甘肃省张掖二中高三数学10月月考试题 理.doc

张掖二中—高三月考试卷（10月）高三数学（理科）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个
是符合题目要求的) 1．设集合U={0,1,2,3,4 }，A={1,2,3}，B={2,0}，则
A (C U B)=
( )
A. {2}
B. {2,3}
C. {1,3}
D. {3}
2．已知=∈-=+θππθθπcot 22
3,21)23sin(
），则，（且（ ） A
B
．C
．3
D ．
3-
3．已知等比数列
{}n a 中，91,,0a a a
n
>为方程016102=+-x x 的两根，则852a a a 的值
为 （ ） A ．32 B ．64 C ．128 D ．256
4．设ｂ、ｃ表示两条直线，α、β表示两个平面，下列命题中真命题是 ( )
Ａ．若ｂ⊂α，ｃ∥α，则ｂ∥ｃ
Ｂ．若ｂ⊂α，ｂ∥ｃ，则ｃ∥α Ｃ．若ｃ∥α，ｃ⊥β，则α⊥β
D ．若ｃ∥α，α⊥β，则ｃ⊥β
5．已知n
x
x )52(4-
展开式中，各项系数的和为81，则n 等于 ( ) A. 3
B.4
C. 5
D. 6
6. 设双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的离心率为3，且它的一条准线与抛物线
x y 42=的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
A ．16322=-y x
B ．132322=-y x
C ．1964822=-y x
D ．
124
122
2=-y x 7. 设三棱锥的3条侧棱两两垂直，其长度分别为2、4、4，则其外接球的表面积为 ( )
A.π48
B. π36
C. π32
D.π12
8．某小组有4名男生，5名女生，从中选派5人参加竞赛，要求有女生且女生人数少于男
生人数的选派方法种数有
（ ） A. 40
B. 45
C. 105
D. 110
9. 若直线2y x c =+按向量a =（1，-1）平移后与圆
22
5x y +=相切，则c 的值为 （ ）
A ． 8或-2
B ．6或-4
C ．4或-6
D ．2或-8 10．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解
密),已
知加密规则为:明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++,例如,1,2,3,4对应密文
5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为 （ ）
A ．4,6,1,7
B ．7,6,1,4
C ．6,4,1,7
D ．1,6,4,7
11．已知)(x f y =是其定义域上的单调递增函数，它的反函数是
)1(),(1
+==-x f y x f
y 且 的图象过A （－4，0），B （2，3）两点，若3|)1(|1
≤+-x f
，
则x 的取值范围是 （ ） A ．[0，3] B ．[－4，2]
C ．[1，3]
D ．[－1，2]
12．P 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 左支上的一点，21F 、F 分别是左、右焦点，且焦
距为2c ，则△21F PF 的内切圆的圆心的横坐标为
（ ） A ．b -
B ．a -
C ．c -
D ．c b a -+
张掖二中—高三月考试卷（10月）
线上。

13．已知函数f （x ）=21
(1)1(1)x x x x a x ⎧->⎪
-⎨⎪+≤⎩
在x=1处连续，则实数a 的值为 ；
14．设x ,y 为正数 ,则)2
1)(
2(y
x y x ++的最小值是 ． 15．已知||=1，||=3，OA ·OB =0, 点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°，设=m +n ( m, n ∈R), 则m
n 等于 ;
16．给出下列命题
①若命题P 和命题Q 中只有一个是真命题，则⌝P 或Q 是假命题； ②6π≠
α或6π≠β是1
cos()2
αβ+≠成立的必要不充分条件； ③若定义在R 上的函数y =f （x ）满足(1)1(),()f x f x f x +=-则是周期函数； ④若
[1()]11lim n n r r →∞
+=+，则r 的取值范围是12r >-． 其中所有正确命题的序号是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．(本题满分10分) 设函数
))(2sin 3,(cos ),1,cos 2(,)(R x x x x x f ∈==⋅=其中向量
（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC 中，a 、 b 、 c 分别是角A 、B 的对边，
c b c b a A f >=+==,3,3,2)(，求b ，c 的长．
18．(本题满分12分) 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能
答对其中6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格. （1）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
19．(本题满分12分) 如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱OA OB OC ，，两两垂直，且1OA =，2OB OC ==，E 是OC 的中点． （1）求O 点到面ABC 的距离； （2）求异面直线BE 与AC 所成的角； （3）求二面角E AB C --的大小．
(本题满分12分) 已知函数32(1)()ln (1)x x bx c x f x a x x ⎧-+++<=⎨≥⎩
的图象过
点(1,2)-，且在2
3
x =处取得极值．
(1) 求实数,b c 的值；
(2) 求()f x 在[1,]e - （e 为自然对数的底数）上的最大值.
