兰州市七年级数学下册期末测试卷及答案

兰州市七年级数学下册期末测试卷及答案
一、选择题
1．如图所示，直线a ,b 被直线c 所截，则1∠与2∠是（ ）
A ．同位角
B ．内错角
C ．同旁内角
D ．对顶角 2．已知
，则a 2－b 2－2b 的值为 A ．4
B ．3
C ．1
D ．0 3．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A ．12
B ．15
C ．12或15
D ．18 4．下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5．下列四个等式从左到右的变形是因式分解的是 ( )
A ．22()()a b a b a b +-=-
B ．2()ab a a b a -=-
C ．25(1)5x x x x +-=+-
D ．21()x x x x x +=+ 6．下列计算中，正确的是（ ）
A ．（a 2）3=a 5
B ．a 8÷ a 2=a 4
C ．（2a ）3=6a 3
D ．a 2+ a 2=2 a 2 7．能把一个三角形的面积分成相等的两部分的线是这个三角形的（ ）
A ．一条高
B ．一条中线
C ．一条角平分线
D ．一边上的中垂线 8．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A ．（p ＋q ）（p ＋q ）
B ．（p ﹣q ）（p ﹣q ）
C ．（p ＋q ）（p ﹣q ）
D ．（p ＋q ）（﹣p ﹣q ） 9．如图，将△ABC 纸片沿D
E 折叠，点A 的对应点为A’，若∠B=60°，∠C=80°，则∠1+∠2
等于( )
A ．40°
B ．60°
C ．80°
D ．140° 10．下列各式中，不能够用平方差公式计算的是（ ）
A ．(y +2x )(2x ﹣y )
B ．(﹣x ﹣3y )(x +3y )
C ．(2x 2﹣y 2 )(2x 2+y 2 )
D ．(4a +b ﹣c )(4a ﹣b ﹣c )
二、填空题
11．如图，把△ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处，BC ∥DE ，若∠B ＝50°，则∠BDF ＝_______°．
12．多项式4a 3bc +8a 2b 2c 2各项的公因式是_________．
13．已知2x +3y -5=0，则9x •27y 的值为______．
14．如图，将△ABE 向右平移2cm 得到△DCF ，如果△ABE 的周长是16cm ，那么四边形ABFD 的周长是_____．
15．某校七年级社会实践小组去商场调查商品的销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售400件．该商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售，每件衬衫至多降价______元，销售完这批衬衫才能达到盈利45%的预期目标．
16．分解因式：m 2﹣9＝_____．
17．关于,x y 的方程组3x y m x my n -=⎧⎨-=⎩的解是11
x y =⎧⎨=⎩，则n 的值是______． 18．若a +b ＝4，a ﹣b ＝1，则（a +1）2﹣（b ﹣1）2的值为_____．
19．对有理数x ，y 定义运算：x*y=ax+by ，其中a ，b 是常数．例如：3*4=3a+4b ，如果2*（﹣1）=﹣4，3*2＞1，则a 的取值范围是_______．
20．已知满足不等式()()325416x x -+<-+的最小整数解是方程23x ax -=的解，则a 的值为________．
三、解答题
21．实验中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A 型、B 型两种型号的放大镜．若购买100个A 型放大镜和150个B 型放大镜需用1500元；若购买120个A 型放大镜和160个B 型放大镜需用1720元．
(1)求每个A 型放大镜和每个B 型放大镜各多少元；
(2)学校决定购买A 型放大镜和B 型放大镜共75个，总费用不超过570元，那么最多可以购买多少个A 型放大镜？
22．已知关于x、y的二元一次方程组21
3
2
2
x y
x y k
+=
⎧
⎪
⎨
-=-
⎪⎩
(k为常数)．
(1)求这个二元一次方程组的解(用含k的代数式表示)；
(2)若()2
421
y
x+=，求k的值；
(3)
若
1
4
k
≤，设364
m x y
=+，且m为正整数，求m的值．
23．先化简，再求值：(3x+2)(3x－2)－5x(x+1)－(x－1)2，其中x2－x－10=0．
24．计算：
（1）-22+30
（2）(2a)3+a8÷(-a)5
（3）(x+2y-3)(x-2y+3)
（4）(m+2)2(m-2)2
25．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，ΔABC经过平移后得到ΔA B C
'''，图中标出了点B的对应点B'，点A'、C'分别是A、C的对应点．
（1）画出平移后的ΔA B C
'''；
（2）连接BB'、CC'，那么线段BB'与CC'的关系是_________；
（3）四边形BCC B''的面积为_______．
