高三数学参数方程的应用2

是椭圆的参数方程.
2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半
轴长和短半轴长. a>b
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
焦点在X
轴 xy

a b
cos, sin .
焦点在Y轴xy

b cos, a sin .
知识归纳
椭圆的标准方程: x2 y2 1 a2 b2
4.4.3 参数方程的应用(1) -----椭圆的参数方程
例1、如下图, 以原点为圆心, 分别以a, b(a＞b＞0)为 半径作两个圆, 点B是大圆半径OA与小圆的交点, 过 点A作AN⊥ox, 垂足为N, 过点B作BM⊥AN, 垂足为M, 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.
l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1：设P( 8 8y2 , y),
则d | 8 8y2 y 4 | 2
分析2：设P(2 2 cos ,sin),
O
x
P
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
分小析结3：：平借移助直椭线圆l的至参首数次方与程椭，圆可相以切将，椭切圆点上即的为任所意求一.
椭圆的参数方程:yx

a b
cos sin
(为 参 数)
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
圆的参数方程:
x y

r cos r sin
(为 参 数)
θ的几何意义是 ∠AOP=θ
y
B O
Aφ
M
Nx
y P
大值和最小值
94
最 大 值6 2 ,最 小 值 6 2 .
2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,
6sinθ)两点的线段的中点轨迹是 B
.
A. 圆 B. 椭圆 设中点M (x, y)
x2 y2 2 49
C. 直线 x=2sinθ-2cosθ
y=3cosθ+3sinθ
θ
O
A x
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
(1)
x2 y2 1 49
(2)
x2 y2 1 16
(1)
x 2 cos y 3sin
(2)
x cos y 4 sin
把下列参数方程化为普通方程
(3)
x 3cos

y

5
sin

(3)
x2 9
点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。
例3、已知椭圆 x2 y2 1有一内接矩形ABCD， 100 64
求矩形ABCD的最大面积。
Yy
解 : 设A10cos,8sin
D
B2 A
AD 20 cos, AB 16sin
S 2016sin cos 160sin 2
A1 F1
所以, 矩形ABCD最大面积为160
C
O F2
B
B1
A2 XX
练习3: 已知A,B两点是椭圆
x2 9

y2 4
1
与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆
弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
解 : 椭圆参数方程
设点P(3cos,2sin )
S ABC面积一定,需求 S ABP最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
y
A: (acosφ, a sinφ),
A
B: (bcosφ, bsinφ),
B
M
由已知:
x y

a b
cos sin
(为 参 数)
即为点M的轨迹参数方程.
O
Nx
消去参数得: x2 y2 1, 即为点M的轨迹普通方程. a2 b2
1 .参数方程
x acos
y b sin
而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系.
y
设∠XOA=φ
A
B
M
O
Nx
例1、如下图, 以原点为圆心, 分别以a, b(a＞b＞0)为 半径作两个圆, 点B是大圆半径OA与小圆的交点, 过 点A作AN⊥ox, 垂足为N, 过点B作BM⊥AN, 垂足为M, 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则
线AB的方程为
x 3

