备战中考数学备考之反比例函数压轴突破训练∶培优篇含答案(1)

备战中考数学备考之反比例函数压轴突破训练∶培优篇含答案(1)
一、反比例函数
1．在平面直角坐标系内，双曲线：y= （x＞0）分别与直线OA：y=x和直线AB：y=﹣
x+10，交于C，D两点，并且OC=3BD．
（1）求出双曲线的解析式；
（2）连结CD，求四边形OCDB的面积．
【答案】（1）解：过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，
∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°，
∵直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，
∴∠AOB=∠ABO=45°，
∴△CEO∽△DEB
∴= =3，
设D（10﹣m，m），其中m＞0，
∴C（3m，3m），
∵点C、D在双曲线上，
∴9m2=m（10﹣m），
解得：m=1或m=0（舍去）
∴C（3，3），
∴k=9，
∴双曲线y= （x＞0）
（2）解：由（1）可知D（9，1），C（3，3），B（10，0），∴OE=3，EF=6，DF=1，BF=1，
∴S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CDFE+S△DFB
= ×3×3+ ×（1+3）×6+ ×1×1=17，
∴四边形OCDB的面积是17
【解析】【分析】（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，由直线y=x
和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°，证明△CEO∽△DEB，从而可知 = =3，然后设设D（10﹣m，m），其中m＞0，从而可知C的坐标为（3m，3m），利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值．（2）求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案．
2．如图，点A在函数y= （x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y= 图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．
（1）当点C的横坐标为1时，求点B的坐标；
（2）试问：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．
（3）试说明：当点A在函数y= （x＞0）图象上运动时，线段BD与CE的长始终相等．【答案】（1）解：∵点C在y= 的图象上，且C点横坐标为1，
∴C（1，1），
∵AC∥y轴，AB∥x轴，
∴A点横坐标为1，
∵A点在函数y= （x＞0）图象上，
∴A（1，4），
∴B点纵坐标为4，
∵点B在y= 的图象上，
∴B点坐标为（，4）；
（2）解：设A（a，），则C（a，），B（，），
∴AB=a﹣ = a，AC= ﹣ = ，
∴S△ABC= AB•AC= × × = ，
即△ABC的面积不发生变化，其面积为；
（3）解：如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，
∵AB∥x轴，
∴△ABC∽△EFC，
∴ = ，即 = ，
∴EF= a，
由（2）可知BG= a，
∴BG=EF，
∵AE∥y轴，
∴∠BDG=∠FCE，
在△DBG和△CFE中
∴△DBG≌△CEF（AAS），
∴BD=EF．
【解析】【分析】（1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y= 可求得B点坐标；（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得△ABC的面积；（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．
3．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b 时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．
（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由；
（2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围；
（3）若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．【答案】（1）解：是“相邻函数”，
理由如下：y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，
∵y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，
∴当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，
∴﹣1≤y1﹣y2≤1，
即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”
（2）解：y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，
∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），
∴顶点坐标为：（1，a﹣1），
又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，
∴当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，
∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，
∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，
∴0≤a≤1
（3）解：y1﹣y2= ﹣（﹣2x+4）= +2x﹣4，构造函数y= +2x﹣4，
∵y= +2x﹣4
∴当x=1时，函数有最小值a﹣2，
当x=2时，函数有最大值，即a﹣2≤y≤ ，
∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，
∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，
∴1≤a≤2；
∴a的最大值是2，a的最小值1
【解析】【分析】（1）y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，因为y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，所以当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”；（2）y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，因为y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），所以顶点坐标为：（1，a﹣1），又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，所以当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即
0≤a≤1；（3）当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，因为函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，﹣1≤y1﹣y2≤1，即1≤a≤2，所以a的最大值是2，a 的最小值1.
4．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点A（1，4），B（m，n）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若二次函数的图象经过点B，求代数式的值；
（3）若反比例函数的图象与二次函数的图象只有一个交点，且该交点在直线y＝x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．
【答案】（1）解：将A（1，4）代入函数y＝得：k=4
反比例函数y＝的解析式是
（2）解：∵B（m，n）在反比例函数y＝上，
∴mn=4，
又二次函数y＝（x－1）2的图象经过点 B（m，n），
∴即n-1=m2-2m
∴
（3）解：由反比例函数的解析式为，令y＝x，可得x2＝4，解得x＝±2．
∴反比例函数的图象与直线y＝x交于点（2，2），（－2，－2）．
如图，
当二次函数y＝a（x－1）2的图象经过点（2，2）时，可得a＝2；
当二次函数y＝a（x－1）2的图象经过点（－2，－2）时，可得a＝－ .