26．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
（探究1）：如图1，在ΔABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分
析发现∠BOC=90º+1
2
∠A，（请补齐空白处
．．．．．．）
理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=1
2
∠ABC，_________________，
在ΔABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180º．
∴∠1+∠2=1
2
（∠ABC+∠ACB）=
1
2
（180º－∠A）=90º－
1
2
∠A，
∴∠BOC=180º－（∠1+∠2）=180º－（________）=90º+1
2
∠A．
（探究2）：如图2，已知O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则
∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
（应用）：如图3，在RtΔAOB中，∠AOB=90º，已知AB不平行与CD，AC、BD分别是
∠BAO和∠ABO的角平分线，又CE、DE分别是∠ACD和∠BDC的角平分线，则
∠E=_______；
（拓展）：如图4，直线MN与直线PQ相交于O，∠MOQ=60º，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E、F，在ΔAEF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则
∠ABO=______．
27．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1=∠2．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D=112°，求∠1的度数．
28．启秀中学初一年级组计划将m本书奖励给本次期中考试中取得优异成绩的n名同学，如果每人分4本，那么还剩下78本；如果每人分8本，那么最后一人分得的书不足8本，
但不少于4本．最终，年级组讨论后决定，给n 名同学每人发6本书，那么将剩余多少本书？
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据同旁内角的定义可判断．
【详解】
∵∠1和∠2都在直线c 的下侧，且∠1和∠2在直线a 、b 之内
∴∠1和∠2是同旁内角的关系
故选：C ．
【点睛】
本题考查同旁内角的理解，紧抓定义来判断．
2．C
解析：C
【分析】
先将原式化简，然后将a−b ＝1整体代入求解．
【详解】
()()2212221a b a b b a b a b b
a b b
a b
-∴--+--+--＝，
＝＝＝＝．
故答案选：C ．
【点睛】
此题考查的是整体代入思想在代数求值中的应用． 3．B
解析：B
【解析】
试题分析：根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．
解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去． ②若3是底，则腰是6，6．
3+6＞6，符合条件．成立．
∴C=3+6+6=15．
故选B ．
考点：等腰三角形的性质．
4．D
解析：D
【详解】
解：A 、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
B 、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
C 、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
D 、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，符合题意． 故选D ．
5．B
解析：B
【分析】
根据因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，即可求解．
【详解】
解：根据因式分解的概念，
A 选项属于整式的乘法，错误；
B 选项符合因式分解的概念，正确；
C 选项不符合因式分解的概念，错误；
D 选项因式分解错误，应为2(1)x x x x +=+，错误．
故选B ．
【点睛】
本题目考查因式分解的概念，难度不大，熟练区分因式分解与整数乘法的关系是解题的关键．
6．D
解析：D
【分析】
直接利用同底数幂的乘除运算法则，积的乘方运算法则以及合并同类项法则分别计算得出答案．
【详解】
解：A 、（a 2）3=a 6，故此选项错误；
B 、a 8÷ a 2=a 6，故此选项错误；
C 、（2a ）3=8a 3,，故此选项错误；
D 、a 2+ a 2=2 a 2，故此选项正确．
故选：D
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
7．B
解析：B
【分析】
根据三角形中线的性质作答即可．
【详解】