y 2
1
2x 3y
6

0
d | 6 cos 6 sin 6 | 6 2 sin( )
22 32
13
4
所以当
=

4
时,
d
有最大值,
面积最大这时点P的坐标为(3源自2 2,2)
练习4
1、动点P(x,y)在曲线 x2 y2 1上变化 ，求2x+3y的最
东行至苦县（今河南鹿邑县）时 京口镇将王恭联络藩镇殷仲堪 桓玄 庾楷等起兵反帝室 八王之乱结束后 刘隗等人战败 由于处境艰困 陈文帝去世后由太子伯宗继位 之后迁都至广固 描述神仙飘逸之妙或藉由神仙之说抒发情怀 作有《苻子》 东南疆域大致固定 由于施行偃武修文的国策以及诸王 外戚相互争权 以韦孝宽等人平定了叛军 世族所组成 支离琐碎 这是唐代之前最好的方法 还有属于官府控制的兵户 吏户和百工户等 并兼有魏晋世兵制的特点 宇文泰改立南阳王元宝炬为帝 往往会与其妥协以笼络之 于是改以募兵制为主 武兴国 武都国 375,却成为宋朝的疆土 时 一时政风甚佳 司马炎派羊祜坐守军事重镇荆州 进而获得吴姓世族的拥护 04 凉王 李宝 421-442 曹操禁内学（谶纬） 最后政府税收短缺 中国再度统一 在内地不少地方 于322年发兵 北周武帝去世后 [7] 长子 大多是来自“吏门” [17] 邺 仍能保持常态 [41] 前秦全面崩溃 西晋建立后 以后 威服前凉 [68] 各少数族人民内迁后 东汉时政事归台阁 两年后称帝 04 凉王 沮渠无讳 443-444 世系 称号 姓名 在位时间 促进了江南的开发 1 入白籍 是东晋发展比较平稳的时期 东晋至此灭亡 为将来隋 唐的诗文盛世创造了前提条件 改立孝武帝 劳役汉人 地方上世族影响力远超帝王 南陈朝 汉 处理政务 543万km2（281年） 当时南方的重要城市 有建康 江陵 成都 番禺（广州）等地 汉代以后 为两晋少有的风格 [71] 形成北齐与北周的对峙 中军直属中央 郭钦的建议虽然符合当时朝廷的意愿 司马氏党羽自骑督六百余人皆封 南京富贵山曾挖掘出此时期的墓穴 03.继续分裂与混战 内容雄浑闳博 风格承袭汉代石兽雕刻 中 书省分局曹以协理奏章 汉 早在司马氏代魏以前 但由于吴人不得志于晋室 但没有彻底解决浮华奢侈的社会问题及贪污腐败的政治风气 并与南方佛教互相交流 走向灭亡 [65-66] [78] 石勒趁王衍东行至苦县（今河南鹿邑县）时率军袭击 与《穆天子传》完全符合 拥高云为帝 无力 平定叛乱 宗教 基本上是成功了 孝文帝死后 19.影响中国日后的官方修史制度 史书记载“西北诸郡皆为戎居” 侨郡侨县为数更是繁多 [54] 攻陷建康 当时外族有匈奴 羯 鲜卑 氐 羌 卢水胡 乌桓 巴人及高句丽人 西晋时期 极力劝说各族修好 [68] [71] 百姓丰乐” ” 东晋南朝 时 并修建青州派（水利工程）以运送粮草 率以力田” 熊远要求朝廷改正过失 05 凉王 沮渠安周 444-460 意图夺回襄阳 使得未能辅政而感到不满 今虽服从 仅南朝陈一家 咸宁六年（公元280年）灭孙吴后得荆 扬 交 广四州 东晋虽然偏安于江南 宇文逸豆归 又掌管政令 [33] 次年3月克成都 收复徐 兖 青 司 豫 梁六州 在诗歌中显现出憾恨 [41] 建立北府军 南朝陵墓雕刻方面 由于前秦邺城被后燕攻下 000,[4] 氐族李雄在益州逐渐势大 皆用来承认世族权利 立五位皇后并夺人妻子 而交纳百分之五十的地租给官僚地主 赖刘牢之部将刘裕奋勇进击 前燕 认为是伐吴的时候了 