一堂关于几何概型测度选取“保卫战”的课

㊀㊀㊀㊀㊀一堂关于几何概型测度选取保卫战的课
一堂关于几何概型测度选取 保卫战 的课Һ李㊀伟㊀赵如丽㊀席洁茹㊀（山西省襄汾高级中学校，山西㊀临汾㊀０４１５００）
㊀㊀ʌ摘要ɔ高三学生在概率章节的复习中，常常在几何测度选取上把握不准．本文针对一堂几何概型复习课上学生的热烈争论，探究了正确选择测度的关键所在．通过追本溯源，挖掘本质，再经过题组比较和检测反馈，学生对几何测度选取有了清醒认识，并在此基础上提出贝特朗奇论，让学生体会题目设置的严谨性和合理选择测度的重要性，拓宽了学生的视野，提高了学生的素养．
ʌ关键词ɔ几何概型；测度选取；等可能性；贝特朗奇论在高三几何概型复习的讲评课上，一道选择题引起了同学们的热烈争论，可以称作别开生面地展开了一场关于几何测度选取的 保卫战 ．现将课堂主要情景和环节分享出来，请广大读者和同行批评指正．
ʌ题目再现ɔ
如图１，在一个棱长为２的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上．现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则 鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到 的概率是（㊀㊀
）．
图１
Ａ．１－π４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．π１２
Ｃ．π４
Ｄ．１－
π
１２
ʌ双方焦点ɔ
根据同学们的答案，主要将班级分成两方，一方（暂称为 甲方 ，下同）认为选Ｄ，这部分同学占９０％以上，另一方（暂称为 乙方 ，下同）认为选Ａ，凤毛麟角的有几位，占比不到１０％．
甲方观点是选Ｄ．理由：因向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，应选用体积作为测度，即长方体鱼缸的体积为８，圆锥的体积为１３ˑπˑ２＝２
３
π，则鱼缸内且在圆锥外部的体积为８－
２
３
π，所以 鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到 的概率是８－２３π８＝１－π
１２
．公布答案以后，选Ｄ的同学丝毫没有发现自己的解答过程有何漏洞，甚至不少同学指出有可能是答案给错了．笔者没有急于否定他们的想法，而是让选Ａ的同学发表了自己的看法．
乙方观点是选Ａ．理由：选面积作为测度．ʌ双方交锋ɔ
乙方代表生１陈述：不知道大家有没有养过鱼？我是在养鱼的过程中观察到投入鱼食时，鱼食是浮在水面上的，所以这道题不需要体积比，只需要面积比．鱼缸底面正方形的面积为２２＝４，圆锥底面圆的面积为π，所以 鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到 的概率是１－
π
４
．甲方代表生２反驳道：鱼食能不能漂浮在水面上与鱼食的材质有关，不是所有的鱼食都能浮在水面上．
所以，生１的说法不能完全让人信服．还有的同学说 难道不养鱼就不能做这道题啦 ．
乙方代表生３站到讲台上，他拿起一个水杯，让同学们
观察：从杯子口投入物品，物品自由下落时，只与杯子口的大小有关，与杯子的高度没有关系．所以，这道题应该是面积比，而不是体积比．
课堂讨论激烈．归根结底，学生争论不休的问题就是测度选取问题：这道题究竟该选体积还是面积作为测度呢？教师并未急着给出意见，而是引导学生深入思考后再判断．
ʌ教师引导ɔ
（一）问题转换．既然对于此问题的争论一时难以平息，
那么干脆出一道更容易的㊁少争议的题目作为过渡，帮助理解此题．这也是上课中常用的方法之一．问题变换为：将内部
的圆锥形容器变成圆柱形容器，那么这个问题又该如何计算？学生通过计算发现变成圆柱后体积比和面积比相同了，选体积和面积作为测度结果一致，进而思考换成圆柱形容器后，和本题的圆锥形容器比较问题有何不同．
（二）追根溯源．概念是灵魂，运算是生命．当我们对某一
问题难下定论时，可试着从数学概念方面去找找答案．为让学生重温几何概型的内涵和外延，以期找到解决本题的关键症结所在，笔者让同学们打开必修３课本，认真研读（详见课本），寻找解题的关键点．学生阅读思考后，笔者让学生自由表达其看法．
