2018江苏专转本数学冲刺(预测)

4．并集法——分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.
例1.求函数 的定义域
解：10（排除法） 的定义域 .
20（代入法） 的定义域为：
故 的定义域为 .
例2．设 ，求
的定义域.
解：10（并集法） 定义域为
.
20 定义域：由代入法
0 2 0 3
定义域：由代入法：
0 2 2 4.
30 的定义域： 定义域与
30 的反函数为
§
一、有界性——若存在正数M，有｜ ｜ M， D，则称 在D上有界
二、奇偶性——若 的定义域D关于原点对称，且 =- ，（或 ），则称 为奇函数（或偶函数）
三、单调性—— 1， 2 D，当 1< 2时 ( 1)<f( 2) (或 ( 1)> ( 2))则称 ( )在D上单调增加（或单调减少）
四、周期性——若 ， T D且 ( T)= 则称 是以T为周期的周期函数。
例1．证明 在（ ， ）有界
证：10因为
1+ 2 2｜ ｜
20因为 =
在（ ， ）有界
注：常见的有界函数有 ， ， ，
例2．判别 = 的奇偶性．
解：10求 = 的定义域
因为 >0∴ 或 解出-1< <1关于原点对称
20因为 = =
注：（ⅰ）若 ，则 称为当 时的无穷小量。
（ⅱ）若 ，则 称为 当 时的极限
若 ，则 称为 当 时的极限
（ⅲ）
二、函数极限的性质
1.唯一性：若 存在，则其极限值是唯一的．
2.局部有界性：若 存在，则 在 的某邻域 有界．
3.局部保号性：若 且 ，则在 有 ．
4.无穷小量乘有界量仍是无穷小量。
5.有限个无穷小量的和、差、积是无穷小量．
例1．求
解:原式=
= 分子、分母同除
=
注：原式=
例2.求
解:原式
= 分子、分母同除
=
2.利用等差数列、等比数列求和公式求极限。
(1)设 为等差数列.则其前n项和
(2)设 为等比数列，其中 为公比.则前n项和 ;
例1．求
解：10因为
20原式
例2．求
解：10
20原式
3．裂项相消法——分解和式中的各项，使前后两项相消
又∵
∴
故有
=
答： ＝1 ＝－1
解法 因为
（1- ）=0,故有 ＝1，
答： ＝1 ＝－1
§３无穷小量阶的比较
设 ，则
例1．设 ，
当 时，试比较 与 的阶
解：当 时，
因为
∴当 时， ， 是同阶无穷小
例2．当 时， 与 是等价无穷小，则 =………( D )
A、1B、2C、3D、4
解：
= 4 ,选D
第三讲：函数的连续性与导数、微分的概念
定义域的交集.
即 ，故 的定义域为
三、求函数表达式的方法
通常采用：代入法、或变量代换法、或拼凑法.
例1.设 = 求 及其定义域.
解：10
20 的定义域： ，故 定义域为
注：本例使用了代入法
例2.设 求
解：（拼凑法）
=
∴ （）= +1
故
四、反函数的求法
1．从直接函数 中反解出 ，得 =
2．将 、 互换得反函数
例1．设 ，求 及 .
解：
，
注：利用一阶微分形式不变性。
例2．设 求 ，
∴ ， ，故 ①
因为 在 可导
=
故有
把 代入①， 得b = 2 .
答： ，b = 2 .
§
一、微分的定义——若
可表示为 则 称为 在 处的微分，记作dy,即:
二、微分的几何意义—— 表示曲线 在 处切线的纵坐标增量
三、可导、可微、连续之间的关系：
可微 可导 连续
例1、 在 处可微是 在 处可导的（）
例1．证明方程 至少有一正根．
证： 因为方程 要有正根， 取 ,且
下面要找b，使 ，显然 ，
因为 在 连续，且
由零点定理 在 至少有一实根.证毕！
例2．设 在 连续，且 ， ，证明在 内至少存在一点 ，使
解： 构造函数 ，
因为 在 连续，且 ，
由零点定理知道 在 至少有一实根
即 ，故有 ， 证毕！
注：方程 在 至少有一个实根等价于 在 至少有一个零点
∴ = 为奇函数
注： + = + =
∴ = 为奇函数
§
一、复合函数——若 , ,当内层函数g( )的值域与外层函数 的定义域的交集非空时，则 , 可构成复合函数 .
