和平区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

和平区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
一、选择题
1． 下面各组函数中为相同函数的是（ ）
A ．f （x ）
=
，g （x ）=x ﹣1
B ．f （x ）
=
，g （x ）
=
C ．f （x ）=ln e x 与g （x ）=e lnx
D ．f （x ）=（x ﹣1）0与g （x ）
=
2． i 是虚数单位，i 2015等于（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．i
D ．﹣i
3． 函数f （x ）在x=x 0处导数存在，若p ：f ′（x 0）=0：q ：x=x 0是f （x ）的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件
B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件
C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件
D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件
4． 函数y=a x +2（a ＞0且a ≠1）图象一定过点（ ）
A ．（0，1）
B ．（0，3）
C ．（1，0）
D ．（3，0）
5． 等差数列{a n }中，已知前15项的和S 15=45，则a 8等于（ ） A
．
B ．6
C
．
D ．3
6． 在复平面内，复数1z
i
+所对应的点为(2,1)-，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．3i --
B ．3i -+
C ．3i -
D ．3i +
7． 给出下列各函数值：①sin100°；②cos （﹣100°）；③tan （﹣100°）；
④．其中符号为
负的是（ ） A ．① B ．②
C ．③
D ．④
8． f
（）
=，则f （2）=（ ） A ．3
B ．1
C ．2
D
．
9． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}，B={0，1，4}，则（∁U A ）∪B 为（ ） A ．{0，1，2，4} B ．{0，1，3，4} C ．{2，4} D ．{4}
10
．双曲线
的焦点与椭圆
的焦点重合，则m 的值等于（ ）
A ．12
B ．20
C
．
D
．
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
11．如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（ ）
A ．
12+ B ．12+23π C ．12+24π D ．
12+π
12．若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．α∥β，l ⊂α，n ⊂β⇒l ∥n B ．α∥β，l ⊂α⇒l ⊥β C ．l ⊥n ，m ⊥n ⇒l ∥m D ．l ⊥α，l ∥β⇒α⊥β
二、填空题
13．台风“海马”以25km/h 的速度向正北方向移动，观测站位于海上的A 点，早上9点观测，台风中心位于其东南方向的B 点；早上10点观测，台风中心位于其南偏东75°方向上的C 点，这时观测站与台风中心的距离AC 等于 km ．
14．已知实数x ，y 满足2330220y x y x y ≤⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩
，目标函数3z x y a =++的最大值为4，则a =______．
【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
15．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()ln 4f x x x =+-的零点在区间
()1k k +，
内，则正整数k 的值为________． 16．在复平面内，复数
与
对应的点关于虚轴对称，且
，则
____．
17．已知()f x 是定义在R 上函数，()f x '是()f x 的导数，给出结论如下： ①若()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()x f x e -<的解集为(0,)+∞； ②若()()0f x f x '->，则(2015)(2014)f ef >； ③若()2()0xf x f x '+>，则1
(2)4(2),n n f f n N +*<∈；
④若()
()0f x f x x
'+
>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ⑤若()()x
e x
f x f x x
'+=，且(1)f e =，则函数()f x 在(0,)+∞上递增．
其中所有正确结论的序号是 ．
18．记等比数列{a n }的前n 项积为Πn ，若a 4•a 5=2，则Π8= ．
三、解答题
19．已知函数f （x ）
=
和直线l ：y=m （x ﹣1）．
（1）当曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线l 垂直时，求原点O 到直线l 的距离； （2）若对于任意的x ∈[1，+∞），f （x ）≤m （x ﹣1）恒成立，求m 的取值范围；
（3）求证：ln ＜
（n ∈N +
）
20．甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获
胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于
体力原因，第7场获胜的概率为．
（Ⅰ）求甲队分别以4：2，4：3获胜的概率；
（Ⅱ）设X 表示决出冠军时比赛的场数，求X 的分布列及数学期望．
21．已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=10． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）求数列{}的前n 项和．
22．已知定义在[]3,2-的一次函数()f x 为单调增函数，且值域为[]2,7． （1）求()f x 的解析式；
（2）求函数[()]f f x 的解析式并确定其定义域．
23．（本小题满分12分）