解：能把一个三角形的面积分成相等的两部分的线是这个三角形的一条中线． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形中线的性质，属于应知应会题型，熟知三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
利用完全平方公式和平方差公式对各选项进行判断．
【详解】
（p ＋q ）（p ＋q ）＝（p ＋q ）2＝p 2＋2pq ＋q 2；
（p ﹣q ）（p ﹣q ）＝（p ﹣q ）2＝p 2﹣2pq ＋q 2；
（p ＋q ）（p ﹣q ）＝p 2﹣q 2；
（p ＋q ）（﹣p ﹣q ）＝﹣（p ＋q ）2＝﹣p 2﹣2pq ﹣q 2．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握公式的结构及其运用是解答的关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据平角定义和折叠的性质，得123602(34)∠+∠=︒-∠+∠，再利用三角形的内角和定理进行转换，得34140B C ∠+∠=∠+∠=︒从而解题．
【详解】
解：根据平角的定义和折叠的性质，得
123602(34)∠+∠=︒-∠+∠．
又34180A ∠+∠+∠=︒，180A B C ∠+∠+∠=︒，
346080140B C ∴∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒，
∴123602(34)360214080∠+∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒，
故选：C ．
【点睛】
此题综合运用了平角的定义、折叠的性质和三角形的内角和定理．
10．B
解析：B
【分析】
根据平方差公式：22
()()a b a b a b +-=-进行判断．
【详解】
A 、原式22(2)x y =-，不符合题意；
B 、原式2(3)x y =-+，符合题意；
C 、原式2222(2)()x y =-，不符合题意；
D 、原式22(4)a c b =--，不符合题意；
故选B ．
【点睛】
本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 二、填空题
11．80°
【解析】
∵BC∥DE，∴∠ADE=∠B=50°，∵∠EDF=∠ADE=50°，∴∠BDF=180°-50°-50°=80°．故答案为80°．
解析：80°
【解析】
∵BC ∥DE ，∴∠ADE =∠B =50°，∵∠EDF =∠ADE =50°，∴∠BDF =180°-50°-
50°=80°．故答案为80°．
12．4a2bc
【分析】
多项式的公因式的系数是指多项式中各项系数的最大公约数，字母取各项相同字母的最低次幂．
【详解】
多项式4a3bc
8a2b2c2的各项公因式是4a2bc ． 故答案为：4a2bc
解析：4a 2bc
【分析】
多项式的公因式的系数是指多项式中各项系数的最大公约数，字母取各项相同字母的最低次幂．
【详解】
多项式4a3bc+8a2b2c2的各项公因式是4a2bc．
故答案为：4a2bc．
【点睛】
本题属于基础题型，注意一个多项式的各项都含有的公共因式是这个多项式的公因式．13．243
【解析】
【分析】
先将9x•27y变形为32x+3y，然后再结合同底数幂的乘法的概念和运算法则进行求解即可．
【详解】
∵2x+3y−5=0，
∴2x+3y=5，
∴9x27y=32x
解析：243
【解析】
【分析】
先将9x•27y变形为32x+3y，然后再结合同底数幂的乘法的概念和运算法则进行求解即可．【详解】
∵2x+3y−5=0，
∴2x+3y=5，
∴9x⋅27y=32x⋅33y=32x+3y=35=243.
故答案为：243.
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练的掌握同底数幂乘法的概念和运算法则. 14．20cm．
【分析】
根据平移的性质可得DF＝AE，然后判断出四边形ABFD的周长＝△ABE的周长+AD+EF，然后代入数据计算即可得解．
【详解】
解：∵△ABE向右平移2cm得到△DCF，
∴D
解析：20cm．
【分析】
根据平移的性质可得DF＝AE，然后判断出四边形ABFD的周长＝△ABE的周长+AD+EF，然后代入数据计算即可得解．
【详解】
解：∵△ABE向右平移2cm得到△DCF，
∴DF＝AE，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BE+DF+AD+EF，
＝AB+BE+AE+AD+EF，
＝16+AD+EF，
∵平移距离为2cm，
∴AD＝EF＝2cm，
∴四边形ABFD的周长＝16+2+2＝20cm．
故答案为20cm．
【点睛】
本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
15．【分析】
设每件衬衫降价x元，正好达到预期目标，根据销售收入-成本=利润，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设每件衬衫降价x元，正好达到预期目标，
根据题意得：120
解析：20
【分析】
设每件衬衫降价x元，正好达到预期目标，根据销售收入-成本=利润，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设每件衬衫降价x元，正好达到预期目标，
