高三数学12月摸底考试试题 文 试题

二中2021届高三数学12月摸底考试试题 文
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，一共2页。

满分是150分，考试时间是是120分钟。

在在考试完毕之后以后，将本套试卷以及答题卡和答题纸一起交回。

答卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。

第一卷〔选择题 一共50分〕
一、选择题：本大题一一共 10 小题，每一小题 5 分，一共 50 分. 1．设集合{}(){}
1,0,1,2,110M N x g x M N =-=+>⋂=，则( ) A.
{}01， B. {}012，， C. {}1,2 D. {}101-，，
2．复数z 满足4312i
z i
+=+，则z=( ) A. 2i +
B. 2i -
C. 12i +
D. 12i -
3．平面向量,a b ，1,2,25a b a b ==-=，那么向量,a b 的夹角为( )
A.
6
π
B.
3
π
C.
4
π
D.
2
π
4．以下命题中，真命题是( ) A. 2,2
x
x R x ∀∈> B. ,0x x R e ∃∈<
C. 假设,a b c d >>，那么 a c b d ->-
D. 22ac bc <是a b <的充分不必要条件
5．实数,x y 满足40
1010x y y x +-≤⎧⎪
-≥⎨⎪-≥⎩
，那么22(1)z x y =-+的最大值是( )
A ．1
B ．9
C ．2
D ．11
6．将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是( ) A. 12
x π
=-
B. 12
x π
=
C. 6
x π
=
D. 3
x π
=
7．执行如下图的程序框图，输出的i 为( ) A.4
B.5
C.6
D.7
8．函数
()()2,14x f x ax e f '=--=-，那么函数()y f x =的零点所
在的区间是( ) A.
()3,2-- B. ()1,0- C. ()0,1 D. ()4,5
9．假设函数
)(log )(b x x f a +=的大致图像如右图，
其中b a ,为常数，那么函数b a x g x +=)(的大致图
象是( )
A B C D 10．设函数()()()2log ,0112f x x a b f b f a a b =<<<=++若且，则的取值范围为( )
A. [)4,+∞
B.
()4,+∞
C.
[)5,+∞ D. ()5,+∞
第二卷〔非选择题 一共100分〕
二、填空题:本大题一一共5小题， 每一小题5分，一共25分.
11．设函数3(1)()3
(1)
x
x b
x f x x -<⎧=⎨
≥⎩，假设1(())92
f f =，那么实数b 的值是______
12. 设θ为第二象限角，假设1
tan()32
θπ+=
，那么sin 3cos θθ+=______
13．等比数列{a n }的前6项和S 6＝21，且4a 1、3
2
a 2、a 2成等差数列， 那么a n =______
14．球的直径4PC =，,A B 在球面上，2AB =，45CPA CPB ∠=∠=︒， 那么棱锥P ABC - 的体积为______
15．函数()31
,1,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩
，假设关于x 的方程()
f x x m =+有两个不同的实根，那么m 的取值范围为
______
三、解答题：本大题一一共6小题，一共75分. 16．〔本小题满分是12分〕 向量(1,cos 2),(sin 2,3)a
x b x ==-，函数()f x a b =⋅．
〔1〕假设26
23
5
f θπ
⎛⎫+=
⎪⎝⎭，求cos2θ的值； 〔2〕假设0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求函数()f x 的值域． 17．〔本小题满分是12分〕
为增强民的环保意识，面向全征召宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如下图．
〔1〕假设从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取 6名志愿者参加的宣传活动，应从第3，4，5组 各抽取多少名志愿者？
〔2〕在〔Ⅰ〕的条件下，决定在这6名志愿者中 随机抽取2名志愿者介绍宣传经历，求第4组至少有 一名志愿者被抽中的概率．
18．〔本小题满分是12分〕
()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()(2)e 2x f x x -=+-
〔1〕 当x ＞0时，求()f x 的解析式；
〔2〕假设[02]x ∈，时，方程()f x m =有实数根，务实数m 的取值范围．
19．〔本小题满分是12分〕
在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧面SAD 为边长为2的正三角形，且面SAD ⊥面ABCD ，AB=2，E 、 F 分别为AD 、SC 的中点；
〔1〕求证：BD ⊥SC ； 〔2〕求四面体EFCB 的体积. 20．〔本小题满分是13分〕
数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S +=-〔*n ∈N 〕. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；
〔2〕令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 21．〔本小题满分是14分〕
设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数．
〔1〕当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
〔2〕求证：1
()0f a
≤；
〔3〕假设函数()f x 有且只有1个零点，求a 的值．
高三数学文科考试试题
参考答案
一.选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分〕
二、填空题:本大题一一共5小题， 每一小题5分，一共25分
11. 1
2
-
12. 13. 321
-n 14. 334
15. 39
2
3920-<<<m m 或 三.解答题 16．解： 〔1
〕∵向量(1,cos 2),(sin 2,a
x b x ==，