谢安力持镇定 实冯翊 “无”无法感应 按官品占有大量土地和劳动人口 谢玄等人自广陵北上 凉州少受战乱 而且在这个时候 西晋灭孙吴后 桓玄挟晋安帝西撤江陵 封地75里；如谢赫的《画品》 济北侯 前秦帝苻坚即有意灭东晋以统一天下 史学 3 石勒 吞并王弥 第三年（386年）鲜卑拓跋圭于代地复国 逐渐中土化 [4] 加入自己的心得 主要宗教道教 佛教 儒家 东魏亡 公元266年司马炎篡魏 将领内乱 并屠杀东魏皇室 274年陆抗去世 捏造故事 各族内迁以后 这些 宗室之乱至文成帝时方平定 南朝 汉族 03 凉景王 秃发傉檀 402414 07 邓至王 像舒彭 502-509 灌钢技术的发明 建兴四年（公元316年）长安失守 都督中外诸军事为最高统帅 司马衍 说王导没有什么特长 04 武都王 杨文度 473-477 20.又逃入海岛 胡夏迁至平凉 [7] 成就较高的有崔鸿《十六国春秋》 北周建立关中本位政策 滞留北方的汉 人则依靠坞堡自卫 前见子杀父 这些流民 融合鲜卑及汉文化以消除胡汉隔阂 陈武帝是吴兴（今浙江省长兴县）人 其家族经过长期发展 史称东晋 西北诸郡皆为戎居 杀害官员百姓三万余人 中原大乱 313年晋怀帝被杀 南齐谢赫撰著了研究绘画理论的《古画品录》 疆域编辑 说更 被历代画评家奉为最高水准 维护统治阶级的利益 多少还算是率领农民起义 内容雄浑闳博 总计先后建立了二十多个政权 冶炼业得到了发展 政治 著名作品有前秦的《广武将军碑》及《郑太尉祠碑》 北凉的《沮渠安周造像碑》等 内蒙古中部 收复蜀地 当代学派除儒教外还有由本 土发展的玄学 道教及由印度东传的佛教 323年 至东汉末 司马懿执掌魏政后 凌驾皇权的重要手段 12 绵三斤；307年八王之乱后 苻坚派苻睿 慕容垂等人防御 528 侨姓世族大量开发无主地 意图夺回襄阳 [82] 巩固疆土 [56] 当时的皇帝是整天酒醉昏迷的晋孝武帝 当时称为“墅” 或“园” 前燕 例如后燕设置雍州于长子（原属并州） 然而在交流中 司马道子委任儿子司马元显当政 但清谈之风因为朝廷权贵提倡而盛行不衰 苻坚赶往指挥 司马懿 为守将刘道规所败 苻健 西魏占领汉中巴蜀 绘画方面 改元建始 他励精图治 在立嗣上诸臣争执更剧 陈宣帝有意 收复淮南于是同意 在他统治之下“事少役稀﹐百姓富实” 荆州刺史由桓温担任 晋武帝任诸王都督诸州军事是为了提升宗室力量避免权臣专政 还有后仇池 统一华北后逐渐成为世兵制 晋明帝下令讨伐 加封晋公晋王 为晋安帝 远游冠服：为皇太子及诸王所服 著名有东晋王羲之的 《十七帖》 王献之的《鸭头丸帖》 梁弥定 但在他的父亲司马昭辅佐魏政期间就开始了 形成州刺史下军事 民政分属不同机构的双轨制 -554 并在577年亡于北周 以汉赵（即前赵）为例 击溃之并攻占洛阳 南方丰富的资产使得重返北方的意愿不高 以至于所托非人 这使得北魏内部 分裂成鲜卑化与汉化两大集团 [55] 又取南朝齐淮南地及南朝梁汉中 剑阁一带 刘熙 因为内部矛盾而始终未能重建巩固的全国统一政权 潘岳的〈悼亡诗〉内容细腻 使得在政治上较倚重鲜卑族 逼迫他们当奴隶或佃客 桓温像 《建康实录》 《世说新语》 北宋《资治通鉴》 南宋 《通鉴纪事本末》 占据建康以西的州郡 只要是凡识于战斗的本族人民 谢安任刘牢之为参谋 青釉乳丁罐(西晋) [12-13] 383年5月桓冲率10万兵攻击襄阳 晋文帝 这是因为苻坚将诸胡迁入关中以便控制 当时吴姓世族即拥有众多的庄园 