某超市销售一种蔬菜，根据以往情况，得到每天销售量的频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求频率分布直方图中的a 的值，并估计每天销售量的中位数；
（Ⅱ）这种蔬菜每天进货当天必须销售，否则只能作为垃圾处理．每售出1千克蔬菜获利4元，未售出的蔬菜，每千克亏损2元．假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，估计当超市每天的进货量为75千克时获利的平均值．
24．
已知函数
的图象在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（π，2）和（4π，﹣2）．
（1）试求f （x ）的解析式；
（2）将y=f （x ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），
然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象．写出函数y=g （x ）的解析式．
千克
和平区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：对于A：f（x）=|x﹣1|，g（x）=x﹣1，表达式不同，不是相同函数；
对于B：f（x）的定义域是：{x|x≥1或x≤﹣1}，g（x）的定义域是{x}x≥1}，定义域不同，不是相同函数；
对于C：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数；
对于D：f（x）=1，g（x）=1，定义域都是{x|x≠1}，是相同函数；
故选：D．
【点评】本题考查了判断两个函数是否是同一函数问题，考查指数函数、对数函数的性质，是一道基础题．2．【答案】D
【解析】解：i2015=i503×4+3=i3=﹣i，
故选：D
【点评】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．
3．【答案】C
【解析】解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．
根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立，
故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，
故选：C
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．
4．【答案】B
【解析】解：由于函数y=a x （a＞0且a≠1）图象一定过点（0，1），故函数y=a x+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（0，3），
故选B．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
5．【答案】D
【解析】解：由等差数列的性质可得：S15==15a8=45，则a8=3．
故选：D．
6．【答案】D
【解析】解析：本题考查复数的点的表示与复数的乘法运算，21z
i i
=-+，(1)(2)3z i i i =+-=+，选D ． 7． 【答案】B
【解析】解：：①sin100°＞0，②cos （﹣100°）=cos100°＜0，③tan （﹣100°）=﹣tan100＞0，
④∵sin
＞0，cos π=﹣1，tan
＜0，
∴＞0，
其中符号为负的是②， 故选：B ．
【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断，判断角所在的象限是解决本题的关键，比较基础．
8． 【答案】A
【解析】解：∵f （）=，
∴f （2）=f （
）=
=3．
故选：A ．
9． 【答案】A
【解析】解：∵U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}，
∴C U A={2，4}， ∵B={0，1，4}， ∴（C U A ）∪B={0，1，2，4}．
故选：A ．
【点评】本题考查集合的交、交、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
10．【答案】A
【解析】解：椭圆的焦点为（±4，0），
由双曲线的焦点与椭圆的重合，可得
=4，解得m=12．
故选：A ．
11．【答案】C
【解析】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱， 其表面积为
S=[×（2+8）×4﹣2×4]+[×π•（42﹣12）+×（4π×﹣π×）+×8π]
=12+24π． 故选：C ．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．
12．【答案】D
【解析】解：对于A ，α∥β，l ⊂α，n ⊂β，l ，n 平行或 异面，所以错误； 对于B ，α∥β，l ⊂α，l 与β 可能相交可能平行，所以错误；
对于C ，l ⊥n ，m ⊥n ，在空间，l 与m 还可能异面或相交，所以错误． 故选D ．
二、填空题
13．【答案】 25
【解析】解：由题意，∠ABC=135°，∠A=75°﹣45°=30°，BC=25km ， 由正弦定理可得AC==25
km ，
故答案为：25
．
【点评】本题考查三角形的实际应用，转化思想的应用，利用正弦定理解答本题是关键．
14．【答案】3-
【解析】作出可行域如图所示：作直线0l ：30x y +=，再作一组平行于0l 的直线l ：3x y z a +=-，当直线
l 经过点5(,2)3M 时，3z a x y -=+取得最大值，∴max 5()3273
z a -=⨯+=，所以max 74z a =+=，故
3a =-．
15．【答案】2
【解析】
16．【答案】-2
【解析】【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】由题知：
所以
故答案为：-2 17．【答案】②④⑤
【解析】解析：构造函数()()x g x e f x =，()[()()]0x g x e f x f x ''=+>，()g x 在R 上递增， ∴()x f x e -<()1x e f x ⇔<()(0)g x g ⇔<0x ⇔<，∴①错误；
构造函数()()x f x g x e =
，
()()
()0x
f x f x
g x e '-'=>，()g x 在R 上递增，∴(2015)(2014)g g >， ∴(2015)(2014)f ef >∴②正确；
构造函数2()()g x x f x =，2
()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+，当0x >时，()0g x '>，∴
