高三数学第一轮复习 不等式的实际应用课件 新人教B

名师伴你行
不等式在方程、函数中的应用，主要是利用不 等式的解或者均值不等式求最值，或函数求最值.
返回目录
名师伴你行
［2010年高考天津卷］设函数f(x)=x2-1，对任意
x∈[ 3
2
,+∞），f（
x m
）-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立，则
实数m的取值范围是
.
【答案】 (-∞,- 3 ]∪[ 3 ,+∞)
λx2=4 840 cm2,
则x= 4840 ,
宣传画所用纸张的总面积为
y=(x+16)·（λx+10）=λx2+(16λ+10)x+160
4840
=5 000+16λ +10
4840
=5 000+44(810 +5 10 )
≥5 000+88· 8 10 5 10=6 760,
名师伴你行
返回目录
解得25＜v＜64.
答：当v=40千米/小时时，车流量最大，最大车流量约 为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千 辆/小时,则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64 千米/小时.
返回目录
名师伴你行
在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下4点:① 先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最值的变量定为 函数;②建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的 最值问题;③在定义域内,求出函数的最值;④正确写出答案.
3.应用不等式解决应用问题时要先弄清题意,据题 意列出不等式或函数式,再利用不等式知识求解.
返回目录
名师伴你行
名师伴你行
【分析】根据椭圆的定义、性质，以及直线与椭圆的位置关 系求解.
【解析】∵点P(x0,y0)满足0<
x
2 0
2
y<02 1,
∴点P在椭圆内,且不是坐标原点.
∴|F1F2|≤|PF1|+|PF2|<2a.
∴2≤|PF1|+|PF2|<2 2.
返回目录
由
x 0x 2
+y0y=1,得y=
1 y0
名师伴你行
2.不等式的解法及证法的基本应用:
(1)求函数的定义域、值域和最大值、最小值问题;
(2)判断函数的单调性及其相应的单调区间;
(3)利用不等式讨论方程的实根个数、分布范围和解含 参数的方程；
返回目录
名师伴你行
(4)将不等式同数学其他分支结合起来，解决一些有 实际应用价值的综合题.
3.解不等式应用问题的几个主要步骤: (1)审题,必要时画出示意图; (2)建模,建立不等式模型,即根据题意找出常量与变 量的不等关系;注意文字语言、符号语言、图形语言的 转换； (3)求解，利用不等式的有关知识解题.
即m≥ 3或m≤- 3.
2
2
返回目录
考点2 不等式在解析几何中的应用
名师伴你行
［2010年高考湖北卷］已知椭圆C: x2 y2 1的两焦
点为F1,F2,点P(x0,y0)满足0<
取值范围为,直线
x0x 2
y
0y
x
2 0
2
y
2 0
2 <1,则|PF1|+|PF2|的
=1与椭圆C的公共点个数
为
.
返回目录
返回目录
名师伴你行
考点1 不等式在函数方程中的应用
若关于x的方程4x+a·2x+a+1=0有实数解，求实数a 的取值范围.
【分析】换元后转化为一元二次方程在区间 (0,+∞)上有实数解的问题，也可分离参数转化为函 数求值域问题.
返回目录
名师伴你行
【解析】解法一：令t=2x(t＞0)，则原方程化为 t2+at+a+1=0，问题转化为方程在(0,+∞)
返回目录
名师伴你行
1.利用基本不等式求最值: 若p,k为常数,且a,b∈(0,+∞),则
(1)a·b=k,当且仅当a=b时,a+b有最 小 值 2 k ;
p2
(2)a+b=p,当且仅当a=b时,a·b有最 大 值 4 . 运用以上结论求最值,要注意以下三个问题:
返回目录
(1)要求各数均为 正数 ; (2)要求和或积为 定值 ; (3)要注意是否具备 等号 成立的条件.
名师伴你行
返回目录
名师伴你行
用不等式解决解析几何问题时,要注意利用问题中 的条件构造不等式,再用不等式的相关知识来解决.
返回目录
名师伴你行
[2009年高考江西卷]若不等式 9 - x2≤k(x+2)-
集为区间［a,b］,且b-a=2,则k=
2.
2的解
【解析】令y1= 9 - x2 ,y2=k(x+2)- 2 ,在同一个坐标
数关系为y=
920v (v＞0).
v2 3v1600
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最
大？最大车流量为多少（精确到此为止0.1千辆/小时）？
(2)若要求在该时段内车流量超过去时过去时10千辆/小时， 则汽车的平均速度应在什么范围内？
返回目录
名师伴你行
【分析】直接对y求最大值即可.可对解析式中分子、 分母同除以v，为运用均值不等式创造条件.