∵二次函数y＝a（x－1）2图象的顶点为（1，0），
∴由图象可知，符合题意的a的取值范围是0＜a＜2或a＜－ .
【解析】【分析】（1）只需将点A的坐标代入反比例函数的解析式就可得出答案。

（2）根据B（m，n）在反比例函数图像上得出mn=4，将点B的坐标代入y=（x-1）2得到n-1=m2-2m，再将代数式变形为用含mn和m2-2m的代数式表示，然后再整体代入即可解决问题。

（3）可先求出直线y=x与反比例函数y=交点的坐标，然后分a>0和a<0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过两交点时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质（|a|越大，抛物线的开口越小）就可解决问题。

5．对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q 称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如：下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.
（1）分别判断函数y=x-1，y=x-1,y=x2有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；（2）函数y=2x2-bx.
①若其不变长度为零，求b的值；
②若1≤b≤3,求其不变长度q的取值范围；
（3）记函数y=x2-2x(x≥m)的图象为G1，将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤3,则m的取值范围为________.
【答案】（1）解：函数y=x-1没有不变值；
∵函数有-1和1两个不变值，
∴其不变长度为2；
∵函数有0和1两个不变值，
∴其不变长度为1；
（2）解：① 函数y=2x2-bx的不变长度为0，
方程2x2-bx=x有两个相等的实数根，
∴△=（b+1）2=0，
b=-1，
②∵2x2-bx=x，
∴，
1≤b≤3，
1≤ ≤2，
函数y=2x2-bx的不变长度的取值范围为1≤q≤2.
（3）1≤m≤3或m<-
【解析】【解答】解（3）依题可得：函数G的图像关于x=m对称，
∴函数G：y=，
当x2-2x=x时，即x（x-3）=0，
∴x3=0，x4=3，
当（2m-x）2-2（2m-x）=x时，
即x2+（1-4m）x+（4m2-4m）=0，
∴△=（1-4m）2-4×（4m2-4m）=1+8m，
当△=1+8m0时，即m-，此方程无解，
∴q=x4-x3=3-0=3；
当△=1+8m 0时，即m -，此方程有解，
∴x5=， x6=，
①当-m0时，
∵x3=0，x4=3，
∴x60，
∴x4-x63（不符合题意，舍去），
②∵当x5=x4时，
∴m=1，
当x6=x3时，
∴m=3，
当0m1时，
x3=0（舍去），x4=3，
此时0x5x4， x60，
∴q=x4-x63（舍去）；
当1m3时，
x3=0（舍去），x4=3，
此时0x5x4， x60，
∴q=x4-x63（舍去）；
当m3时，
x3=0（舍去），x4=3（舍去），
此时x53，x60，
∴q=x5-x63（舍去）；
综上所述：m的取值范围为：1m3或m < -，
【分析】（1）根据题目定义即可得出函数y=x-1没有不变值；再分别求出函数、函数的不变值，从而求出其不变长度.
（2）① 由已知条件得方程2x2-bx=x有两个相等的实数根，即根的判别式△=（b+1）2=0，从而求出 b=-1；
②由题意得2x2-bx=x，求出方程的根，再根据1≤b≤3，即可求出函数y=2x2-bx的不变长度的取值范围.
（3）依题可得：函数G的图像关于x=m对称，分情况讨论写出函数G的解析式，根据定义和一元二次方程求出值，再分情况讨论即可得出答案.
