人教A版高中数学必修四课时提升作业十四1-6 三角函数模型的简单应用2 含解析 精品

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课时提升作业(十四)
三角函数模型的简单应用
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.(2014·泰安高一检测)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)+B的周期为错误！未找到引用源。

π，初相为错误！未找到引用源。

，值域为[-1，
3]，则其解析式的最简形式为( )
A.y=2cos错误！未找到引用源。

+1
B.y=2cos错误！未找到引用源。

-1
C.y=-2cos错误！未找到引用源。

-1
D.y=2sin错误！未找到引用源。

+1
【解析】选A.初相为错误！未找到引用源。

，排除选项D，值域为[-1，3]，排除选项B，C.
2.(2014·三亚高一检测)已知某人的血压满足函数解析式f(t)=
24sin160πt+110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数
为( )
A.60
B.70
C.80
D.90
【解析】选C.由题意T=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

，
所以频率f=80.
3.(2014·襄阳高一检测)函数y=sin错误！未找到引用源。

的图象( )
A.关于x轴对称
B.关于原点对称
C.关于y轴对称
D.不具有对称性
【解题指南】利用函数的奇偶性的定义来判断出该函数是奇函数还是偶函数.
【解析】选C.因为x∈R，且f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x).所以函数y=sin错误！未找到引用源。

是偶函数，图象关于y轴对称.
4.(2014·临沂高一检测)已知函数y=3cos错误！未找到引用源。

(ω>0)的图象与直线y=3相邻的两个公共点之间的距离为错误！未找到引用源。

，则ω的值为( )
A.3
B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解题指南】y=3cos错误！未找到引用源。

的最大值为3，公共点处是最大值处，故相邻两公共点之间的距离即为一个周期，进而由T=错误！未找到引用源。

求出ω.
【解析】选A.y=3cos错误！未找到引用源。

的最大值为3，所以与直线y=3相邻的两个公共点之间的距离错误！未找到引用源。

正好为一个周期，故ω=3.
5.已知简谐运动f(x)=Asin(ωx+φ)A>0，错误！未找到引用源。

<错误！未找到引用源。

的振幅是错误！未找到引用源。

，图象上相
邻最高点和最低点的距离是5，且过点错误！未找到引用源。

，则该简谐运动的频率和初相分别是
( ) A.错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

【解析】选B.由题意可知，A=错误！未找到引用源。

，32+错误！未找到引用源。

=52，则T=8，ω=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

，y=错误！未找到引用源。

sin错误！未找到引用源。

，由错误！未找到引用源。

sinφ=错误！未找到引用源。

，所以sinφ=错误！未找到引用源。

，因为错误！未找到引用源。

<错误！未找到引用源。

，所以φ=错误！未找到引用源。

，因此频率是错误！未找到引用源。

，初相为错误！未找到引用源。

.
6.(2014·海淀高二检测)一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m(即OM长)，巨轮的半径为30m，AM=BP=2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h(t)m，则h(t)= ( )
A.30sin错误！未找到引用源。

+30
B.30sin
错误！未找到引用源。

+30
C.30sin错误！未找到引用源。

+32
D.30sin 错误！未找到引用源。

【解析】选B.过点O作地面平行线ON，
过点B作ON的垂线BH交ON于H点.
点A在☉O上逆时针运动的角速度是错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

，
所以t分钟转过的弧度数为错误！未找到引用源。

t，设θ=错误！未找到引用源。

t，
当θ>错误！未找到引用源。

时，∠BOH=θ-错误！未找到引用源。

，h=OM+BH-BP
=30+30sin错误！未找到引用源。

，
当0<θ<错误！未找到引用源。

时，上述关系式也适合，
故h=30+30sin错误！未找到引用源。

=30sin错误！未找到引用源。

+30.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.如图所示是某个弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时
间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是.
【解析】设函数解析式为y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)，由图知A=2，T=0.8，所以ω=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.
又函数图象过点(0.1，2)，
所以2=2sin(错误！未找到引用源。