根据题意得：120×400+（120-x）×（500-400）-80×500=80×500×45%，
解得：x=20．
答：每件衬衫降价10元，正好达到预期目标．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．16．（m+3）（m﹣3）
【分析】
通过观察发现式子可以写成平方差的形式，故用平方差公式分解，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【详解】
解：m2﹣9
＝m2﹣32
＝（m+3）（m﹣3）．
故答案为
解析：（m+3）（m﹣3）
【分析】
通过观察发现式子可以写成平方差的形式，故用平方差公式分解，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【详解】
解：m2﹣9
＝m2﹣32
＝（m+3）（m﹣3）．
故答案为：（m+3）（m﹣3）．
【点睛】
此题考查的是因式分解，掌握利用平方差公式因式分解是解决此题的关键．
17．【分析】
将，代入方程组，首先求得，进而可以求得．
【详解】
解：将代入方程组得：，
解得：，
故的值为-1．
【点睛】
本题考查二元一次方程组，难度不大，理解二元一次方程组的解的含义是顺利解
解析：1-
【分析】
将x，y代入方程组，首先求得m，进而可以求得n．
【详解】
解：将
1
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程组得：
31=
1
m
m n
-
⎧
⎨
-=
⎩
，
解得：
2
1
m
n
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
故n的值为-1．
【点睛】
本题考查二元一次方程组，难度不大，理解二元一次方程组的解的含义是顺利解题的关键．
18．12
对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值．
【详解】
解：∵a+b＝4，a﹣b＝1，
∴（a+1）2﹣（b﹣1）2
＝（a+1+b﹣1）（a+1﹣b+1）
＝（a+b
解析：12
【分析】
对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值．
【详解】
解：∵a+b＝4，a﹣b＝1，
∴（a+1）2﹣（b﹣1）2
＝（a+1+b﹣1）（a+1﹣b+1）
＝（a+b）（a﹣b+2）
＝4×（1+2）
＝12．
故答案是：12．
【点睛】
本题考查了公式法分解因式，属于基础题，熟练掌握平方差公式的结构特征即可解答．19．a＞﹣1
【分析】
根据新运算法则可得关于a、b的方程与不等式：2a﹣b=﹣4①，3a+2b＞1②，于是由①可用含a的代数式表示出b，所得的式子代入②即得关于a的不等式，解不等式即得答案．
【详解】
解析：a＞﹣1
【分析】
根据新运算法则可得关于a、b的方程与不等式：2a﹣b=﹣4①，3a+2b＞1②，于是由①可用含a的代数式表示出b，所得的式子代入②即得关于a的不等式，解不等式即得答案．【详解】
解：∵2*（﹣1）=﹣4，3*2＞1，
∴2a﹣b=﹣4①，3a+2b＞1②，
由①得，b=2a+4③，
把③代入②，得3a+2(2a+4)＞1，
解得：a＞﹣1．
故答案为：a＞﹣1．
本题是新运算题型，主要考查了一元一次不等式的解法，正确理解运算法则、熟练掌握一元一次不等式的解法是关键．
20．【分析】
首先解不等式求的不等式的解集，然后确定解集中的最小整数值，代入方程求得a 的值即可；
【详解】
解不等式，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
则最小的整数解为- 解析：72
【分析】
首先解不等式求的不等式的解集，然后确定解集中的最小整数值，代入方程求得a 的值即可；
【详解】
解不等式()()325416x x -+<-+，
去括号，得365446-+<-+x x ，
移项，得344665-<-++-x x ，
合并同类项，得3x -<，
系数化为1，得3x ＞-，
则最小的整数解为-2．
把2x =-代入23x ax -=中，
得423a -+=， 解得：72a =
． 故答案为72
． 【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的解与一元一次不等式的整数解，准确计算是解题的关键．
三、解答题
21．（1）每个A 型放大镜和每个B 型放大镜分别为9元，4元；（2）最多可以购买54个A 型放大镜.
（1）根据题意设每个A 型放大镜和每个B 型放大镜分别为x 元，y 元，列出方程组即可解决问题；
（2）由题意设购买A 型放大镜a 个，列出不等式并进行分析求解即可解决问题．
【详解】
解：（1）设每个A 型放大镜和每个B 型放大镜分别为x 元，y 元，可得：
10015015001201601720x y x y +⎧⎨+⎩
＝＝， 解得：94
x y =⎧⎨=⎩. 答：每个A 型放大镜和每个B 型放大镜分别为9元，4元.
（2）设购买A 型放大镜a 个，根据题意可得：94(75)570a a +⨯-≤，
解得：54a ≤.
答：最多可以购买54个A 型放大镜.
