的严谨方式定
义一个研究对象。

先观察自己所画的三角形，教师引导学生寻找是否“有两边相等”。

有两边相等
就是等腰三角形，没有两边相等就是不等边三角形。

对于“分类”的原则，教师给予
必要的渗透，发展学生的研究意识和思维水平。

本节课只是“按边”进行分类，把
“按角”分类放在了下一节（11.2与三角形有关的角），包括等腰三角形的顶角底角
也未涉及，也放到了后面。

（13.3等腰三角形）。

继续观察所画的三角形，讨论三边之间的大小关系。

小学的知识经验中已有：
研究边与边关系 （15分钟）
画三角形，明确定义 （3分钟） 推论 （11分钟）小结升华
（3分钟）
应用 （1分钟） 定理 （3 分钟） “两边之和大于第三边。

”唤醒记忆后，进入理性思考，知其然还要知其所以然。

接
着设置一个练习，在练习中，学生不难发现：当有两边固定下来的时候，第三边的取
值是有范围的。

继而猜想、验证，自然过渡到对第三边与两边之差的关系的思考。

在
教学中，力求设置有含金量的探究活动，启迪思维火花。

鼓励每一位学生参与学习过
程，即发现问题、提出问题、尝试推理、思考总结的过程，只有在这样的过程中，学
生才能逐步把握定理的本质。

动态想象是学生数理逻辑和经验生成的源泉，图形的动态变化不仅仅是一种印象，
更是一种思考，是一种内在的把握。

所以，本节课中精心准备了关于第三边的上限与
下限的几何画板演示，帮助学生加深理解。

最后的课程小结，引导学生了解，一个三角形，边、角就它最基本的要素，而最
核心的组成要素之间的相互关系就是基本性质。

数学是一门严谨的学科，数学的源头
就是基本性质或基本原理。

基本性质是数学成长的基因，由此出发，数学才能成长为
一棵参天大树。

数学学习中的通性、通法贯穿始终，任何知识点和知识层面上都可以
看到，对学生理解数学起到了重要的作用。

如果学生能够反复理解并掌握这些简单的
基本性质，那么学习数学应该就不困难了。

回顾整节课的研究过程，揭示三角形的研究顺序。

从背景，到定义，到分类，到
性质，最后应用。

这是研究三角形的顺序，其实也是研究几何图形的一般顺序。

初步
渗透几何研究的方向，性质研究的主线，总结方法，提高能力。

五、教学过程设计
教学流程示意图
结合教材内容和教学目标，以及本班学生的学情，本课的教学环节及时间分配如下：
按边分类 （7 分钟） 情境导入
（2 分钟） 明晰组成要素以及表示法 （4分钟） 例题
（ 7分钟）
教学过程
（一）创设情景，引入新课
【教学内容与教师活动】展示一组图片。