∴()sin 222sin(2)3f x a b x x x π
=⋅==-
，
∴246()2sin()2sin 2
3335
f ππθθ
πθ+
=+-=-=， 那么3sin 5θ=-
，2cos 212sin θθ=-97
122525
=-⨯=； 〔2〕由[0,
]2
x π
∈，那么22[,]3
33
x π
ππ
-
∈-
，
∴sin(2)[,1]32
x π-
∈-，
那么
()[f x ∈．那么()f x
的值域为[．
17．解：
〔1〕第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20,
第5组的人数为0.1×100=10.
因为第3,4,5组一共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为: 第3组:
3060×6=3； 第4组:2060×6=2； 第5组:10
60
×6=1； 即应从第3,4,5组中分别抽取3人, 2人,1人.
〔2〕记第3组的3名志愿者为1A ,2A ,3A ,第4组的2名志愿者为1B ,2B ,第5组的1名志愿者为
1C .那么从6名志愿者中抽取2名志愿者有:
( 1A ,2A ), (1A ,3A ),( 1A ,1B ),( 1A ,2B ),( 1A ,1C ), ( 2A ,3A ),( 2
A 1
B ),( 2A ,2B ), ( 2A ,1
C ),
( 3A ,1B ), 3A ,2B ), (3A ,1C ),
( 1B ,2B ),( 1B ,1C ),( 2B ,1C ),一共有15种.
其中第4组的2名志愿者1B ,2B 至少有一名志愿者被抽中的有: ( 1A ,1B ),( 1A ,2B ),( 2
A 1
B ),( 2A ,2B ), ( 3A ,1B ), (3A ,2B ),( 1B ,2B ),
( 1B ,1C ),( 2B ,1C ),一共有9种, 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93
155
= 18．解：
(1) 当x ≤0时，()(2)e 2x f x x -=+-，
当x ＞0时，那么－x ＜0时，()(2)e 2x f x x -=-+-， 由于()f x 奇函数，那么()()[(2)e 2]x f x f x x =--=--+-， 故当x ＞0时，()(2)e 2x f x x =-+． (2) 当0x =时， (0)0f =．
当02x <≤时，()(2)e 2x f x x =-+，()(1)e x f x x '=-，由()0f x '=，得1x =，
当01x <<时，()0f x '<，当12x <<时，()0f x '>，那么()f x 在(0,1)上单调递减；在(1,2) 上单调递
增．那么()f x 在1x =处获得极小值(1)2e f =-，
又(0)0f =，(2)2f =，故当02x <≤时，()[2e 2]f x ∈-，． 综上，当[02]x ∈，时，()[2e 2]f x ∈-，， 所以实数m 的取值范围是[2e 2]-，．
19．解：
〔1〕证明：连接BD ，设BD ∩CE=O 易证：△CDE ∽△BCD ∴∠DBC=∠ECD ∵∠DBC+∠BDC=90 ∴∠ECD +∠BDC=90∴∠COD=90∴BD ⊥CE ∵△SAD 为正三角形，E 为AD 中点∴SE ⊥AD 又∵面SAD ⊥面ABCD ，且面SAD ∩面ABCD=AD ∴SE ⊥面ABCD ∵BD 面ABCD ∴SE ⊥BD
∵BD ⊥CE ，SE ⊥BD ，CE ∩SE=E ，∴BD ⊥面SEC SC 面SEC ∴BD ⊥SC 〔2〕∵F 为SC 中点 ∴V F-EBD =1
2
V S-EBC
连接SE ，面SAD ⊥面ABCD ∵△SAD 为正三角形∴SE ⊥AD 又∵面SAD ⊥面ABCD ∴SE ⊥面ABCD SE= 3 S △EBC =1
2
×2×2= 2
∴V F-EBD =12V S-EBD =12×13×2×3=6
6
20．解：
(1)由122n n S +=-， 当1n =时，21222a =-=， 当2n ≥，122n n S -=-，
那么1122(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=，当n=1时，12a =满足上式，所以2n n a =． (2) 由(Ⅰ)，2n n n b na n ==⨯． 那么1212222n n T n =⨯+⨯++⨯， 所以231212222n n T n +=⨯+⨯+
+⨯，
那么2
1
2222
n n n T n +-=++
+-⨯12(12)212
n n n +-=-⨯-1(1)22n n +=--．
所以1(1)22n n T n +=-+． 21．解：
〔1〕当2a =时，2()ln 22f x x x x =-+，那么1
'()42f x x x
=
-+， 所以'(1)1f =-，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=．
〔2〕因为111()ln 1f a a a =-+，设函数()ln 1g x x x =-+，那么11'()1x
g x x x
-=-=，
令'()0g x =，得1x =，列表如下：
所以()g x
的极大值为(1)0g =
．所以()ln 10f a a a
=-+≤．
〔3〕212
1
'()2ax ax f x ax a x x
--=-+=-，0x >，
令
'()0f x >
，得44a a x a a
<<，因为
04a a <， 所以()f x
在上单调增，在)+∞上单调减． 所以()(
4a f x f a
≤． 设04a x a
=()f x 只有1个零点，而(1)0f =，
所以1是函数()f x 的唯一零点．
当01x =时，()(1)0f x f =≤，()f x 有且只有1个零点，
此时
14a a
=，解得1a =． 下证，当01x ≠时，()f x 的零点不唯一．
假设01x >，那么0()(1)0f x f >=，此时
14a a >，即01a <<，那么11a
>． 由〔2〕知，1
()0f a
<，又函数()f x 在以0x 和1a 为端点的闭区间上的图象不连续，
所以在0x 和
1
a
之间存在()f x 的零点，那么()f x 一共有2个零点，不符合题意；
假设01x <，那么0()(1)0f x f >=1<，即1a >，那么101a
<<． 同理可得，在
1
a
和0x 之间存在()f x 的零点，那么()f x 一共有2个零点，不符合题意． 因此01x =，所以a 的值是1．
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。