2019-2020学年数学人教A版选修2-2作业与测评：1.7.2 定积分在物理中的应用

课时作业15 定积分在物理中的应用
知识点一 变速直线运动的路程、位移
1.从空中自由下落的物体，在第1秒时刻恰好经过电视塔顶，在第4秒时刻落地，已知自由落体的运动速度为v ＝10t(单位：m /s )，则电视塔高为( )
A ．80 m
B ．75 m
C ．90 m
D ．85 m 答案 B
解析 塔高h ＝⎠⎛1
410t d t ＝5t 2| 4
1＝75(m)．
2．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t (单位：m/s)，则列车刹车后前进多少米才能停车( )
A ．405
B ．540
C ．810
D ．945 答案 A
解析 令v (t )＝27－0.9t ＝0，则t ＝30，所以列车刹车后30 s 可停
车，则列车由开始刹车到停车所走过的路程为s ＝∫300v (t )d t ＝∫30
0(27－
0.9t )d t ＝(27t －0.45t 2)| 300＝405(m)．
3．一点在直线上从时刻t ＝0(单位：s)开始以速度v (t )＝t 2－4t ＋3(单位：m/s)运动，求：
(1)该点在t ＝4 s 时的路程； (2)该点在t ＝4 s 时的位移．
解 (1)由v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，得当0≤t ≤1或3≤t ≤4时，v (t )≥0；当1≤t ≤3时，v (t )≤0，
所以在t ＝4 s 时的路程为
s ＝⎠⎛0
1(t 2－4t ＋3)d t －⎠⎛1
3(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛3
4(t 2－4t ＋3)d t ＝
⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 10－ ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 31＋
⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 43
＝4(m)．
(2)在t ＝4 s 时的位移为s 1＝⎠⎛0
4(t 2
－4t ＋3)d t ＝
⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t 40＝43(m).
知识点二 变力所做的功
4.一物体在变力F (x )＝2x 2－1作用下沿直线由x ＝1运动到x ＝3，则力F (x )所做的功等于( )
A ．15 B.463 C ．24 D.43
3 答案 B
解析 力F (x )所做的功
W ＝⎠⎛1
3
(2x 2
－1)d x ＝
⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3－x 31＝46
3.
5．一物体在力F (x )＝15－3x 2(力的单位：N ，位移的单位：m)作用下沿与力F (x )成30°角的方向由x ＝1直线运动到x ＝2处，作用力F (x )所做的功为( )
A. 3 J B ．2 3 J C ．4 3 J D.3
2 J 答案 C
解析 W ＝⎠⎛12F (x )cos30°d x ＝32⎠⎛1
2(15－3x 2)d x ＝32(15x －x 3)| 2
1＝32
[(30－8)－(15－1)]＝43(J)．
6．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
10，0≤x ≤2，
3x ＋4，x ＞2
(单位：N)的作用下沿与力
F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为( )
A ．44 J
B ．46 J
C ．48 J
D ．50 J 答案 B
解析 W ＝⎠⎛0
4F (x )d x ＝⎠⎛0
210d x ＋⎠
⎛2
4
(3x ＋4)d x ＝10x ⎪⎪⎪
2
0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x ⎪⎪
⎪
4
2＝46(J)．
一、选择题
1．以初速度40 m/s 向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )
A.1603 m
B.803 m
C.403 m
D.203 m 答案 A
解析 v ＝40－10t 2＝0，得物体达到最高时t ＝2，此时高度h ＝⎠⎛0
2(40
－10t 2
)d t ＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛
⎭⎪⎫40t －103t 320＝1603(m)．故选A.