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，列出方程组和不等式进行分析解答．
22．（1）218524
k x k
y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩；（2）52k =或12k =-；（3）1或2． 【分析】
（1）根据题意直接利用加减消元法进行计算求解即可；
（2）由题意根据01(0)a a =≠和11n =以及2(1)1n -=（n 为整数）得到三个关于k 的方
程，求出k 即可；
（3）根据题意用含m 的代数式表示出k ，根据14
k ≤
，确定m 的取值范围，由m 为正整数，求得m 的值即可．
【详解】 解：（1）21322x y x y k ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
①②， ①+②得：3412x k =+-，解得：218k x -=， ①-②得：3212y k =-+，解得：524
k y -=，
∴二元一次方程组的解为：218524
k x k y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩. （2）∵01(0)a a =≠，2(42)1y x +=，
∴20y =，即52204
k -⨯=，解得：52k =； ∵11n =，2(42)1y x +=，
∴421x +=，即214218k -⨯
+=，解得：12
k =-； ∵2(1)1n -=（n 为正整数），2(42)1y x +=， ∴421
2x y +=-，为偶数，即214218k -⨯+=-，解得：52k =-； 当52k =-时，3532115222y k =-+=++=，为奇数，不合题意，故舍去． 综上52k =或12
k =-. （3）∵215213643647842k k m x y k --=+=⨯
+⨯=+，即172m k =+， ∴2114m k -=
， ∵14k ≤
， ∴211144m k -=≤，解得94
m ≤， ∵m 为正整数，
∴m=1或2．
【点睛】
本题考查解二元一次方程组以及解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键． 23．3x 2－3x －5，25
【分析】
原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，最后一项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将已知的方程变形后代入即可求值．
【详解】
原式＝()
222945521x x x x x -----+
＝222945521x x x x x ----+-
＝2335x x --，
当2100x x =--，即210x x =-时，
原式＝()235310525x x -=⨯-=-
【点睛】
本题考查整式的混合运算-化简求值，涉及的知识点有：完全平方公式、平方差公式、去括号法则及合并同类项法则，熟练掌握以上公式及法则是解题的关键．
24．（1）-3 （2）7a 3（3）x 2-4y 2+12y -9（4）m 4-8m 2+16
【分析】
（1）原式利用零指数幂法则及乘方的意义化简，计算即可得到结果；
（2）先 利用积的乘方公式和同底数幂的除法公式计算，然后合并即可得到结果； （3）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简即可得到结果；
（4）原式先利用平方差方式计算，再利用完全平方公式计算即可得到结果.
【详解】
（1）2042331=-+-=-+；
（2）()()533833
()872a a a a a a ÷=+-=+-； （3） ()()()()23232323x y x y y x x y +--+---=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()2222234129x y x y y =--=-+-；
（4）()
()()()2222222m m m m +-+-=⎡⎤⎣⎦ ()42228146m m m =-+-=.
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．（1）见解析；（2）平行且相等；（3）28
【分析】
（1）根据平移的性质画出点A 、C 平移后的对应点A '、C '即可画出平移后的△A B C '''； （2）根据平移的性质解答即可；
（3）根据平行四边形的面积解答即可．
【详解】
解：（1）如图，ΔA B C '''即为所求；
（2）根据平移的性质可得：BB '与CC '的关系是平行且相等；
故答案为：平行且相等；
（3）四边形BCC B''的面积为4×7=28．
故答案为：28．
【点睛】
本题主要考查了平移的性质和平移作图，属于常考题型，熟练掌握平移的性质是解题关键．
26．【探究1】∠2=1
2
∠ACB，90º－
1
2
∠A；【探究2】∠BOC＝90°﹣
1
2
∠A，理由见解
析；【应用】22.5°；【拓展】45°或36°．【分析】
【探究1】根据角平分线的定义可得∠1=1
2
∠ABC，∠2=
1
2
∠ACB，根据三角形的内角和
定理可得∠1+∠2=90º－1
2
∠A，再根据三角形的内角和定理即可得出结论；
【探究2】如图2，由三角形的外角性质和角平分线的定义可得∠OBC＝1 2