+φ)，所以φ=2kπ+错误！未找到引用源。

，k∈Z，
不妨取φ=错误！未找到引用源。

，则其函数解析式为y=2sin(错误！未找到引用源。

x+错误！未找到引用源。

).
答案：y=2sin错误！未找到引用源。

8.(2014·济宁高一检测)函数y=tan错误！未找到引用源。

与y=-a(a ∈R)的交点中距离最小为.
【解析】y=tan错误！未找到引用源。

与y=-a的交点中距离最小为一个最小正周期T=错误！未找到引用源。

.
答案：错误！未找到引用源。

【误区警示】本题易误认为交点中距离最小为半个最小正周期的错误.注意正、余弦曲线与正切曲线的区别.
9.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O 旋转.当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点
的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d= ，其中t∈[0，60]. 【解析】经过ts秒针转了错误！未找到引用源。

trad.由图知sin 错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

，
所以d=10sin错误！未找到引用源。

，其中t∈[0，60].
答案：10sin错误！未找到引用源。

三、解答题(每小题10分，共20分)
10.(2014·徐州高一检测)单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的关系式为s=6sin错误！未找到引用源。

.
(1)作出它的图象.
(2)单摆开始摆动(t=0)时，离开平衡位置多少厘米？
(3)单摆摆到最右边时，离开平衡位置多少厘米？
【解析】(1)列表如下：
描点作图：
(2)t=0时，s=3cm，此时离开平衡位置3厘米.
(3)离开平衡位置6厘米.
11.健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140mmHg和60～90mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式P(t)=115+25sin(160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数P(t)的周期.
(2)求此人每分钟心跳的次数.
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.
【解析】(1)T=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

(min).
(2)f=错误！未找到引用源。

=80.
(3)P(t)max=115+25=140(mmHg)，
P(t)min=115-25=90(mmHg).
即收缩压为140mmHg，舒张压为90mmHg，比正常值稍高.
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.(2014·泉州高一检测)函数f(x)的部分图象如图所示，
则下列选项正确的是( )
A.f(x)=x+sinx
B.f(x)=xcosx
C.f(x)=x错误！未找到引用源。

D.f(x)=错误！未找到引用源。

【解析】选B.观察图象知函数为奇函数，排除C，又在x=0时函数有意义，排除D，取x=错误！未找到引用源。

，由图象知f错误！未找到引用源。

=0，排除A.
2.如图为一半径r为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2，则有( )
A.ω=错误！未找到引用源。

，A=3
B.ω=错误！未找到引用源。

，A=3
C.ω=错误！未找到引用源。

，A=5
D.ω=错误！未找到引用源。

，A=5
【解析】选B.水轮每分钟旋转4圈，即每秒钟转错误！未找到引用源。

πrad，所以ω=错误！未找到引用源。

.又水轮上最高点离水面
的距离为r+2=5(米)，即y max=5，所以A=3.
3.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数解析式为s=6sin错误！未找到引用源。

，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A.2πs
B.πs
C.0.5 s
D.1 s 【解析】选 D.单摆来回摆动一次所需时间为该函数的最小正周期，所以T=错误！未找到引用源。

=1(s).
4.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则d=f(l)的图象大致是
( )
【解析】选C.设AP中点为C，则d=2AC，
l，所以d=2sin错误！未找到∠AOC=错误！未找到引用源。

∠AOP=
2
引用源。

，故选C.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.(2014·烟台高一检测)直线y=a与曲线y=sin(x+错误！未找到引用源。