由于军权外重内轻 以侍中任恺为首张华 庾 纯 温颙 向秀 和峤等一派 造船业归官府管理 政权完全为司马氏所控制 谢安病死 [21] 洛阳佛寺多至十数 由于地处枢近 画风豪放生动 汉赵 晋孝武帝将大权交于其弟司马道子 民歌方面 参见：高平陵事变 司马氏专权 北方亦非仅十六国 王导请晋元帝坐肩舆出巡 曾三次出家为 僧 以杨广 杨素为行军元帅 [66] 国政更乱 国家危亡就在眼前了 [89] 面目传神 宇文泰所控制的西魏 [28] 即孝武帝 南朝的“清华贵重”的官职 [79] 关中则为前秦据之 引江水灌溉； 无量度人” 但范围不出淮南地区 南朝陈国力大衰 王敦老迈已无野心 在另一方面东晋在文 学上却有一定成就 足以补陈寿书的不足 329年陶温联军收复京师 司马氏创业的勋臣贵戚均加封进爵 5 当时南方则为东晋时期 战时成为保卫坞堡的战士 东晋多次北伐 383年派吕光西定西域 皇帝的君权较不能如其他朝代那样直接透过官僚机构达成 01 楚武悼帝 桓玄 403-404 被刘 聪 王弥兵攻破 卢循乘刘裕北伐 斐秀任地官 他击溃来犯的石虎 桓温像 一岁或稔 [10] 之后据守益州的武陵王萧纪称帝并进攻江陵 东晋士族经过丧乱逃窜的苦难 文学主要是五言诗在建安时期形成一个高峰以后 [69] 位卑者 TA说 而北朝代表人物是北地三才 表示坚决的反对态度 来维持帝室 已不仅限于人物画 天子用十二章 次年讨灭 南朝的皇权比较强大 ?8 影响最大的是玄学思想 代表建立北方诸国的主要民族 两晋又被称为司马晋 士族一般都同情他 或弘教理 大国置守土100人 03 秦宣昭帝 苻坚 357-385 若干僧侣也加入清谈 [41] 称东晋为中晋 建国 宋 使西晋又保持了十年的和平 稳定和富庶 谯蜀为东晋叛将谯纵所建 十六国时期的北方诸国多实行异族分治制度 战乱不止 农业在士族田庄经济中占主导的地位 一般农民也有兵役负担 永嘉五年（公元311年）西晋专政的太傅东海王司马越病死 随匈奴人来到中原后由于生活贫困 [5] 但由于世族已安居江南 持节都督分为三级 东汉和魏初 [9] 户调制 而且种族很多 北方再度回到诸雄混战的局面 前秦崩溃之后 [28] 冯太后猜忌多智且滥刑 400年后秦灭西秦 使原来儒 玄 佛 道的相互关系及其历史格局发生新的变化 401年孙恩偱海路直袭丹徒 学者路遇 腾 泽之认为北周灭齐后有3250万人 地方方镇较不受朝廷管辖 使南朝实力大减并四分五裂 于淝水之战惨败 传四帝 司马德文 苏峻迎战阵亡 名曰品色衣 [48] 政治压抑 但最后叛约并攻陷台城 [25] 刘裕成为北府兵的著名将领 [33] [23] 引用一批奸人作爪牙 409-412 . 砍林木 最 后受辱被杀 杀害官员百姓三万馀人 炼钢技术也有很大进步 中国史上最具影响力的书法家王羲之活跃于此时期 这些外族被世族收作奴婢 其他如制瓷 造纸 漆器等也都具有很高的水平 王敦画像 最后成都王被废 并由此切入 仇池 主要民族汉人 匈奴人 鲜卑人 羌族 氐族等 采 用世兵制 前燕慕容皝设置官学 Dynasties 所以南朝时全以寒人典掌机要 东晋灭亡 [73] 更非选皇子不可 在此基础上建立起来的国家 交州刺史杜慧度击杀卢循 [12-13] 司马元显收买刘牢之倒戈 先前前燕向东晋称臣 [17] 建立北府军 [74] [23] 以新注行世（王弼注《周易》 何晏注《论语》 杜预注《左传》） 移镇姑孰（今安徽当涂县） 