（∠A+∠ACB），∠OCB＝1
2
（∠A+∠ABC），然后再根据三角形的内角和定理即可得出结
论；
【应用】延长AC与BD，设交点为G，如图5，由【探究1】的结论可得∠G的度数，于是可得∠GCD+∠GDC的度数，然后根据角平分线的定义和角的和差可得∠1+∠2的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出结果；
【拓展】根据角平分线的定义和平角的定义可得∠EAF=90°，然后分三种情况讨论：若
∠EAF=4∠E，则∠E=22.5°，根据角平分线的定义和三角形的外角性质可得∠ABO=2∠E，于是可得结果；若∠EAF=4∠F，则∠F=22.5°，由【探究2】的结论可求出∠ABO=135°，然后由三角形的外角性质即可判断此种情况不存在；若∠F=4∠E，则∠E=18°，然后再由第一种情况的结论∠ABO=2∠E即可求出结果，进而可得答案．
【详解】
解：【探究1】理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=1
2
∠ABC，∠2=
1
2
∠ACB，
在ΔABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180º．
∴∠1+∠2=1
2
（∠ABC+∠ACB）=
1
2
（180º－∠A）=90º－
1
2
∠A，
∴∠BOC=180º－（∠1+∠2）=180º－（90º－1
2
∠A）=90º+
1
2
∠A；
故答案为：∠2=1
2
∠ACB，90º－
1
2
∠A；
【探究2】∠BOC ＝90°﹣12∠A ；理由如下： 如图2，由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC ＝
12（∠A +∠ACB ），∠OCB ＝12
（∠A +∠ABC ）， 在△BOC 中，∠BOC ＝180°﹣∠OBC ﹣∠OCB
＝180°﹣
12（∠A +∠ACB ）﹣12（∠A +∠ABC ）， ＝180°﹣
12（∠A +∠ACB +∠A +∠ABC ）， ＝180°﹣
12（180°+∠A ）， ＝90°﹣12
∠A ；
【应用】延长AC 与BD ，设交点为G ，如图5，由【探究1】的结论可得：
∠G=1901352
O ︒+
∠=︒， ∴∠GCD+∠GDC=45°， ∵CE 、DE 分别是∠ACD 和∠BDC 的角平分线，
∴∠1=12∠ACD=()11802GCD ︒-∠，∠2=12∠BDC=()11802
GDC ︒-∠， ∴∠1+∠2=
()11802GCD ︒-∠+()11802GDC ︒-∠=()136045157.52︒-︒=︒, ∴()1801222.5E ∠=︒-∠+∠=︒；
故答案为：22.5°；
【拓展】如图4，∵AE 、AF 是∠BAO 和∠OAG 的角平分线，
∴∠EAQ+∠FAQ=()111809022
BAO GAO ∠+∠=⨯︒=︒， 即∠EAF=90°，
在Rt △AEF 中，若∠EAF=4∠E ，则∠E=22.5°，
∵∠EOQ=∠E+∠EAQ ，∠BOQ=2∠EOQ ，∠BAO=2∠EAQ ，
∴∠BOQ=2∠E+∠BAO ，
又∠BOQ=∠BAO+∠ABO ，
∴∠ABO=2∠E=45°；
若∠EAF=4∠F ，则∠F=22.5°，
则由【探究2】知：19022.52
F ABO ∠=︒-
∠=︒，∴ ∠ABO=135°， ∵∠ABO ＜∠BOQ=60°，∴此种情况不存在；
若∠F=4∠E ，则∠E=18°，
由第一种情况可知：∠ABO=2∠E ，∴∠ABO=36°；
综上，∠ABO=45°或36°；
故答案为：45°或36°．
【点睛】 本题主要考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、平角的定义和三角形的外角性质等知识，具有一定的综合性，熟练掌握上述知识、灵活应用整体思想是解题的关键．
27．(1)见解析；(2)56°
【分析】
（1）先证∠1=∠CGF 即可，然后根据平行线的判定定理证明即可；
（2）先根据平行线的性质、角平分线的性质以及垂直的性质得到∠1+∠4=90°，再求出∠4即可．
【详解】
(1)证明：∵FG∥AE，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB∥CD．
(2)解：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D=180°，
∵∠D=112°，
∴∠ABD=180°﹣∠D=68°，∵BC平分∠ABD，
∴∠
4=1
2
∠ABD=34°，
∵FG⊥BC，
∴∠1+∠4=90°，
∴∠1=90°﹣34°=56°．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练应用相关性质和定理．
28．38本
【分析】
先表示书的总量，利用不等关系列不等式组，求不等式组的正整数解即可得到答案．【详解】
解：由题意得：
4788(1)8 4788(1)4
n n
n n
+--
⎧
⎨
+--≥
⎩
＜①
②
由①得：
1
2 n＞19
由②得：
1
20
2 n≤
∴不等式组的解集是：
11 19
22
≤
＜n20
n 为正整数， 20,n ∴=
478158,m n ∴=+= 15820638.∴-⨯= 答：剩下38本书．
【点睛】
本题考查的是不等式组的应用，掌握利用不等关系列不等式组是解题的关键．。