6．如图，一次函数y=﹣x+3的图象与反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
【答案】（1）解：∵点A（1，a）在一次函数y=﹣x+3的图象上，
∴a=﹣1+3=2，
∴点A（1，2）．
∵点A（1，2）在反比例y= （k为常数，且k≠0）的图象上，
∴k=1×2=2，
∴反比例函数的表达式为y= ．
联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，得：
，解得：，，
∴点B（2，1）
（2）解：作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，如图所示．
∵点B、B′关于x轴对称，
∴PB=PB′．
∵点A、P、B′三点共线，
∴此时PA+PB取最小值．
设直线AB′的函数表达式为y=mx+n（m≠0），
将A（1，2）、B（2，﹣1）代入y=mx+n，
，解得：，
∴直线AB′的函数表达式为y=﹣3x+5．
当y=﹣3x+5=0时，x= ，
∴满足条件的点P的坐标为（，0）．
【解析】【分析】（1）将x=1代入直线AB的函数表达式中即可求出点A的坐标，由点A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式，联立两函数表达式成方程组，通过解方程组即可求出点B的坐标；（2）作B点关于x轴的对称点B′（2，﹣1），连接AB’，交x轴于点P，连接PB，由两点之间线段最短可得出此时PA+PB 取最小值，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标．
7．【阅读理解】
我们知道，当a＞0且b＞0时，（﹣）2≥0，所以a﹣2 +≥0，从而a+b≥2 （当a=b时取等号），
【获得结论】设函数y=x+ （a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x= 即x= 时，函数y有最小值为2
（1）【直接应用】
若y1=x（x＞0）与y2= （x＞0），则当x=________时，y1+y2取得最小值为________．（2）【变形应用】
若y1=x+1（x＞﹣1）与y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），则的最小值是________
（3）【探索应用】
在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（0，﹣2），点P是函数y= 在第一象限内图象上的一个动点，过P点作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，设点P的横坐标为x，四边形ABCD的面积为S
①求S与x之间的函数关系式；
②求S的最小值，判断取得最小值时的四边形ABCD的形状，并说明理由．
【答案】（1）1；2
（2）4
（3）解：①设P（x，），则C（x，0），D（0，），
∴AC=x+3，BD= +2，
∴S= AC•BD= （x+3）（ +2）=6+x+ ；
②∵x＞0，
∴x+ ≥2 =6，
∴当x= 时，即x=3时，x+ 有最小值6，
∴此时S=6+x+ 有最小值12，
∵x=3，
∴P（3，2），C（3，0），D（0，2），
∴A、C关于x轴对称，D、B关于y轴对称，即四边形ABCD的对角线互相垂直平分，
∴四边形ABCD为菱形．
【解析】【解答】解：（1）∵x＞0，∴y1+y2=x+ ≥2 =2，∴当x= 时，即x=1时，y1+y2有最小值2，故答案为：1；2；（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴ = =
（x+1）+ ≥2 =4，∴当x+1= 时，即x=1时，有最小值4，故答案为：4；
【分析】（1）直接由结论可求得其取得最小值，及其对应的x的值；（2）可把x+1看成
一个整体，再利用结论可求得答案；（3）①可设P（x，），则可表示出C、D的坐标，从而可表示出AC和BD，再利用面积公式可表示出四边形ABCD的面积，从而可得到S 与x的函数关系式；②再利用结论可求得其最得最小值时对应的x的值，则可得到P、C、D的坐标，可判断A、C关于x轴对称，B、D关于y轴对称，可判断四边形ABCD为菱形．
8．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y= 的图象上．
（1）求反比例函数y= 的表达式；
（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP= S△AOB，求点P的坐标；
（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上．
【答案】（1）解：∵点A（，1）在反比例函数y= 的图象上，
∴k= ×1= ，
∴反比例函数表达式为y= .
（2）解：∵A（，1），AB⊥x轴于点C，
∴OC= ，AC=1，
∵OA⊥OB，OC⊥AB，
∴∠A=∠COB，
∴tan∠A= =tan∠COB= ，
∴OC2=AC•BC，即BC=3，
∴AB=4，
∴S△AOB= × ×4=2 ，
∴S△AOP= S△AOB= ，
设点P的坐标为（m，0），
∴ ×|m|×1= ，解得|m|=2 ，
∵P是x轴的负半轴上的点，
∴m=﹣2 ，
∴点P的坐标为（﹣2 ，0）
（3）解：由（2）可知tan∠COB= = = ，
∴∠COB=60°，
∴∠ABO=30°，
∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，
∴∠OBD=60°，
∴∠ABD=90°，
∴BD∥x轴，
在Rt△AOB中，AB=4，∠ABO=30°，
∴AO=DE=2，OB=DB=2 ，且BC=3，OC= ，
∴OD=DB﹣OC= ，BC﹣DE=1，
∴E（﹣，﹣1），
∵﹣ ×（﹣1）= ，
∴点E在该反比例函数图象上
【解析】【分析】（1）由点A的坐标，利用待定系数法可求得反比例函数表达式；（2）由条件可求得∠A=∠COB，利用三角函数的定义可得到OC2=AC•BC，可求得BC的长，可求得△AOB的面积，设P点坐标为（m，0），由题意可得到关于m的方程，可求得m的值；（3）由条件可求得∠ABD=90°，则BD∥x轴，由BD、DE的长，可求得E点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．
9．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(-2,4)，B(-2，-2)，C(4，-2)，D(4,4).