二、基本初等函数——幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数。
三、初等函数——由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成，且可用一个式子表示的函数，称为初等函数。
解：因为
又因为
是 的同阶无穷小，但不是等价无穷小。选
第四讲：导数与微分的
计算方法
§
一、导数的基本公式
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、
10、
11、
12、
13、
14、
15、
16、
二、微分的基本公式
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、
10、
11、
12、
13、
14、
15、
16、 。
三、函数导数的四则运算法则
例3.求
解：原式
三、利用等价无穷小替换求极限
1.常用的十个替换公式
当 时，
当 时，
2.替换原则：乘除可换，加减忌换
例1.
解：原式
例2.
解：原式
例3.
解：原式
四、利用重要极限求极限
1.基本公式： ，
，
2.简便计算公式：当 时， ，
则
事实上，左式
例1.
解：原式
例2.
解：原式
例3.求
解：原式
五、利用左、右极限求极限
例1．设 ，求
解：因为
例2、求
解：因为
不存在
例3．求
解：因为 ，
∴ 不存在
六、利用变量代换求极限
例1．求
解：令
原式
例2．求
解：令 ，
原式
注：换底法，原式
七、利用洛必达法则求极限
1． （ 为有限或 ）
2． （ 为有限或 ）
注：当 时也有相应结论
例1、求
解：原式
例2．
解：原式
=
例3．求
解：原式
例4．
解：原式
注：（ⅰ） 与 的图形关于直线 对称；
（ⅱ）单调函数一定有反函数。
例1．求 的反函数。
解：10反解：
20互换：得反函数
注：（ⅰ） 保证 不恒等于常数，从而反函数存在．
（ⅱ）将直接函数中的 换成 ， 换成 ．即得出分式函数的反函数．
例2．已知 为 的反函数，求 的反函数
解：10 ，反解
20互换 位置， ，得
例1．求:
解：10
其中
20原式
例2．求:
解：10
20原式
4、重要极限
例1、
解： =
=
例2、已知 ，求常数
解：左式=
故有
*5.夹逼法
例1.已知 ，求
解：10因为
∴
20因为
∴原式 （由夹逼定理）
例2．求
解：利用夹逼定理
因为 又因为
∴原式
三、证明题
若数列 收敛，数列 发散。证明数列 必发散。
证明：反证法，设 收敛
解：A:定义域不相同：
B:对应法则不同：
C:定义域相同,都是（ ），当 时，
，当 时， ,故对应法则也相同，故应选C
D:对应法则不同：
二、函数定义域的求法
1．排除法——去掉使数学式子没有意义的自变量的取值部分，就得到该函数的定义域.
2．代入法——若 的定义域为 则 定义域为从 ，解出 .
3．交集法——若函数表示式由几个函数经四则运算所组成，则其定义域是各函数的定义域的交集（公共部分）.
第一讲：函数与数列的极限
§
一、函数的定义
设有两个变量 . 的变域为 ,若对于 中每一个 值,按照一定法则都有一个确定 值与之对应，则称变量 是 的函数，记作 .
注:（ⅰ）函数定义有两个要素——定义域 和对应法则 .
（ⅱ）若两个函数的定义域与对应法则都相同，则称这两个函数是相同的.
例：下列函数对中，那对是相同函数（）
注：分段函数不一定是非初等函数，如 可以表为 是初等函数，事实上，连续的分段函数大多数是初等函数。
例1、画出 的图形
例2.将 分解为基本初等函数．
解：
例3．将初等函数 分解成基本初等函数
解：
§
一、数列极限的概念与性质
1．定义：当n无限变大时，数列 无限趋近于一个常数 ，则 称为当 时，数列 的极限记作
=
例5．求
错解：原式= =不存在
正确解：原式=
本题说明洛必达法则并非万能
例6．求
错解：原式 无休止下去…….