生４：往容器里投食，落在水面上任何一处是等可能的，而落在圆锥形容器内部就不等可能了，因为口大底尖．所以，在保证等可能的前提下，本题只能用面积比而不能用体积比．若换成圆柱形容器，落在圆柱内部任何一处也是等可能的，所以对于圆柱形容器用面积比和体积比都可以．
此时教室里响起了热烈的掌声，至此甲㊁乙双方算是握
㊀㊀㊀㊀㊀手言和了．笔者提醒学生：遇到几何概型问题时，不能盲目草率，不可以想当然地认为看到有线段就选长度比㊁看到平面区域就选面积比㊁看到几何体就选体积比，而应该谨慎审题，并考虑等可能性，选取合适的测度进行计算．
ʌ乘胜追击ɔ
为了让学生更加深入地体会几何概型中的 等可能 ，笔者又出示了下面几道题目．
题目１㊀如图２所示，ＯＡ＝１，在以Ｏ为圆心㊁ＯＡ为半径
的半圆弧上随机取一点Ｂ，则әＡＯＢ的面积小于１
４的概率
为
．
图２
解析㊀选取弧长作为测度．答案为１
３
．
题目２㊀如图３所示，在әＡＢＣ中，øＢ＝６０ʎ，øＣ＝４５ʎ，高ＡＤ＝３．在边ＢＣ上找一点Ｍ，则ＢＭ＜１的概率是
多少
？
图３
解析㊀选取长度作为测度．答案为
３－１
２
．题目３㊀将题目２中 在边ＢＣ上找一点Ｍ 改为 在
øＢＡＣ内作射线ＡＭ交ＢＣ于点Ｍ ，则ＢＭ＜１的概率为
．
解析㊀因为 在øＢＡＣ内作射线ＡＭ ，故应选取角度作为测度．答案为
２５
．ʌ题目回味ɔ
比较三道题目，题目１因在半圆弧上随机取一点Ｂ，在弧上任取一点都是等可能的，故选取弧长作为测度是合理的．根据弧长公式，因为半径一定，相等弧长对应相等的圆心角，故选取角度作为测度时其结果是一致的，这体现了由弧长公式带来的运算结果的一致性，显然选择弧长作为测度更符合题目问题的设置；题目２因在边上随机取点，在线段ＢＣ上任取一点都是等可能的，故选取线段长度作为测度是合理的；题目３因在角内随机作射线，任作一条射线都是等可能的，故选取角度作为测度是合理的．特别要指出的是，题目３不可用长度作为测度，因为相同的角度对应在ＢＣ边上的长度是不一样的，依题意在边上取点就不满足等可能性了，而这恰是题目３与题目１的本质区别所在．
ʌ疑云再起ɔ
在上课时，若时间允许，学生又 力能够及 的话，我们
力求将一个问题挖掘得更透彻．于是，笔者又抛出一个问题：
在半径为ｒ的圆Ｃ内 任意 作一条弦（不考虑直径），试求此弦的长度ｌ大于圆内接等边三角形的边长３ｒ的概率Ｐ．
想法１：设弦ＡＢ的一端Ａ固定于圆周上，如图４①，另一端Ｂ是任意的．考虑等边三角形ＡＤＥ，若Ｂ落于角Ａ所对的弧ＤＥ上，则ｌ＞３ｒ，故
Ｐ＝
ＤＥ的弧长圆周长＝１
３
．
想法２：设弦ＡＢ垂直于直径ＥＦ，若ＡＢ的中点Ｍ在ＧＨ上，如图４②，则ｌ＞３ｒ，
故Ｐ＝
ＧＨ的长度ＥＦ的长度＝１
２
．
想法３：作半径为
ｒ
２的同心圆Ｃ１，设弦ＡＢ的中点Ｍ 任意 落于圆Ｃ内，如图４③．可以证明，若Ｍ落于圆Ｃ１内，则ｌ＞３ｒ，故Ｐ＝
π
ｒ２
()
２
πｒ２
＝
１４
．图４
ʌ拨云见日ɔ
同学们的想法都很好．这个问题其实就是历史上著名的贝特朗奇论．三种解反映的是三种不同的随机事件．也就是说：想法１把 点Ｂ落在圆弧上 视为等可能的，想法２把 点Ｍ落在线段上 视为等可能的，想法３把 点Ｍ落在圆中 视为等可能的．而得到三种不同解的原因恰是题目中 任意 作弦的提法太不明确了，导致因对随机事件的等可能性理解不一致而得出不一致的结果．可见，测度的选取是以等可能作为前提的．这就要求概率出题要严谨，不可含糊不清．
ʌ 战 后启示ɔ
几何概型测度选取要注意考察等可能性，要以题目设置为准则去考量，所谓 几何概型解答切莫想当然，计算之前等可能性探究一番 ．这也告诫我们在命制或选题时，要注意题目的严谨性，不可模棱两可．在学生争论和质疑时，我们需要机智教学，灵活处理，挖掘本质，让学生理解，让教学更有效㊁更高效．教出数学真理，教出数学味道，教出数学境界，是每位教师应有的追求！
ʌ参考文献ɔ
［１］邓集贤，杨维权，司徒荣，等．概率论及数理统计（上册）：第４版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００９．。