1(2)(2)n n g g +>，∴1(2)4(2)n n f f +>，∴③错误；
由()()0f x f x x '+>得()()0xf x f x x '+>，即()()0xf x x
'>，∴函数()xf x 在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递
减，∴函数()xf x 的极小值为0(0)0f ⋅=，∴④正确；
由()()x e xf x f x x '+=得2
()()x e xf x f x x
-'=，设()()x
g x e xf x =-，则()()()x
g x e f x xf x ''=--(1)x x x e e e x x x
=-=-，当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，∴当
0x >时，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，∴⑤正确．
18．【答案】 16 ．
【解析】解：∵等比数列{a n }的前n 项积为Πn ，
∴Π8=a 1•a 2a 3•a 4•a 5a 6•a 7•a 8=（a 4•a 5）4=24
=16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查等比数列的计算，利用等比数列的性质是解决本题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：由f （x ）
=
，得
，
∴
，于是m=﹣2，直线l 的方程为2x+y ﹣2=0．
原点O 到直线l 的距离为；
（Ⅱ）解：对于任意的x ∈[1，+∞），f （x ）≤m （x ﹣1）恒成立，即，也就是
，
设
，即∀x ∈[1，+∞），g （x ）≤0成立．
．
①若m ≤0，∃x 使g ′（x ）＞0，g （x ）≥g （1）=0，这与题设g （x ）≤0矛盾； ②若m ＞0，方程﹣mx 2+x ﹣m=0的判别式△=1﹣4m 2，
当△≤0，即m
时，g ′（x ）≤0，
∴g （x ）在（1，+∞）上单调递减， ∴g （x ）≤g （1）=0，即不等式成立．
当0＜m ＜时，方程﹣mx 2
+x ﹣m=0的两根为x 1，x 2（x 1＜x 2），
，，
当x ∈（x 1，x 2）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，g （x ）＞g （1）=0与题设矛盾．
综上所述，m
；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当x ＞1，m=时，成立．
不妨令，
∴ln
，
（k ∈N *
）．
∴．
．
…
．
累加可得：，（n ∈N *
）．
即ln
＜
（n ∈N *
）．
【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了利用导数证明函数表达式，对于（Ⅲ）的证明，引入不等式
是关键，要求考生具有较强的逻辑思维能力和灵活变形能力，是
压轴题．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设甲队以4：2，4：3获胜的事件分别为A ，B ，
∵甲队第5，6场获胜的概率均为，第7场获胜的概率为，
∴
，
，
∴甲队以4：2，4：3获胜的概率分别为
和
．
（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为5，6，7，
∴
，P （X=6）=
，P （X=7）=
，
∴随机变量X 的分布列为
5 6 7
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，独立重复试验概率的乘法公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．
21．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2=0，a 6+a 8=10．
∴
，解得
，
∴a n ﹣1+（n ﹣1）=n ﹣2．
（2）=
．
∴数列{
}的前n 项和S n =﹣1+0++
+…+
，
=
+0+
+…+
+
，
∴=﹣1++…+﹣=﹣2+﹣=，
∴S n =．
22．【答案】（1）()5f x x =+，[]3,2x ∈-；（2）[]()10f f x x =+，{}3x ∈-. 【
解
析
】
试
题解析：
（1）设()(0)f x kx b k =+>，111] 由题意有：32,27,k b k b -+=⎧⎨
+=⎩解得1,
5,k b =⎧⎨=⎩
∴()5f x x =+，[]3,2x ∈-． （2）(())(5)10f f x f x x =+=+，{}3x ∈-． 考点：待定系数法．
23．【答案】（本小题满分12分）
解：本题考查频率分布直方图，以及根据频率分布直方图估计中位数与平均数． （Ⅰ）由(0.0050.0150.020.025)101a ++++⨯=得0.035a = （3分）
每天销售量的中位数为0.15
701074.30.35
+
⨯=千克 （6分） （Ⅱ）若当天的销售量为[50,60)，则超市获利554202180⨯-⨯=元；
若当天的销售量为[60,70)，则超市获利654102240⨯-⨯=元； 若当天的销售量为[70,100)，则超市获利754300⨯=元， （10分） ∴获利的平均值为0.151800.22400.65300270⨯+⨯+⨯=元. （12分） 24．【答案】
【解析】（本题满分为12分） 解：（1）由题意知：A=2，…
∵T=6π，
∴
=6π得
ω=，…
∴f （x ）=2sin （x+φ）， ∵函数图象过（π，2），
∴sin （+φ）=1，
∵﹣
＜φ+
＜
，
∴φ+=，得φ=…
∴A=2，ω=，φ=，
∴f （x ）=2sin （x+
）．…
（2）∵将y=f （x ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得函数y=2sin （x+）的图
象，
然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数g （x ）=2sin[（x ﹣
）+
]=2sin （
﹣
）的
图象．
故y=g （x ）的解析式为：g （x ）=2sin （
﹣
）．…
【点评】本题主要考查了由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，函数y=Asin （ωx+φ）的解析式的求法，其中根据已知求出函数的最值，周期，向左平移量，特殊点等，进而求出A ，ω，φ值，得到函数的解析式是解答本题的关键．。