辽宁省沈阳市2013届高考数学领航预测(六)试题 文

2013届省重点中学协作体领航高考预测试卷6
数学（文）模拟题（高考导航）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知{(,)|1,},{(,)|1,},S x y y x T x y x y ==∈==∈R R 则S T =（ ） A ．空集 B ．{1} C ．(1,1) D ．{(1,1)} 2. 下列说法正确的是 （ ） A ．“a b <”是“2
2bm am <”的充要条件
B ．命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是“32,10x x x ∃∈--≤R ”
C ．“若,a b 都是奇数，则a b +是偶数”的逆否命题是“若a b +不是偶数，则,a b 不都是奇数”
D ．若p q ∧为假命题,则p ,q 均为假命题
3.一个容器的外形是一个棱长为2的正方体，其三视图如图 所示，则容器的容积为（ ）
A.8
B.328π-
C.π
D.23
π
4.在ABC ∆中，2AB =，3BC =，60ABC ︒
∠=，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，则λμ+的值为 （ ）
A.
23B.34C.5
6
D.1 5.设实数x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z ax by =+（0a >，0b >）
的最大值为12，则ab 的取值X 围是 （ ）
A.(0,)+∞
B.3(0,)2
C. 3[,)2+∞
D. 3(0,]2
6.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =， 则111213a a a ++=（ ）
A ．120
B ．105
C ．90
D ．75
球的表面积公式、体积公式
24R S π=、3
3
4R V π=
球 其中R 为球的半径
样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 ]
)()()[(122221x x x x x x n
s n -++-+-=
如果事件A 、B 互斥，那么
P （A +B ）=P （A ）+P （B ）
7．已知函数x x x f ωωcos sin )(+=，如果存在实数1x ，使得对任意的实数x ，都有
11()()(2010)f x f x f x ≤≤+成立，则ω的 最小值为. （ ）
A ．
12010 B ．2010π C ．14020D ．4020
π 8. 设F 1，F 2分别是双曲线122
22=-b y a x 的左、右焦点.若双曲线上存在点A ，使
||3||,902121AF AF AF F =︒=∠且，则双曲线的离心率为
（ ）
A ．
2
5
B ．
2
10 C ．
2
15 D ．5
9.已知0x 函数21()()log 3
x f x x =-的零点，若100x x <<，则1()f x 的值为 （ ）
A ．恒为负值
B ． 等于0
C ．恒为正值
D ． 不大于0
10. 已知e 是自然对数底数，若函数a
x e e
y x +-=的定义域为R ，则实数a 的取值X 围为
A ．1-<a
B ．1-≤a
C ．1->a
D ．1-≥a 11.观察下图：
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10 …………
若第n 行的各数之和等于22011，则=n A ．2011
B ．2012
C ．1006
D ．1005
12.已知函数)(x f 对任意R ∈x ，都有)2(2)()4(f x f x f +=+，若)1(-=x f y 的图
象关于直线1=x 对称，且2)1(=f ，则=)2011(f （ ） A ．2
B ．3
C ．2-
D ．3-
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中的横线上. 13．执行如图所示的程序，若P =0.9，则输出的n 值是； 选手甲 8 8 9 9 9 2 3 a 2 1 4 （14题）
（13题）
14.在一次比赛中，9位评委为参赛选手甲给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最
高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的a ）无法看清，若记分员计算无误，则数字=a ；
15. 已知定义域为R 的函数)(x f 满足1)1(=f ，)(x f '是)(x f 的导函数，R ∈∀x 2
1)(<
'x f 则不等式2
1
2)(+<
x x f 的解集为_______． 16.在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数(也叫高斯函数)．它表示x 的整数部分，即表示不超过x 的最大整数．如[][][]2.52,22, 1.62==-=-．设函数
21
()122
x x f x =-+，则函数[][]()()y f x f x =+-的值域为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）如图：βα=∠=∠CAD BAD ,，
10
10
3cos ,552cos ==
βα． （1）求BAC ∠的大小；
（2）当中点为BC D 时，判断ABC ∆的形状，并求
AD AC
的值． 18．（本小题满分12分）设O 为坐标原点，点P 的坐标),2(y x x --
（1）在一个盒子中，放有标号为3,2,1的三X 卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两X 卡片的标号分别记为y x ,，求|OP |的最大值，并求事件“|OP |取到最大值”的概率； （2）若利用计算机随机在[0，3]上先后取两个数分别记为y x ,， 求：P 点在第一象限的概率.
19.（本小题满分12分）已知直三棱柱111C B A ABC -中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝
2
π
，且AB ＝21=AA ，D 、E 、F 分别为A B 1、C C 1、BC 的中点． （1）求证：DE ∥平面ABC ； （2）求证：F B 1⊥平面AEF ； （3）求三棱锥1E AB F -的体积．
20.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b
+=（0a b >>）的离心率为36
，过右焦
点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于,A B 两点，N 为弦AB 的中点。