2．如果1 N 的力能使弹簧伸长1 cm ，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为( )
A ．0.5 J
B ．1 J
C ．50 J
D ．100 J 答案 A
解析 由于弹簧所受的拉力F (x )与伸长量x 成正比，依题意，得
F (x )＝x ，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为W ＝∫100F (x )d x ＝∫10
x d x ＝12x 2| 100＝50(N·
cm)＝0.5(J)． 3．由y ＝x 2
，y ＝14x 2
及x ＝1围成的图形的面积S ＝( )
A.14
B.12
C.1
3 D ．1 答案
A
解析 图形如图所示，
S ＝⎠⎛01x 2
d x －⎠⎛0114x 2
d x ＝⎠⎛0
134x 2
d x ＝14x 3| 10＝1
4. 4．汽车以32 m/s 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a ＝－8 m/s 2匀减速刹车，则从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为( )
A ．128 m
B ．64 m
C ．32 m
D ．80 m 答案 B
解析 由匀减速运动可得v (t )＝v 0＋at ， 其中v 0＝32 m/s ，a ＝－8 m/s 2，
故v (t )＝32－8t ，令v (t )＝0，得t ＝4，即刹车时间为4 s ，可得刹车距离为
s ＝⎠⎛0
4(32－8t )d t ＝(32t －4t 2) |40＝64(m)．
5．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受力F (x )＝1＋e x ，则质点沿着与F (x )相同的方向，从点x 1＝0处运动到点x 2＝1处，力F (x )所做的功是( )
A ．1＋e
B ．e C.1
e D ．e －1 答案 B
解析 W ＝⎠⎛0
1(1＋e x )d x ＝(x ＋e x )| 10＝e.
二、填空题
6．质点运动的速度是(18t －3t 2) m/s ，质点在[0,8]时间段内所通过的路程为________．
答案 152 m
解析 路程s ＝⎠⎛0
6(18t －3t 2)d t ＋⎠⎛6
8(3t 2－18t )d t
＝(9t 2－t 3)| 60＋(t 3－9t 2)| 86＝9×62－63＋83－9×82－63＋9×62＝
152(m)．
7．一物体沿直线以速度v ＝1＋t m/s 运动，该物体运动开始后
10 s 内所经过的路程是________．
答案 2
3(1132
－1) 解析
S ＝∫100
1＋t d t ＝23(1＋t )32
| 10
0＝23(1132
－1)．
8．一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8 (m/s)的速度运动，则其在前30秒内的平均速度为________．
答案 263 m/s
解析 v (t )＝t 2－3t ＋8，当0≤t ≤30时，v (t )>0.由定积分的物理意义：
s ＝∫300(t 2
－3t ＋8)d t ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫13t 3－32t 2＋8t | 300
＝7890(m)，
v ＝s t ＝7890
30＝263(m/s)． 三、解答题
9．物体A 以速度v A ＝3t 2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B 以速度v B ＝10t (米/秒)在同一直线上与物体A 同方向运动，问多长时间物体A 比B 多运动5米？此时，物体A ，B 运动的路程各是多少？
解 依题意知，物体A ，B 都做变速直线运动． A 从开始到t 秒后所走的路程为 s A ＝⎠⎛0
t v A d t ＝⎠⎛0
t (3t 2＋1)d t ＝t 3＋t ；
B 从开始到t 秒后所走的路程为 s B ＝⎠⎛0
t v B d t ＝⎠⎛0
t 10t d t ＝5t 2.
由题意得s A ＝s B ＋5，即t 3＋t ＝5t 2＋5，得t ＝5(秒)． 此时，s A ＝53＋5＝130(米)，s B ＝5×52＝125(米)．
答：5秒后物体A 比B 多运动5米，此时，物体A ，B 运动的路程分别是130米和125米．
10．如图所示，一物体沿斜面在拉力F 的作用下由A 经B 、C 运动到D ，其中AB ＝50 m ，BC ＝40 m ，CD ＝30 m ，变力F ＝
⎩⎨⎧
14
x ＋5(0≤x ≤90)，20(90<x ≤120)，
(单位：N)，在AB 段运动时F 与运动方向成30° 角，在BC 段运动时F 与运动方向成45°，在CD 段F 与运动方向相同，求物体由A 运动到D 所作的功．
解 在AB 段运动时F 在运动方向上的分力 F 1＝F cos30°，
在BC 段运动时F 在运动方向上的分力 F 2＝F cos45°. 由变力做功公式得：
W ＝∫500⎝
⎛⎭
⎪⎫14x ＋5cos30°d x ＋⎠⎛5090⎝
⎛⎭
⎪⎫14x ＋5cos45°d x ＋600
＝38 ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋20x 500＋28
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2
＋20x 9050＋600 ＝1125
43＋4502＋600≈1723(J)．
所以物体由
A
运动到D
所做的功约为
1723 J.。