正确解：原式
八、已知函数极限存在，反求函数中的参数
例1．已知 ，求常数 , b
解： ∵ ，
又因为
∴
即
∵
= ∴ =2， =
答： =2 =
注：若用洛必达法则 显得十分简单
＝2
*例2．设 求a,b
解法 ∵
§
一、连续函数的概念
定义：若 则称 在 连续，否若 在 处连续，则函数符号与极限符号次序可以交换
（ⅲ）初等函数在其定义区间内都连续
例1．讨论函数 在 处是否连续？
解：因为
∴ 在 处连续
注：一般地，当 时， 在 连续．
例2．设 在 连续，求 之值．
解： 因为
2.性质
（1）存在性——单调有界数列必有极限．
（2）惟一性——若数列收敛（即 存在）则其极限值是惟一的．
（3）有界性——若数列 收敛，则它必定有界（即 ）反之不一定成立，如 : ，但 不存在．
（4）夹逼定理——若 ， ， 满足 且 ， ，则
二、数列极限的计算方法
1.无穷大分裂法——分子、分母同除以分母的最高次幂
A、必要条件B、充分条件
C、充分必要条件D、无关条件
解：因为 在 处可微，则 在 处可导
又因为 在 处可导，则 在 处可微
在 处可微是 在 处可导的充分必要条件。选C
例2、若函数 有 ，则当 时， 在点 处的微分 是（）
A、与 等价无穷小
B、与 同阶的无穷小，但不是等价无穷小
C、比 高阶无穷小
D、比 低阶无穷小
§
一、函数 在点 处的导数
注：（i）左导数：
右导数：
（ii）
二、函数 在区间 的导函数
设 ，则
称为导函数，简称导数
三、导数的几何意义
若 存在，则 在几何上表示曲线 在点 的切线斜率，即 （ 是切线的倾角）
注：（i）曲线 在点 的切线方程
（ii）曲线 在点 的法线方程
四、导数与连续的关系
若 在 可导，则 在 连续，反之不成立
如 ，在 处连续，但在 不可导
例1．设 在 可导，求：
解：原式
=
=
=
例2．已知 ，求
解：原式=
=
例3．讨论 在 处的可导性
解：
注：一般地，当 时， 在 可导
例4．设 在 可导，求a , b之值
解： ∵ 在 连续（可导必连续）
∴
故b = 5
∵ 在 可导，
，
答：
例5．设 在 可导，求
解： ∵ 在 连续（可导必连续）
且 ，
因为 且
答：
二、函数的间断点及其类型
1．第一类可去间断点————左、右极限存在且相等的间断点．
2．第一类跳跃间断点————左、右极限都存在且不相等的间断点．
3．第二类无穷间断点————左、右极限至少有一个为无穷大的间断点．
*4．第二类振荡间断点————当 间断点时，函数在某区间来回取值的间断点，如
例1．函数 在 有定义是 在点 处有极限的（）
A．必要条件B．充分条件
C．充分必要条件D．无关条件
解：因为 是否存在与 在 是否有定义无关． 选D
例2．函数 在 处左、右极限都存在是 在点 有极限的（）
A．必要条件B．充分条件C．充分必要条件D．无关条件
解：因为 存在∴ 在 的左、右极限一定存在．反之不成立．
设 在 处可导，则有
（1） （2）
（3） （4）
四、函数微分的四则运算法则
设 在 处可微，则有
（1）
（2）
（3）
（4）
例1．（化根为幂）设 求
解： 变形
例2．设 求 及
解： （化积商为和）
例3．设 ，求
解：
注意： ，显然：
§
一、定理：设 都可导。则复合函数 可导，且
，
二、一阶微分形式不变性
若 均可微，则 可微，且
例1．设 则 是 的（）
A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点
解：因为
∴ 是 的第一类跳跃间断点，选B
例2．指出 的间断点，并判其类型．
解： 间断点： ,
在 处：因为
是 的第一类跳跃间断点
在 处：因为
是 的第二类无穷间断点
在 处：因为
是 的第一类可去间断点
三、利用零点定理讨论方程的根
零点定理：设 在 连续，且 ，则在 内至少存在一点 ，使
因为
又因为 ， 都收敛
∴ 收敛，与题设 发散矛盾
故 必发散
第二讲：函数的极限与
洛必达法则
§
一、函数极限的概念：
定义1：当 无限趋近于 时， 无限趋近于 ，则 称为当 时 的极限．记作：
注：（ⅰ）若 ，则 称为当 时的无穷小量．
（ⅱ）若 ，则 称为 当 时的左极限
若 ，则 称为 当 时的右极限
（ⅲ）
定义2：当 无限变大时， 无限接近于 ，则 称为当 时， 的极限。记作：
故选A
例3．
A．1 B．0C．-1 D．不存在
解：因为
∴有界量乘无穷小是无穷小
故原式 选B
注：不要误为
例4．讨论函数 在点 处的极限
解： 当 时， 的图形在 上震荡无限次，故 不存在
§２函数极限的计算方法
一、无穷大分裂法——对当 时 的极限，可先将分子、分母同除于分母 的最高次幂，然后再求极限
注：（ⅰ）对 的无理式，应先有理化，然后用无穷大分裂法
（ⅱ）有理分式 的极限
例1．求
解：原式
例2．求
解：原式
二、无穷小分裂法——对 的 的极限，可先将分子、分母因式分解，并约去无穷小因子，然后求极限。
注：（ⅰ）含根式的函数的极限，应先有理化再利用无穷小分裂法
(ⅱ)当 的 极限，应先通分再利用无穷小分裂法
例1.求
解：原式
例2.求
解：原式
注：分子、分母同时有理化