【解析】（1）依题意，y3(v92 1600)0 329126000 98230
当且仅当v=
1 600
v
，即v=40时，上式等号成立，
v
所以ymax=
920 83
≈11.1(千辆/小时).
返回目录
（2）由条件得
920v ＞10,
v2 3v1600
整理得v2-89v+1 600＜0,
名师伴你行
即（v-25）（v-64）＜0,
2-2)
=2-2 2 .
当“=”成立时，(t+1)2=2,∴t= 2 -1.
返回目录
ห้องสมุดไป่ตู้
❖1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 ❖2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 ❖3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 ❖4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 ❖5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 ❖6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022 ❖7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/162022/1/16January 16, 2022 ❖8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/162022/1/162022/1/162022/1/16
返回目录
名师伴你行
设计一幅宣传画,要求画面面积4 840 cm2,画面的宽和高
的比为λ(λ＜1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留
5 cm的空白.怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画
所用纸张最小？如果要使λ∈[ 宣传画所用纸张最小？
2],,那3 么λ为何值时，能使
34
返回目录
【解析】设高为x cm,则宽为λx cm,依题意有
2
2
返回目录
名师伴你行
【解析】∵f(x)=x2-1,x∈[ 3 ,+∞),
F( 即 ∴
x
m
x
m 1
2 )-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)对x∈[ 3 ,+∞)恒成立,
2
2
3
-1-4m2(x2-1)≤(x-1)2-1+4(m2-1)对x∈[
2
2 ,+∞)恒成立.
-4m2-1≤-2x-3x2对x∈[ 3 ,+∞）恒成立.
-
x0 2y 0
x.
代入椭圆的方程 x 2 y 2=1，得
(4x02y02 12)x2-yx002
21 xy02
-1=0.
4 x0 20y -44 x (0 20 2y 1 2)y 1 (0 2-1 )y 2 0 2(x 2 0 2y0 2)-1.
而
2
x
2 0
y
2 0
<1,∴Δ<0,∴没有公共点.
{ Δ≥0
⇔
方程较大根大于0
⇔a≤2-2 2.
{a2-4(a+1)≥0
⇔
- a + Δ ＞0
2
返回目录
名师伴你行
解法二：令t=2x(t＞0)，则原方程化为
t2+at+a+1=0，变形得
a= -
1+t2 (t2-1)+2 =-
1+t
=-〔(t-1)+
t
2 +
1
t+1
〕 =-［(t+1)+
t
2 +
1
-2］≤-(2
系中作出其图象.
因 9 - x2≤k(x+2)- 2的解集为
［a,b］且b-a=2,
结合图象知b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2 2 ).
∴k=
2 22 12
2.
返回目录
考点3 不等式 在实际问题中的应用
名师伴你行
经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车
流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函
名师伴你行
当且仅当 8 10 5 10
,即λ= 5 时等号成立；
8
当λ∈[
2 3
，
3 4
]时，上面解题过程中等号不可能成立，
5
设g（λ）=
8 +10 5 =10 8 10( ,显8然) 函
数在 ∈(0, ]，即5λ∈(0, ]时单调5 递减，在
8
λ∈[ ,+85∞)时单调递增，当λ∈[
2
8
, 2]时3单调递增，
34
即λ= 时取最3 小值.
返回目录
名师伴你行
1.不等式既是数学的基础知识,又是解决数学问题 的重要工具.在解决函数的定义域、值域、单调性、恒 成立、方程根的分布、参数取值范围、曲线位置关系 的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中都有 广泛的应用.
2.应用不等式解决数学问题时,关键在于把等量关 系转化为不等关系,把问题转化为不等式问题求解.
名师伴你行
学案5 不等式的实际应用
名师伴你行
考纲解读
考向预测 填填知学情 课内考点突破 规律探究
考点1 考点2 考点3
名师伴你行
考纲解读
能够运用不等式的性质、定理、公式 不等式的应用 及不等式的解法解决函数、方程、解
析几何、实际问题等的有关问题.
返回目录
名师伴你行
考向预测
不等式是贯穿整个高中数学的一根主线,高考试 题的解答题中,不等式与函数、方程、立体几何、解 析几何、数列的综合题频频出现，近几年高考试题加 强了对生产和生活密切联系实际的应用性问题的考查 力度.
m 2 - 2x - 3
2
令g(x)= x 2
,
则g(x) -x 3 2-x 2-3 x 1 2 (3 2) x-3 1 x1 3 ()21 3.
返回目录
名师伴你行
∵x≥ ,3 ∴0<
1
≤
2
.
12
∴当 =
x
x3
2 3
时，g(x)min=-
8
3.
∴ 1 -4m2-1≤- 8.
m2
3
整理得12m4-5m2-3≥0,(3m2+1)(4m2-3)≥0,4m2-3≥0,