（1）求直线ON （O 为坐标原点）的斜率ON k ；
（2）设M 椭圆C 上任意一点，且OM OA OB λμ=+，求λμ+的最大值和最小值.
B D
C A
21．(本小题满分12分)已知函数32
11()32
f x ax bx cx =
++.（0a ≠） （1）若函数)(x f 有三个零点123,,x x x ，且1239
2
x x x ++=，1231-=x x ，
求函数()y f x =的单调区间； （2）若1
(1)2
f a '=-
，322a c b >>，试问：导函数()f x '在区间(0，2)内是否有零点，并说明理由.
（3）在（Ⅱ）的条件下，若导函数()f x '的两个零点之间的距离不小于3，
求
b
a
的取值X 围. 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，AB 、CD 是圆的两条平行弦，BE ∥AC ，BE 交CD 于E 交圆于F ，过A 点的切线交DC 的延长线于P ，1==ED PC ，2=PA .
（1）求AC 的长；
（2）求证：EF BE =.
23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，点M 坐标是)2,
3(π
，曲线C 的方程为)4
sin(22π
θρ+
=；以极点为坐
标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．
（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ⋅的值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()|2|,()|3|.f x x g x x m =-=-++ （1）解关于x 的不等式()10()f x a a R +->∈；
（2）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值X 围。