【学生活动】欣赏图片，读出这些图形形象的共性特征。

【设计意图】图片欣赏，自然引入三角形。

从遥远国度的建筑物，到随处可见的装饰品，从巨大的钢架岸桥到微小的分子结构，到处都蕴含着三角形这种图形形象。

（二）合作交流，明确定义
【教学内容与教师活动】请学生动手画一个三角形，并说一说是怎么画的。

【学生活动】经历定义三角形的过程，体验如何用数学的严谨方式定义一个研究对象。

【设计意图】三角形定义是一个操作性定义，在自己亲手画三角形的过程中，孩子们不难明白，“不在同一条直线上”，“首尾顺次相接”的含义。

三角形是平面图形，“不在同一条直线上”，“首尾顺次相接”就是它的图形特征。

在学生概括的过程中，教师通过问题的形式完善学生对三角形概念的归纳。

小学阶段对三角形的认识仅停留在感性层面，对定义的认识要提升到理性层面，需要有一个过程。

（三）明晰内涵，提高认识
【教师活动】同学们，刚才这位同学画了三条线段，围成了三角形。

是哪三条线段呢？我们怎么表示这三条线段呢？
【学生活动】学生主动对三个顶点进行字母表示
【教学内容】顺理成章地得出组成要素以及三角形的表示法。

强化边的两种表示、三角形的
角和角的区别，以及“△ABC”一般是按照字母顺序进行书写等细节。

【设计意图】得到了定义以后，接下来做什么？要素的定义和表示。

从教材体系看，七
年级学习线段和角。

它们既是并列的，又是关联的。

它们是平面几何图形并列的两个基本
元素。

与之前已有知识对照，有助于理解新知。

（四）感悟体验，形成分类
【教学内容】我们在七年级时，学习过两条线段的长短比较。

让学生观察所画的三角形，判断三条线段的长短。

【学生活动】学生可能会有a>b>c，a>c>b，b>a>c，c>a>b，a=b≠c，b=c≠a，a=c≠b，a=b=c
等等不同的写法。

【教学内容】引导学生从“相等不相等”的角度来概括归纳。

【学生活动】回忆等边和等腰三角形的概念，抓住定义对谁是谁的特殊情况进行辨析。

【教学内容】现在咱们能以“三角形的边”为分类标准，对所有三角形进行归类吗？
【学生活动】在刚才的基础上，更进一步完成分类。

【设计意图】先让学生对最容易混淆的等腰和等边三角形进行辨析，再进行全体三角形
分类，可以有效突破难点，学生更易于接受。

教师引导学生寻找是否“有两边相等”。

有两边相等就是等腰，没有两边相等就是不等边。

“分类”，是理解数学结构的关键一环，也是理清研究顺序的重要一环。

对于“分类”，
教师适时给予渗透，希望可以利用分类，来发展学生的研究意识和思维水平。

（五）观察发现，归纳性质
【教师活动】刚才我们讨论了三角形中，“有没有两条边相等”，据此对三角形进行了分类。

继续观察所画三角形，三条边相互之间还有没有其它的大小关系呢？
【学生活动】回忆小学所学。

【教师活动】在小学，大家应该都动手操作，摆过小木棒。

直观感受过，任意两边长度的和是大于第三边。

可是，通过观察、实验发现的数学结论，严格来说，只能称为猜想。

它必须要经历严格的推理，才能确认其正确性。

所以，大家能不能说说其中的道理呢？
【学生活动】学生回忆线段的基本性质，得出定理“三角形任意两边之和大于第三边”。

【教师活动】板书定理。

【设计意图】学生经历用符号语言表示、用文字语言概括的过程。

本环节，学生通过观察、回忆，不难得出“两边之和大于第三边”。

但引导孩子思考其中的道理，知其然更要知其所以然。

（六）内化新知，推论应用
【教学内容与教师活动】现在，我们把这个定理用于实际问题中.在三角形ABC中，
AB=8cm,AC=3cm.老师给大家提供几个边BC的长度值，大家看看，是否合适？
然后再依次取10cm、6cm、5cm、4cm
【学生活动】分别判断是否合适。

【教师活动】同学们，我们给出的三角形中有两条边是确定长度分别是3cm，8cm.当第三条
边长取12,11时不合适，取10,6时是可以的，取5和4又不行，同学们有没有什么发现呢？
【学生发现】BC不能取到任意长度。

【教师活动】如果把未知的这条线段设为xcm,x可以取哪些值呢？
【学生活动】独立思考，有想法后，和同伴交流。

【教学内容】几何画板动态演示：第三边的取值上下限。

【教师活动】根据刚才这位同学的发现，我们能不能推广到一般情况呢？如果老师把3和8换成a和b的话，第三边x的取值范围又是什么呢？
【学生猜想】第三条线段的长度应该要比a、b的差要大，比a、b的和要小。

