黑龙江省哈尔滨市杨树第三中学2021年高二数学文月考试卷含解析

黑龙江省哈尔滨市杨树第三中学2021年高二数学文月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 掷一个骰子向上的点数为3的倍数的概率
是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
略
2. 若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（）A．（－4,1） B．（－1,4） C．（－∞,－1）∪（4,+∞） D．（－∞,0）∪（3,+∞）
参考答案：
C
3. 等比数列{an}中，a3，a9是方程3x2—11x+9=0的两个根，则的值为（）
（A）3 （B）（C） （D）以上均错
参考答案：
C
略
4. 抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（）
A．（1，1） B．（）C． D．（2，4）
参考答案：
A 略
5. 记等差数列的前n项和为S n，若S3=6，S5=25，则该数列的公差d=( )
A．2 B．3 C．6 D．7
参考答案：
B
【考点】等差数列的性质．
【专题】方程思想；待定系数法；等差数列与等比数列．
【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组可得．
【解答】解：由题意可得S3=3a1+d=6，S5=5a1+d=25，
联立解得a1=﹣1，d=3，
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
6. （2016?安庆三模）已知函数f（x）=log2x，在区间[1，4]上随机取一个数x，使得f（x）的值介于﹣1到1之间的概率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】几何概型．
【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．
【分析】以长度为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．
【解答】解：由﹣1≤log2x≤1，得，
而的区间长为1，
区间[1，4]长度为3，
所以所求概率为．
故选A．
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据对数的性质是解决本题的关键．
7. 已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，则圆M的圆心坐标为（）．
A．(1，－2) B．(－1，2) C．(－1，－2) D．(1，2)
参考答案：
C
8. 曲线3x2－y＋6=0在x=－处的切线的倾斜角是
A. B.－ C.π D.－π
参考答案：
C
略
9. 抛物线的准线方程
为（）
A. B.C. D.
参考答案：
B
略
10. 已知＜4，则曲线和有（）
A. 相同的准线
B. 相同的焦点
C. 相同的离心率
D. 相同的长轴
参考答案：
B 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数(图象如图所示，则的值是。

参考答案：
-2
略
12. 直线
l 垂直于，且平分圆C
：，则直线l的方程
为.
参考答案：
设直线：，因为过圆心（-1，2），所以，即
13. 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直，则三角形三边长之间
满足关系：。

若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为
参考答案：
14. 设，则．
参考答案：
略
15. 如果复数是实数，则实数_________。

参考答案：
－1
16. 已知线性回归方程为＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为________．
参考答案：
11.69
略
17. 若，则_________.
参考答案：
1
【分析】
展开式中，令，得到所有系数和，令得到常数项，相减即可求出结论.
【详解】，
令，令，
.
故答案为:1.
【点睛】本题考查展开式系数和，应用赋值法是解题的关键，属于基础题.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆上每一点的横坐标构成集合，双曲线实轴上任一点的横坐标构成集合．命题，命题．
（Ⅰ）若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围．
（Ⅱ）当时，若命题为假命题，命题为真命题，求实数的取值范围．
参考答案：
见解析
（Ⅰ），或，
若是的充分不必要条件，则，则：或，无解，
故．
（Ⅱ）当时，，或，
若命题为假命题，为真命题，则真假或假真，
当真假时，，
，
当假真时，或或
或．
综上所述，实数的取值范围是．
19. 已知直线l1：x+y﹣3m=0和l2：2x﹣y+2m﹣1=0的交点为M，若直线l1在y轴上的截距为3．
（Ⅰ）求点M的坐标；
（Ⅱ）求过点M且与直线l2垂直的直线方程．
参考答案：
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的截距式方程．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】（Ⅰ）先求出m的值，通过解方程组，从而求出M的坐标即可；（Ⅱ）设出直线方程，将M 的坐标代入求出方程即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l1在y轴上的截距是3m，
而直线l1在y轴上的截距为3，即3m=3，m=1，
由，解得：，
∴M（，）；
（Ⅱ）设过点M且与直线l2垂直的直线方程是：x+2y+c=0，
将M代入解得：c=﹣，
∴所求直线方程是：3x+6y﹣16=0．
【点评】本题考察了求直线的交点坐标问题，考察求直线方程问题，是一道基础题．
20. （本题满分15分）
如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，
（I）求证：；
（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
（III）求二面角的正切值。

参考答案：
解法一：（Ⅰ）因为平面⊥平面,平面，平面平面
，所以⊥平面所以⊥.因为为等腰直角三角
形，，所以又因为，所以，即⊥,所以⊥平面。

（Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝∥＝PC，所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN，因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，所以PM∥平面BCE
（Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD，作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。

从而，FG⊥平面ABCD，作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，
BD⊥FH，因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角，因为FA=FE, ∠AEF=45°,所以∠AFE=90°，
∠FAG=45°.设AB=1,则AE=1,AF=.FG=AF·sinFAG=在Rt△FGH中，
∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,GH=BG·sinGBH=·=在Rt△FGH中，tanFHG= = 故二面角F-BD-A的正切值为。

解法二：(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以AE⊥AB.又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以AE⊥平面ABCD.所以AE⊥AD.因
此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1,则AE=1，B （0，1，0），D (1, 0, 0 ) E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).
因为FA=FE, ∠AEF = 45°,所以∠AFE= 90°.从而，.所以
,,.,.所以EF⊥BE, EF⊥BC.因为BE平面BCE,BC∩BE=B ,所以EF⊥平面BCE. (Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE.
M (0,0，),P ( 1, ,0 ).从而=,于是·=·=0，所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，故PMM∥平面BCE.
(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为，并设=（x,y,z）.
，
即
取y=1，则x=1，z=3。

从而。

取平面ABD的一个法向量为。

故二面角F—BD—A的余弦值为
故其正切值为。

21. （本小题满分13分）
已知曲线C：，O为坐标原点
（Ⅰ）当m为何值时，曲线C表示圆；
（Ⅱ）若曲线C与直线交于M、N两点，且OM⊥ON，求m的值．
参考答案：
（Ⅰ）由题意可知：
…………………3分
（Ⅱ ）设，，由题意OM⊥ON，则，
即 (1)
联立直线方程和圆的方程：
消去得到关于的一元二次方程：
直线与圆有两个交点，，即
又由（Ⅰ），
由韦达定理： (2)
又点，在直线上，
代入（1）式得：，
将（2）式代入上式得到：,
(13)
分
22. （本小题10分）观察以下各等式：
，
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。

参考答案：。