2021年北京北方交通大学附属中学 高一数学理月考试题含解析

2020-2021学年北京北方交通大学附属中学高一数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数是偶函数的是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
2. 过点A（4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）
A．x+y=5 B．x﹣y=5
C．x+y=5或x﹣4y=0 D．x﹣y=5或x+4y=0
参考答案：
C
【考点】直线的截距式方程．
【分析】当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程，当直线不过原点时，设直线的方程是：x+y=a，把点A（4，1）代入方程求得a值．
【解答】解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是 y= x．
当直线不过原点时，设直线的方程是：x+y=a，把点A（4，1）代入方程得 a=5，
直线的方程是 x+y=5．
综上，所求直线的方程为 y= x 或 x+y=5．
故选 C．
【点评】本题考查用点斜式、截距式求直线方程的方法，体现了分类讨论的数学思想．
3. （5分）若奇函数f（x）在上为增函数，且有最小值8，则它在上（）
A．是减函数，有最小值﹣8 B．是增函数，有最小值﹣8
C．是减函数，有最大值﹣8 D．是增函数，有最大值﹣8
参考答案：
D
考点：奇偶性与单调性的综合．
专题：综合题；函数的性质及应用．
分析：根据f（x）在上的单调性及奇偶性可判断f（x）在上的单调性，从而可得其在上的最大值，根据题意可知f（1）=8，从而可得答案．
解答：∵f（x）在上为增函数，且为奇函数，
∴f（x）在上也为增函数，
∴f（x）在上有最大值f（﹣1），
由f（x）在上递增，最小值为8，知f（1）=8，
∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣8，
故f（x）在上有最大值﹣8，
故选D．
点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，属基础题，奇函数在关于原点的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．
4. 直线的倾斜角是（）
A
5. 从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ).
A.至少有一个黒球与都是黒球
B.至少有一个黒球与恰有1个黒球
C.至少有一个黒球与至少有1个红球
D.恰有个黒球与恰有2个黒球
参考答案：
D
略
6. 函数的图像必经过点（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．
Ｄ．
参考答案：
D
略
7. 设函数，用二分法求方程的解，则其解在区间
A.(1,1.5)
B.(1.5,2)
C.(2,2.5)
D. (2.5,3)
参考答案：
A
8. 两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线，
，和圆相切，则的取值范围是
A．或 B．或
C．或 D.或
参考答案：
D
9. 等比数列{a n}中，a4=2，a5=5，则数列{lga n}的前8项和等于（）
A．6 B．5 C．4 D．3
参考答案：
C
【考点】89：等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，a4=2，a5=5，
∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．
∴lga1+lga2+…+lga8
=lg（a1a2?…?a8）
=
4lg10
=4．
故选：C．
10. 函数y=（）的递减区间为（）
A．（1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣1，+∞）
参考答案：
D
【考点】复合函数的单调性．
【分析】令t=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，则y=，本题即求二次函数t的增区间，再利用二次函数的性值可得结论．
【解答】解：令t=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∵∈（0，1），y=，故本题即求二次函数t的增区间．
再利用二次函数的性值可得t=（x+1）2﹣4的增区间为（﹣1，+∞），
故选：D．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 定义运算，如.已知，，则
________
参考答案：
略
12. 若集合A={1,2,3}，则集合A的子集个数为__________．
参考答案：
8
记n是集合中元素的个数，集合A的子集个数为个．
13. 一个正四棱锥的三视图如右图所示，则此正四棱锥的侧面积为
参考答案：
60
由题意得，原几何体表示底面为边长为6的正方形，
斜高为5的正四棱锥，所以此四棱锥的侧面积为。