（1）填空：正方形的面积为________；当双曲线(k≠0)与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是________.
（2）已知抛物线L： (a>0)顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于
点E，F，过点B的双曲线(k≠0)与边DC交于点N.
①点Q(m，-m2-2m+3)是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别求运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标.
②当点F在点N下方，AE=NF，点P不与B，C两点重合时，求的值.
③求证：抛物线L与直线的交点M始终位于轴下方.
【答案】（1）36；0<k<4或-8<k<0
（2）解：①由题意可知，，
当m=-1，最大=4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（-1，4）
当m<-1时，随m的增大而增大，当m=-2时，最小=3，
当m>-1时，随m的增大而减小，当m=4时，最小=-21，
3>-21，∴最小=-21，点Q在最低位置时的坐标（4，-21）
∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（-1，4），最低位置时的坐标为（4，-21）②将点B（-2，-2）代入双曲线得，∴k=4，∴反比例函数解析式为
N点横坐标x=4，代入得，∴N（4，1）
由顶点P（m，n）在边BC上，∴，BP= ，CP=
E点横坐标x=-2，F点横坐标x=4，分别代入抛物线可得
E ，
F ，
∴BE= ，CF= ，
∴，
又∵AE=NF，点F在点N下方，
∴
化简得，∴
③由题意得，M ，，
∵二次函数对称轴为m=1，，
∴当m=1时，取得最小值为，
当或4时，最大为，
当m=4时，抛物线L为，
E点横坐标为-2，代入抛物线得，∴E
F点横坐标为x=4，代入抛物线得，∴
∵E点在AB边上，且此时不与B重合，
∴，解得
∴，∴
当时，抛物线L为
同理可得E ，F
∵F在CD边上，且此时不与C重合
∴，解得，
∴，∴
综上，抛物线L与直线x=1的交点始终位于x轴的下方.
【解析】【解答】（1）解：由点A（-2，4），B（-2，-2）可知正方形的边长为6，
∴正方形面积为36；
当反比例函数在一、三象限时，若经过B（-2，-2）则，若经过D(4,4)，则，根据图像特征，要有4个交点，则0<k<4；
当反比例函数在二、四象限时，若经过A(-2,4)则，若经过C(4，-2)则，根据图像特征，要有4个交点，则-8<k<0，
综上，k的取值范围是0<k<4或-8<k<0.
【分析】（1）由坐标求出正方形的边长，即可求出面积，讨论反比例函数在一、三象限和二、四象限时，利用数形结合求出k的范围；（2）①由题意可知，，
分，和分别讨论Q点符合条件的坐标；②将点B（-2，-2）代入双曲线，可求k=4和N（4，1），再表示出点 E 和 F ，可推出BE= ，CF= ，
，再根据AE=NF可推出
，进而可求的值；③由题意得，M ，
，当m=1时，最小为，当或4时，最大为，再分别讨论当m=4时,根据E点不与B点重合，列出不等式可得
，当时， F点不与C点重合列出不等式可得，即可得证. 10．已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数.
（1）求的值；
（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于的二次函数的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于轴左侧的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G.当直线与图象G有3个公共点时，请你直接写出的取值范围.
【答案】（1）解：∵方程有实数根，∴ .
∴，解得 .
∵为正整数，∴为1，2，3
（2）解：当时，，方程的两个整数根为6，0；
当时，，方程无整数根；
当时，，方程的两个整数根为2，1
∴ ,原抛物线的解析式为： .
∴平移后的图象的解析式为
（3）解：翻折后得到一个新的图象G的解析式为，
联立得，即 .
由得 .
∴当或时，直线与有一个交点，当时，直线与有两个交点.
联立得，即 .
由得 .
∴当或时，直线与有一个交点，当时，直线与有两个交点.
∴要使直线与图象G有3个公共点即要直线与
有一个交点且与有两个交点；或直线与有两个交点且与有一个交点.