【教师活动】论证这位同学的发现，重点看看这两条线段的差是怎么得到的？刚才定理对应的这组不等式都是和的形式，怎么样能得到差呢？
学生说出“移项”之后，进入探究。

【学生活动】学生独立思考，自主完成。

一位同学投影展示说明。

【教学内容】文字语言总结，板书推论。

【教师活动】关于第三边的取值范围，我们是不是也可以确定？板书应用。

【设计意图】通过老师引导，学生不难发现，当固定两边时，第三边是有取值范围的。

在思考过程中，既有理性认识（数的运算），又辅以感性认识（图形的运动变化）。

用最简洁的语言阐述最深刻的道理，用最直观的图形变化解释最深层的内涵，从数与形两个角度，发展学生的形象思维和逻辑推理能力。

然后从特殊到一般，提出猜想。

通过证明，得出三边关系的推论：三角形任意两边之差小于第三边。

这就在小学的基础上，更进一步了。

最后进入三边关系的应用：求第三边的取值范围。

引导学生提炼得出解决此类问题的方法，即：则以a,b为两边的三角形的第三边x的取值范围为：b
＜
-。

＜
a+
x
b
a
【教学内容】
【设计意图】通过变式练习，侧重分类讨论思想在等腰三角形三边关系中的运用。

关注学生，能否通过解题体会出“如何做研究”，思维是否得到训练，创造力是否得到培养。

（七）梳理小结，整体建构
【教学内容】同学们对三角形有了哪些新的认识呢？
【学生活动】学生边回顾，边梳理，边总结。

【教师总结】我们先从生活中的图形形象中抽象出了三角形这个几何图形，然后去研究它的定义、组成要素、表示法，组成要素有边和角两大类，本节课重点研究了边这个基本要素。

接着按边分类，再探究三边关系，最后加以应用。

一个三角形，边和角是基本的要素。

边与边有关系：“两边之和大于第三边”；角与角也有关系的：“内角和180度”，下一节我们会去研究；边与角也有关系，以后再研究。

这些最核心的组成要素之间的关系，就是基本性质。

一个三角形，除了组成要素以外，还有一些相关要素，比如三角形的高。

下节课，我们就来研究与三角形有关的其他线段。

这是研究三角形的顺序，其实也是研究几何图形的一般顺序。

【设计意图】
揭示对研究对象的背景、研究对象的定义、对研究对象的分类为前提的性质研究，最终形成一个研究数学问题的思维体系，体现了“思维之道”．依据几何图形的组成要素和相关要素分类，再研究性质的逻辑思维顺序，真正为发生学习迁移奠定基础．
板书设计
一、三角形定义 1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.组成元素：顶点、边、(内）
角
3.表示法：“△” “△ABC ”
二、三角形按边分类
三、三角形三边关系 1.定理：（内容） 2.推论：（内容） 3.应用：
已知a 、b,则第三边x 的取值范围是：
学生活动展示区
(辅助性板书)
六、教学目标检测设计
课后检测是对课堂的检测、巩固与提升．根据学情，在作业设计上，既有基础题型，也有提高提型。

基础过关：
1.以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是 （ ） A. 2,3,4 B. 2,3,5 C.2,5,10 D.8,4,4
2.一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长是（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 9或12
3. 已知等腰三角形的一边长等于12 cm ，腰长是底边长的43
，求它的周长.
思维拓展：
问题 已知一个三角形的三边长分别为35,12,--x x x ，其中有两边相等，求此三角形周长. 分析 此题只要根据两边相等，列出关于x 的方程，就可求出x 的值，同时还要检验所求x 的值能否使三条线段35,12,--x x x 组成三角形，最后求出周长.但题中未指明哪两条边相等，故必须分情形讨论.
【设计意图】必做题，层层递进。

练习 1 、练习 2 、练习 3 针对今天的知识点进行了巩固；练习4、练习5以等腰三角形研究对象，进一步强化三角形的三边关系，优化学生思维，提高能力。

选做题是课堂活动的延展，既面向全体学生，又满足学生个性发展的需要，是“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”的较好体现．并且，旨在让学生进一步体会分类思想．
七、教学设计思路说明
教学设计应充分考虑本阶段学生学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生学习兴趣，引发学生的数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质。

引导学生通过对现实问题的数学抽象获得数学对象，构建研究数学对象的基本路径，发现值得研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法，获得有价值的数学结论。

本节课教学设计的主要着眼点：
1.一条主线贯穿整节课，通过让学生画三角形、观察三角形，把“组成元素的提取——按边元素进行分类——三边关系的猜想”完整地、流畅地落实下来。