参考答案：
13.5； 14.1； 15.),1(+∞； 16.1,0-
16．提示:易知2121
()()122122
x x x x f x f x ---=
-=-+=-++， 1111
(),()2222
f x f x -<<∴-<-<．[]()f x ∴={}1,0-，[]()f x -={}1,0-，
由于()f x 是奇函数，所以当0x =时，[][](0)(0)[0][0]0y f f =+=+=；当0x ≠时，若
10()2f x <<
，
则
1
()02
f x -<-<，
即
1
()02f x -<-<，于是[][]()0,() 1.f x f x =-=-[][]()()1f x f x ∴+-=-．若1
()02f x -<<，同理可得[][]()()1f x f x +-=-．所以y 的值域为{}1,0-．
17. 解：（1） 由已知，55cos 1sin 2
=
-=αα10
10
cos 1sin 2=-=ββ…2分 βαβαβαsin sin cos cos )cos(cos -=+=∠BAC 2
2
10105510103552=⋅-⋅=
∵),0(π∈∠BAC ∴4
π
=
∠BAC ．…4分
（2）当中点为BC D 时，ACD ABD S S ∆∆=，可得
2
2sin sin ==αβAC AB ， 即AB AC 2=
………6分
由余弦定理，2222
2
2
234
cos 2AB AB AB AC AB AC AB BC =-=⋅⋅-+=π
，
即BC AB =，知0
90=∠ABC ．………8分
设22,5,2====AC AD BC AB 则，所以，
5
10
2=AD AC .……12分 （2）方法二：B
AD
ABD sin sin BD =∆α中，
（1）………6分 B
AC
ABC sin )sin(BC =+∆βα中， （2）……8分
51022552)sin(sin 2sin )sin()1()2(2
1=⨯=+=⨯+==∴=
βαααβαBD BC AD AC BC BD ……12分
18.解：（1）记抽到的卡片标号为（x ，y ），所有的情况分别为，
（x ，y ） （1，1） （1，2） （1，3） （2，1） （2，2） （2，3） （3，1） （3，2） （3，3） P （x-2，x-y ） （-1，0） （-1，-1） （-1，-2） （0，1） （0，0） （0，-1） （1，2） （1，1） （1，0）
|OP|
1
2 5
1 0 1
5 2
1
共9种.由表格可知|OP|的最大值为5 …………5分 设事件A 为“|OP|取到最大值”，则满足事件A 的（x ，y ）有（1，3），（3，1）两种情况，
2
()9
P A ∴=
…………6分
（2）设事件B 为“P 点在第一象限”若03
,03x y ≤≤⎧⎨
≤≤⎩
则其所表示的区域面积为339⨯=
由题意可得事件B 满足03
03200
x y x x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪
⎨->⎪⎪->⎩，
即如图所示的阴影部分，其区域面积为15131122⨯-⨯⨯=5
5
2()918
P B ∴==…12分
19.解：（1）方法1：设G 是AB 的中点，连结DG ，则DG 平行且等于EC ，……（2分）
所以四边形DECG 是平行四边形，所以DE //GC ， 从而DE ∥平面ABC ．…………（4分）
方法2：连接B A 1、E A 1，并延长E A 1交AC 的延长线于点P ，连接BP ．
由E 为C C 1的中点，11C A ‖CP ,可证EP E A =1……（2分）
∵D 、E 是B A 1、P A 1的中点，∴DE ‖BP ，又∵BP ⊂平面ABC ， DE ⊄平面ABC ，∴DE ∥平面ABC ………（4分）
（2）∵ABC ∆为等腰直角三角形，F 为BC 的中点，∴BC ⊥AF ，
又∵B B 1⊥平面ABC ，可证F B 1⊥AF ……（6分）
∵AB ＝12AA =,∴116,3,3B F EF B E ==，
∴FE F B E B EF F B ⊥∴，
12
1221=+， ∵AEF F B F FE AF 平面⊥∴，
1= ……（8分） （3）2=
AF ，26=∆AEF S ，…………（10分） 13
1
111=⋅==∆--F B S V V AEF AEF B F
AB E …………（12分）
20.解：(1）设椭圆的焦距为2c ,因为36=a c ，所以有322
22=-a
b a ，故有2
23b a =。

从而椭圆C 的方程可化为：2
2
2
33b y x =+①…………2分 易知右焦点F 的坐标为（0,2b ）， 据题意有AB 所在的直线方程为：b x y 2-=②…………4分
由①，②有：032642
2
=+-b bx x ③
设),(),,(2211y x B y x A ，弦AB 的中点),(00y x N ，由③及韦达定理有：
.4
2
2,423200210b b x y b x x x -=-==+=
所以3
1
00-==
x y K ON ，即为所求。

…………6分 (2）设),(y x M ，由1）中各点的坐标有：
),(),(),(2211y x y x y x μλ+=，所以2121,y y y x x x μλμλ+=+=。

又点在椭圆C 上，所以有2
2
212
213)(3)(b y y x x =+++μλμλ整理为
2212122222212123)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ。

④………8分
由③有：4
3,2232
2121b x x b x x =⋅=+。

0
6936)(234)2)(2(332
222212*********=+-=++-=--+=+b b b b x x b x x b x b x x x y y x x ⑤
又A ﹑B 在椭圆上，故有2
2
22
222
12
13)3(,3)3(b y x b y x =+=+⑥
将⑤，⑥代入④可得：12
2=+μλ。