Ａ
Ｏ
Ｅ
Ｃ
Ｂ
21．(本题满分12分)
已知椭圆的两个焦点12(F F ，且椭圆短轴的两个端点
与
2
F 构成正三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线l 与椭圆交于不同两点P 、Q ，若在x 轴上存在定点E （m ，0），使⋅恒为定值，求m 的值.
22．(本题满分12分)已知定义在R 上的单调函数)(x f y =对任意的实数x ，y ，都有
)()()(y f x f y x f =+.
(Ⅰ)求)0(f 的值；
(Ⅱ)数列}{n a 满足)0(1f a =且)()
2(1
)(*1N n a f a f n n ∈--=+
①求通项公式n a 的表达式；
②令n
a n
b )
2
1(=，n n b b b S +++= 21，,1
111
3221++++=
n n n a a a a a a T 试比较n S 与n T 3
4
的大小，并加以证明.
高三理科数学参考答案及评分标准（10月）
13．1 14．9 15．3 16．②③④ 三、解答题：
17．(本题满分10分)解（Ⅰ）x x x f 2sin 3cos 2)(2+=12cos 2sin 3++=x x
1)6
2sin(2++
=π
x
……………4分
∴ππ
==
2
2T ……………5分
（Ⅱ）f (A ) = 2， 即3
,21)62sin(ππ
==
+
A A bc c b A bc c b a -+=-+=22222cos 2
∴b 2 + c 2
－bc = 3 ①
又b 2 + c 2
+ 2bc = 9 ②
②－① bc = 2 ③ ……………8分
b +
c = 3 ④ b > c ⑤
由③，④解出⎩⎨
⎧==1
2
c b ……………10分 18．(本题满分12分) )解：依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：
…………4分
甲答对试题数ξ的数学期望：
5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE …………………………………… 6分
（Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为B A 、
则
3
2
120801202060)(3
10
36
1426==+=
+=
C C C C A P
15
14
1201121205656)(3
10
3
8
1228==+=
+=
C C C C B P …………………9分
甲、乙两人考试均不合格的概率为：
451
15131)15141)(321()()()(=
⨯=--=⋅=B P A P B A P
∴甲．乙两人至少一个合格的概率为144
1()14545
P P AB =-=-
=
………12分 19:. (本题满分12分) (1)取BC 的中点D ,连AD 、OD ,OB OC OD BC =⊥则、,AD BC ⊥
.,BC OAD O OH AD H ∴⊥⊥面过点作于
则OH ⊥面ABC ,OH 的长就是所要求的距离
.BC OD = OA OB ⊥、OA OC ⊥， ,.OA OBC OA OD ∴⊥⊥面则
AD =OAD
中，有OA OD OH AD ⋅==
（另解：由112,3
6
3
ABC V S OH OA OB OC OH ∆=⋅=⋅⋅==知 ……………4分
(2)取OA 的中点M ，连EM 、BM ，则EM ∥,AC BEM ∠是异面直线BE 与AC 所成的角.求得
:
2221222
cos ,arccos .
255
EM AC BE BM BE ME BM BEM BEM BE ME =
===+-∠==∴∠=⋅ ……………8分 (3)连结CH 并延长交AB 于F ,连结OF 、EF .
,.,,,OC OAB OC AB OH ABC CF AB EF AB ⊥∴⊥⊥∴⊥⊥面又面
则EFC ∠就是所求二面角的平面角.作EG CF ⊥于G ,
则12
EG OH ==
在直角三角形OAB 中
,OA OB OF AB
⋅=
在直角三角形OEF 中
,EF
6sin 3EG EFG EFG EF ∠===∠=或表示为 ……………12分
方法二:(1)以O 为原点,OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.