2.本节课对三边关系的探究，力求让学生经历完整的数学过程。

把如何发现和提出数学问题，作为教学的关键任务。

以实现从“知其然”到“知其所以然”再到“何有以知其所以然”的跨越。

重点关注：学生怎么会由“两边之和”想到“两边之差”？
在用性质定理解决问题的练习题中，学生发现，当固定两边长度时，第三边是有取值范围的，既有上限，也有下限。

当推广到一般情况时，猜想“第三边小于两边之和，大于两边之差”是否成立呢？自然过渡到对两边之差的探寻。

以数学知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性为着眼点，力求教学设计符合学生的思维规律和认知特点。

这样，“使学生学会思考，善于认识和解决问题”就能落在实处。

3.利用多媒体辅助教学，通过几何画板的演示，来凸现第三边的动态的变化过程，从数和形两个角度帮助学生理解第三边的上限和下限，从而突破教学难点。

4.结尾意味深长。

了解三角形组成要素（角、边）之间的稳定的联系、确定的关系就是性质，要素、相关要素之间确定的关系也是性质。

注重整体性，培养系统思维，希望学生可以养成全面思考问题的习惯，避免“见木不见林”。

明晰整章对于三角形的研究内容，引出几何图形研究的基本顺序。

固化这种学习研究方法，不仅对学生当前的学习有促进作用，而且对今后其他图形知识的研究也有潜移默化的促进作用——即研究对象在变，“研究套路”不变，思想方法不变。

数学思维不是静止孤立地研究一个问题，而是站在数学系统的角度有序思考，这既是数学学科本身的要求，也是学生思维发展的需要。

学生数学学科素养水平的达成不是一蹴而就的，具有阶段性、连续性、整合性。

教师不仅要关注每一节课的教学目标，更要关注单元教学目标。

5.限制课堂容量，放慢教学节奏。

真正的学习必须经历“感知——感悟——知识”的过程。

改变学生“不是做不到，而是想不到”的现象的唯一办法，就是放手让学生自己先想、先做，老师在如何想、如何做上加强引导。

给学生“悟出来”的时间，给学生说出自己想法的机会。

八、教学反思
1.一点疑惑：关于先行组织者。

我理解，先行组织者就是构建研究路径：比如认识的结构、普适性的思想方法、解决问题的策略等等。

按照文件中的教学提示，希望先回顾“角”的研究顺序，再类比进入“三角形”的研究。

可是，我个人觉得，“角”与“线段”类比学习，是合理而且必要的。

一是学习时间是紧挨着的，记忆深刻；二来它们是并列的、关联的，它们是平面几何图形两个基本元素，研究方法类似。

“三角形”应该作为“四边形”的先行组织者。

类比三角形的研究思路和方法，学生可以构建四边形的研究路径，得到平行四边形的有关结论。

而且，“角”如果作为“三角形”的先行组织者，引入前需要先带领学生回忆“角”的学习过程，会不会耗时较多？并且，我也思考，本节课是第十一章的第一节课，章头引言怎么用？
我深知，研究路径是要出的，可什么时候出更合适？开头、中间、还是结尾？纠结很久。

最后觉得，哪个位置不是最重要的，关键还在于让学生的思维得到发展。

只要教学设计靠近学生的最近发展区，有利于学生理解，就是好的设计。

最终，我选择放在结尾，在完成本节课学习任务的基础上，进行归纳总结，完善知识结构。

同时，也就放弃了“角”的类比引入。

2.一点遗憾：对分类的标准和意义未能渗透到位。

教师引导：如果要你对全体三角形进行分类，你会怎么做？当学生给出分类之后，教师应及时追问：说说你的分类标准是什么？分类标准的出发点在哪里？
其实，分类有两个问题要解决，一为什么要分类，二是如何分类。

追问的目的：
一是从概念出发思考问题，概念给出了三角形的内涵、要素，要素就是分类标准。

以边为分类标准，实际上将从形状上对三角形进行了区分。

二是渗透分类的意义——几何学习的逻辑体系。

我们对于几何图形的研究是有研究顺序的，遵循从一般到特殊的主线。

这一章，我们先研究一般三角形都具有的性质，第十三章再对特殊的等腰三角形进行专门研究。