…………10分
2
22
1222λμλμ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭
，故有22λμ-≤+≤
所以max ()2λμ+=
，min ()2
λμ+=-…………12分
21．解（1）因为2
11()()3
2f x x ax bx c =+
+，又1239
2
x x x ++=，1231-=x x 则12,2
9
,031312-=⋅=
+=x x x x x ……… （1分） 因为x 1，x 3是方程211
032
ax bx c ++=的两根，则
3922b a -=，123-=a
c ，.即a c a b 4,3-=-=…… （2分） 从而：ax ax ax x f 42
331)(2
3--=，
所以)1)(4(43)(2
/+-=--=x x a a ax ax x f .
令 0)(/
=x f 解得：4,1=-=x x ………… （3分）
当0a >时，()y f x =的单调递减区间是（1，4），单调递增区间是),4(),1,(+∞-∞ 。

当0a <时，()y f x =的单调递增区间是（1，4），单调递减区间是),4(),1,(+∞-∞（4分）
（2）因为2
()f x ax bx c '=++，1(1)2f a '=-，所以1
2
a b c a ++=-， 即3220a b c ++=.
因为322a c b >>，所以30,20a b ><，即0,0a b ><. （5分）
于是(1)02
a
f '=-
<，(0)f c '=，(2)424(32)f a b c a a c c a c '=++=-++=-. ①当0c >时，因为(0)0,(1)02
a
f c f ''=>=-<，
则()f x '在区间(0,1)内至少有一个零点. （6分） ②当0c ≤时，因为(1)0,(2)02
a
f f a c ''=-
<=->， 则()f x '在区间（1，2）内至少有一零点.
故导函数()f x '在区间(0，2)内至少有一个零点. （8分） （3）设m ，n 是导函数2
()f x ax bx c '=++的两个零点，则b m n a
+=-
，32c b mn a a
=
=--.
所以||m n -=
==.
≥2(2)23b a ++≥，即2
(2)1b a
+≥.
所以
2121b a +≥+≤-b 或a ，即1b a ≥-或3b
a
≤-. （10分） 又232c a b =--，322a c b >>，所以3322a a b b >-->，即3
34
a b a -<<-.
因为0a >，所以3
34
b a -<<-.
综上分析，b a 的取值X 围是3
[1,)4
--. （12分）
22解：（1）1,2,2==⋅=PC PA PD PC PA ，4=∴PD ， …………（2分）
又2,1=∴==CE ED PC ，,,CAB PCA CBA PAC ∠=∠∠=∠
CBA PAC ∆∆∴∽，AB
AC
AC PC =
∴
， …………（4分） 22=⋅=∴AB PC AC ，2=∴AC …………（5分）
（2） 2==AC BE ，2=CE ，而EF BE ED CE ⋅=⋅，…………（8分）
22
1
2=⋅=∴EF ，BE EF =∴．…………（10分）
（23）解：（1）∵点M 的直角坐标是)3,0(，直线l 倾斜角是 135， …………（1分）
∴直线l 参数方程是⎩⎨⎧+==
135sin 3135cos t y t x ，即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 2232
2
， ………（3分） )4
sin(22π
θρ+=即2(sin cos )ρθθ=+，
两边同乘以ρ得22(sin cos )ρρθρθ=+，曲线C 的直角坐标方程
曲线C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；………………（5分）
（2）⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧+=-
=t y t x 22322
代入02222=--+y x y x ，得03232=++t t
∵06>=∆，∴直线l 的和曲线C 相交于两点A 、B ，………（7分） 设03232=++t t 的两个根是21t t 、，321=t t ， ∴||||MB MA ⋅3||21==t t ．………………（10分）
24．解：（1）不等式()10f x a +->，即210x a -+->。

当1a =时，不等式的解集是(,2)(2,)-∞+∞；
当1a >时，不等式的解集为R ；
当1a <时，即21x a ->-，即21x a -<-或者21x a ->-，即1x a <+或者
3x a >-，解集为(,1)(3,)a a -∞+-+∞.………（5分）
（2）函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，即23x x m ->-++对任意实数
x 恒成立。

即23x x m -++>对任意实数x 恒成立.
由于23(2)(3)5x x x x -++≥--+=，故只要5m <. 所以m 的取值X 围是(,5)-∞.……（10分）。