14. 已知向量，，的夹角为，则__________.
参考答案：
2
∵，的夹角为
∴
∴
故答案为2.
15. （5分）设集合M={y|y=3﹣x2}，N={y|y=2x2﹣1}，则M∩N=．参考答案：
[﹣1，3]
考点：交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．
分析：求二次函数的值域得到集合M，N，再根据两个集合的交集的定义求得M∩N．
解答：∵集合M={y|y=3﹣x2}={y|y≤3}=（﹣∞，3]，N={y|y=2x2﹣1}={y|y≥﹣1}=[﹣1，+∞），则M∩N=[﹣1，3]，
故答案为[﹣1，3]．
点评：本题主要考查求二次函数的值域，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．
16. 已知函数，对于下列命题：
①若，则；②若，则；
③，则；④．
其中正确的命题的序号是（写出所有正确命题的序号）．
参考答案：
①②
略
17. 已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为．
参考答案：
12+4
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】借助常见的正方体模型解决．由三视图知，该几何体由正方体沿面AB1D1与面CB1D1
截去两个
角所得，其表面由两个等边三角形、四个直角三角形和一个正方形组成．计算得其表面积为12+4【解答】解：由三视图知，AB=BC=CD=DA=2，CE⊥平面ABCD，CE=2，
AE⊥平面ABCD，AE=2，
EF=2，BE=BF=DE=DF=2，
则△DEF，△BEF为正三角形，
则S△ABF=S△ADF=S△CDE=S△CBE=×2×2=2，
S△BEF=×2×2×=2，
S△DEF═×2×2×=2，S正方形ABCD=2×2=4，
则该几何体的表面积S=4×2+2+2+4=12+4，
故答案为：12+4
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，求：（1）点P在直线上的概率；
（2）点P在圆外的概率.
参考答案：
解：（1）由上表格可知有6个，一共有36数据----------4分
所以P点在直线上的概率为 6/36=1/6.--- ---------------2分（2）在圆内的点P有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2）------------------------- 2分
在圆上的点P有（3，4），（4，3）----------------------------------1分
上述共有15个点在圆内或圆外.共有36个点坐标.--------------------------------1分
所以点P在圆外的概率为 1-15/36=7/12-------------------------------2分
略
19. （12分）已知函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（，0）
（1）求实数a的值；
（2）设g（x）=2﹣2，求当x∈（，）时，函数g（x）的值域；
（3）若g（）=﹣（＜a＜），求cos（α+）的值．
参考答案：
考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：（1）把点（，0）代入解析式，求出a的值；
（2）先利用两角差的正弦公式化简f（x），代入g（x）利用二倍角公式化简，由x的范围求出的范围，利用余弦函数的性质求出g（x）的值域；
（3）代入解析式化简g（）=﹣，由α的范围和平方关系求出的值，利用两角和的正弦公式求出sinα的值，利用诱导公式化简cos（α+）后即可求值．
解答：（1）因为函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（，0），所以sin+acos=0，解得a=﹣；
（2）由（1）可得，f（x）=sinx﹣cosx=，
所以g（x）=2﹣2=﹣2
==，
由x∈（，）得，∈（，），
则，所以，
则函数g（x）的值域：=sin（）cos+cos（）sin
=﹣×（）+=，
则cos（α+）=sinα=．
点评：本题考查三角恒等变换的公式，平方关系、三角函数值的符号的应用，以及余弦函数的性质，注意角之间的关系和角的范围，属于中档题．
20. 设全集，集合．
（1）求集合；
（2）（2）若，求实数的取值范围．
参考答案：21. 已知,集合，，若，
求实数的取值范围。

参考答案：
解：
（1）当时，有－－４分
（2）当时，有－－－－６分
又，则有
－－－１０分
由以上可知－－－－１２分
略
22. 已知函数f（x）=lg（）
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）求证：f（x）+f（y）=f（）；
（3）若f（）=1，f（）=2，求f（a），f（b）的值．
参考答案：
【考点】对数函数图象与性质的综合应用．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）由函数解析式可得＞0，求得函数的定义域关于原点对称．再根据f（﹣x）=﹣f （x），可得f（x）是奇函数．
（2）分别求得f（x）+f（y）=lg，f（）=lg，可得要证的等式成立．
（3）由条件利用（2）的结论可得 f（a）+f（b）=1，f（a）﹣f（b）=2，由此求得 f（a）和f （b）的值．
【解答】解：（1）由函数f（x）=lg（），可得＞0，即，解得﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1），关于原点对称．
再根据f（﹣x）=lg=﹣lg=﹣f（x），可得f（x）是奇函数．
（2）证明：f（x）+f（y）=lg+lg=lg，
而 f（）=lg=lg=lg，
∴f（x）+f（y）=f（）成立．
（3）若f（）=1，f（）=2，则由（2）可得 f（a）+f（b）=1，f（a）﹣f（b）=2，
解得 f（a）=，f（b）=﹣．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明，证明恒等式，对数的运算性质应用，式子的变形是解题的关键，属于中档题．。