∴的取值范围为 .
【解析】【分析】(1)由求出正整数解即可.（2）求出方程有两个不为0的整数根时的二次函数解析式，根据平移的性质得到平移后的函数图象的解析式.（3）分直线与有一个交点且与有两个交点和直线与有两个交点且与
有一个交点两种情况求解即可
11．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动．点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒．
（1）当t=________时，PQ∥AB
（2）当t为何值时，△PCQ的面积等于5cm2？
（3）在P、Q运动过程中，在某一时刻，若将△PQC翻折，得到△EPQ，如图2，PE与AB 能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
能垂直，理由如下：
延长QE交AC于点D，
∵将△PQC翻折，得到△EPQ，
∴△QCP≌△QEP，
∴∠C=∠QEP=90°，
若PE⊥AB，则QD∥AB，
∴△CQD∽△CBA，
∴，
∴，
∴QD=2.5t，
∵QC=QE=2t
∴DE=0.5t
∵∠A=∠EDP，∠C=∠DEP=90°，
∴△ABC∽△DPE，
∴
∴，
解得：，
综上可知：当t= 时，PE⊥AB
【答案】（1）2.4
（2）解：∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB 向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，
∴PC=AC-AP=6-t，CQ=2t，
∴S△CPQ= CP•CQ= ＝5，
∴t2-6t+5=0
解得t1=1，t2=5（不合题意，舍去）
∴当t=1秒时，△PCQ的面积等于5cm2
（3）解：
【解析】【解答】解：(1) ∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q 从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，
∴PC=AC-AP=6-t，CQ=2t，
当PQ∥AB时，∴△PQC∽△ABC，
∴PC：AC=CQ：BC，
∴(6-t)：6=2t：8
∴t=2.4
∴当t=2.4时，PQ∥AB
【分析】（1）根据题意可得PC=AC-AP=6-t，CQ=2t，根据平行线可得△PQC∽△ABC，利用相似三角形对应边成比例可得PC：AC=CQ：BC，即得(6-t)：6=2t：8，求出t值即可；
（2）由S△CPQ=CP•CQ =5，据此建立方程，求出t值即可；
（3）延长QE交AC于点D，根据折叠可得△QCP≌△QEP，若PE⊥AB，则
QD∥AB，可得△CQD∽△CBA，利用相似三角形的对应边成比例，求出DE=0.5t，根据
两角分别相等可证△ABC∽△DPE，利用相似三角形对应边成比例，据此求出t 值即可.
12．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）
（1）求抛物线的解析式
（2）点D为抛物线的顶点，DE⊥x轴于点E，点N是线段DE上一动点
①当点N在何处时，△CAN的周长最小？
②若点M（m，0）是x轴上一个动点，且∠MNC＝90°，求m的取值范围．
【答案】（1）解：函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a=﹣3，解得：a=1，故函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3
（2）解：①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N，则此时△CAN的周长最小．
设过点A、C'的一次函数表达式为y=kx+b，则：，解得：，故直线AC'的表达式为：y=﹣x﹣1，当x=1时，y=﹣2，故点N（1，﹣2）；
②如图2，过点C作CG⊥ED于点G．
设NG=n，则NE=3﹣n．
∵∠CNG+∠GCN=90°，∠CNG+∠MNE=90°，∴∠NCG=∠MNE，则tan∠NCG=n=tan∠MNE
，故ME=﹣n2+3n，∴﹣1＜0，故ME有最大值，当n时，ME，则m
的最小值为：；
如下图所示，当点N与点D重合时，m取得最大值．
过C作CG⊥ED于G．
∵y=x2﹣2x﹣3= y=（x－1）2﹣4，∴D（1，－4），∴CG=OE=1．
∵EG=OC=3∴GD=4－3=1，∴CG=DG=1，∴∠CDG=45°．
∵∠CDM=90°，∴∠EDM=45°，∴△EDM是等腰直角三角形，∴EM=ED=4，∴OM=OE+EM=1+4=5，∴m=5．
故：m≤5．
【解析】【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3）=a（x2﹣2x﹣3），即可求
解；（2）①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'（2，﹣3），连接AC'交DE于点N，则此时△CAN的周长最小，即可求解；②如图2，ME=﹣n2+3n，求出ME最大值，则可求出m的最小值；当点N与点D处时，m取得最大值，求解即可．。