北府军后由王恭等人统率 取得关东地区 影响了政府赋税收入 正当东晋朝全力攻击孙恩的时候 但使得暮气重重的鲜卑贵族趋向奢侈及文弱 最后为王敦 陶侃平定 性质同北齐行台 国力胜过逐渐混乱的北魏 镇守本 国 信任王导 王敦 荫其客户 只有24年 收入《丛书集成》初编 故官府对他们的控制极严 窦泰军于潼关战败 孙恩有众数十万人 不再具政区性质 谢安 前秦于淝水之战崩溃后 [69] 豫章等地一年蚕四 五熟 三次舍身同泰寺 加上江南河流纵横 国都 后来孙恩 卢循号招五斗米道信徒 叛乱 政权全归桓玄 朱序于后军大喊秦军已败 10 宕昌王 梁弥邕 502-505 又保护士族特权的一种土地制度 但是其州郡越分越多 当时在中原活跃的民族有鲜卑 乌桓 高句丽 丁零 羯 南匈奴 匈奴别支铁弗及卢水胡 以及西部的羌 氐 巴人 [26] 诸王都留居京城 慕容垂率军追杀 祖 逖感到前途无望 6 371年 世族获得经济特权 与此同时 03.所属时期 史称西晋 因为曹魏的田租是校亩计征 [45] 建国宋 在佛图澄 道安及鸠摩罗什的推广下 不甘隐避 清谈家说虚无 攻防交错 世代相袭 以三吴内地及东南沿海居多 [4] [14] 许诣 孙绰将佛学加入清谈 战后 在 整个魏晋南北朝期间 陈叔宝与爱妃张丽华 孔贵人避入井中后被俘 并非全然支持皇室 [48] 中原也流行胡族文化 准备北伐支离破碎的前秦 书写简易且流畅 晋武帝又重申前令 乞伏暮末 夏主赫连勃勃率军攻击 晋廷震惊 徙三河 三魏见士四万家以充之 使需求提高 以原籍州郡县名 寄治别处 并以募兵制补充兵力 还为僧团制定法规 后来渡江的北方士族 地理 后为石勒吸收 攻陷洛阳以及司 兖 青 豫四州 下令不可欺辱之 国政大乱 [86] 若让他们各归封国 晋兵大破苻坚的南侵军 以原籍州郡县名寄治别处 谢道韫 他喜听人奉承 建都长子 都洛阳 建康 但使 国政平稳 晋和东吴在长江上游的备战形势 全国统一后 匈奴郝散叛 吕隆 晋军大败 建康 平城 洛阳 邺城 长安 汉 前赵 北魏统一北方后 [29-30] 留守将领内哄 东晋 南朝的给客制规定：第一 二品官佃客无过四十户 疑忌上游重镇荆州刺史陶侃 国政大乱 尚未生动 [53] 东晋朝 的崩溃 当时纸的名目很多 ?南方士族拒绝和北方士族通婚 其中以王 谢 桓 庾四大家族为主的门阀对北伐采取了不同的态度 317年 [49] 2.玄学家认为“万物皆产生于无” 含蓄微笑的神态 我不能开乱伦的例 也流行了骈文 随着中原人口的大批南下 而且还反对有人主张北伐 世族 忌妒之 粪肥也在推广 州刺史及一些郡太守例带将军号 还有门生及奴隶 405年 其弟张茂向前赵的刘曜称臣（张轨传记载张茂未降并打败了刘曜） 3 逐步使百姓摆脱了战乱之苦 宋武帝去世后 成为隋唐兵制的基础 他对人民的压迫更重 史料记载 从鼓励垦荒 兴修水利 扩充劳动力 和加强监督等方面来促进农业生产 由于中正之职实际掌握在魏晋禅代之际荣宠不绝的官僚贵族手中 东晋则拥有中原文化及江南文化 石勒 石虎 苻坚与姚兴等极力支持佛教发展 但是因为战争的消耗 士兵的逃亡和被私家分割 羌人分布地区 原石在新疆吐鲁番高昌故城出土 司马炎 叔祖安平郡王司马孚则超越制度 军事编辑 豫章王司马炽继位 并凭借其王国军队争取自己的利益 终于爆发了“八王之乱” 于534年暗杀贺拔岳 北疆时常变动；水陆并进 长达一百多年的大动乱开始 至于监察制度 宇文邕当政期间也大量地吸纳汉族人士为兵源 依然��