则有(0,0,1)A 、(2,0,0)B 、(0,2,0)C 、(0,1,0).E 设平面ABC 的法向量为1(,,),n x y z = 则由11:20;n AB n AB x z ⊥⋅=-=知 由11:20.n AC n AC y z ⊥⋅=-=知取
1(1,1,2)n =，则点O 到面ABC
的距离为11
1n OA d n ⋅=
=
……4分
(2)(2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(0,2,1).EB AC =-=
-=-
cos <,EB AC >2
,5=
=-所以异面直线BE 与AC 所成的角2arccos 5. ………8分
(3)设平面EAB 的法向量为(,,),n x y z =则由n AB ⊥知:20;n AB x z ⋅=-= 由n EB ⊥知:20.n EB x y ⋅=-=取(1,2,2).n = 由(1)知平面ABC 的法向量为1(1,1,2).n = 则cos <1,n n
>11
189n n n n ⋅
=
=
==
⋅结合图形可知,二面角E AB C --的大小为:. ……………12分 本题满分12分)
解：
（1）当1x <时，2'()32f x x x b =-++， ……………………………………1分
由题意得：()122'03f f -=⎧⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭
⎩，即2244
3093b c b -+=⎧⎪
⎨-⨯++=⎪⎩， …………………………………3分 解得：0b c ==。

…………………………………5分
（2）由（1）知：32(1)
()ln (1)x x x f x a x
x ⎧-+<=⎨≥⎩
①当11x -≤<时，'()(32)f x x x =--，
解'()0f x >得203x <<；解'()0f x <得10x -<<或2
13x <<
∴()f x 在(10)-，
和2(,1)3
上单减，在2
(0)3，上单增， 由'()(32)0f x x x =--=得：0x =或2
3
x =，………………………………………6分
∵ 24
(1)2()(0)0(1)0327
f f f f -==
==，，，， ∴()f x 在[1,1)-上的最大值为2. ……………………………………………………8分 ②当1x e ≤≤时，()ln f x a x =，
当0a ≤时，()0f x ≤；当0a >时，()f x 在[1,]e 单调递增；
∴()f x 在[1,]e 上的最大值为a 。

……………………………………………………10分 ∴当2a ≥时，()f x 在[1,]e -上的最大值为a ； ……………………………………11分 当2a <时，()f x 在[1,]e -上的最大值为2. ……………………………………12分
21．(本题满分12分)
解：（1）由题意知 c =3又∵椭圆的短轴的两个端点与2F 构成正三角形
∴b =1 从而2a = ∴椭圆的方程为22
4
y x +=1 ………………3分 （2）设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为()1-=x k y
()⎪⎩
⎪⎨⎧-==+114
22
x k y y x 消y 得 ()0448142
222=-+-+k x k x k …………5分 设()()
2211,,,y x Q y x P ，则由韦达定理得 1
4822
21+=
+k k x x
1
4442221+-=k k x x …………7分
则()()2211,,y x m y x m --=--=
∴()()2121y y x m x m QE PE +--=⋅=()2121212
y y x x x x m m +++-
=()()()2212121211m m x x x x k x x -+++--
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-+-++-++-1148144414441482222
222222
k k k k k k k k k m m =()()1441842222+-++-k m k m m (10)
要使上式为定值须
224814
41
m m m -+=-， 得 178m =
故17
8
m =时，QE PE ⋅为定值………………………12分 22、(本题满分14分)
（1）令y=0得f(x)[1-f(0)]=0，则f(0)=1 ……………3分 （2）①由递推关系知),0()2(,1)2()(11f a a f a f a f n n n n =--=--⋅++即
从而.12,1)(,211-==∈=-+
+n a a N n a a n n n 故，又 ……………6分
②n n n n n n T S n n a a T S 3412)11(21),4
11(3211与欲比较+=-=-=
+的大小，只需比较124+n n 与的大小，由=1，2，3代入可知4n >2n+1，猜想4n >2n+1. ……………9分
下面用数学归纳法证明
（i ）当n=1时，41
>2×1+1成立
（ii ）假设当n=k 时命题成立，即4k
>2k+1
当n=k+1时，4k+1=4×4k
>4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+1>2(k+1)+1， 说明当n=k+1时命题也成立.
由（i ）（ii ）可知，4n >2n+1 对于n∈N *
都成立.
故S n >n T 3
4.………………………………………………………………12分 注：证明4n
>2n+1，除用数学归纳法证明以外，还可用其它方法证明，
如：4n =(1+3)n =1+.1231333221+>+≥⋅++⋅+⋅n n C C C n
n n n n。