)在(0，2π)内有两个不同的交点，则实数a的取值范围是.
【解析】y=sin错误！未找到引用源。

的图象是由y=sinx向左平移错误！未找到引用源。

个单位得到的，且x=0时y=错误！未找到引用源。

，此时只有一个交点，所以a的取值范围是错误！未找到引用源。

∪错误！未找到引用源。

.
答案：错误！未找到引用源。

∪错误！未找到引用源。

【误区警示】本题易忽视a≠错误！未找到引用源。

而导致错误.可结合图象看交点个数，避免出错.
【变式训练】直线y=a与曲线y=sinx在(0，2π)内有两个不同的交点，则实数a的取值范围为 .
【解析】由y=sinx，x∈(0，2π)的图象得，a∈(-1，0)∪(0，1).
答案：(-1，0)∪(0，1)
6.(2014·九江高一检测)已知函数f(x)=sin(2x+φ)错误！未找到引用源。

，对任意实数x都有f(x)≤错误！未找到引用源。

，则f(x)的单调增区间是.
【解题指南】由对任意实数x都有f(x)≤错误！未找到引用源。

，可得x=错误！未找到引用源。

时f(x)取最值，由此可确定出φ的值. 【解析】对任意实数x都有f(x)≤错误！未找到引用源。

，所以x=错误！未找到引用源。

时，f(x)取最值，即2×错误！未找到引用源。

+φ=±错误！未找到引用源。

+2kπ(k∈Z)，
又0<φ<错误！未找到引用源。

，所以φ=错误！未找到引用源。

，f(x)=sin错误！未找到引用源。

，
由-错误！未找到引用源。

+2kπ≤2x+错误！未找到引用源。

≤错误！未找到引用源。

+2kπ(k∈Z)得，
单调增区间为错误！未找到引用源。

(k∈Z).
答案：错误！未找到引用源。

(k∈Z)
【变式训练】已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)，其中ω>0，-π<φ≤π，若f(x)的最小正周期为6π，且当x=错误！未找到引用源。

时，f(x)取得最大值，求f(x)的单调增区间.
【解析】因为T=6π，所以ω=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

×错误！未找到引用源。

+φ=2kπ+错误！未找到引用源。

，k∈Z，又-π<φ≤π，所以φ=错误！未找到引用源。

，
所以f(x)=2sin错误！未找到引用源。

.
令-错误！未找到引用源。

+2kπ≤错误！未找到引用源。

x+错误！未找到引用源。

≤错误！未找到引用源。

+2kπ(k∈Z)，-错误！未找到引用源。

+6kπ≤x≤错误！未找到引用源。

+6kπ(k∈Z)，
所以f(x)的单调增区间为错误！未找到引用源。

(k∈Z).
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.受日月引力的作用，海水会发生涨落，这种现象叫潮汐.在通常情况下，船在海水涨潮时驶进航道，靠近码头，卸货后返回海洋.某港口水的深度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，记作：y=f(t)，下表是该港口在某季每天水深的数据.
经过长期观察y=f(t)的曲线可以近似地看作函数y=Asinωt+B(ω>0)的图象.
(1)根据以上数据，求出函数y=f(t)的近似表达式.
(2)一般情况下，船舶航行时船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰到海底即可)，某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5m，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)？
【解析】(1)因为函数y=f(t)可以近似地看作y=Asinωt+B(ω>0)，所以由数据知它的周期T=12，振幅A=3，B=10.
因为错误！未找到引用源。

=12，所以ω=错误！未找到引用源。

，
故y=f(t)=3sin错误！未找到引用源。

t+10.
(2)该船进出港口时，水深应不小于 6.5+5=11.5m，而在港口内，是安全的，
由3sin错误！未找到引用源。

t+10≥11.5得sin错误！未找到引用源。

t≥错误！未找到引用源。

，
所以2kπ+错误！未找到引用源。

≤错误！未找到引用源。

t≤2kπ+错误！未找到引用源。

，k∈Z，
所以12k+1≤t≤12k+5(k∈Z)，
在同一天内，取k=0，1，
则1≤t≤5或13≤t≤17，
故该船最早能在凌晨1时进港，最迟在下午17时离港，在港口内最多停留16小时.
8.如图，点P是半径为rcm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ωrad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求点的运动周期和频率.
【解析】当质点P从点P0转到点P位置时，点P转过的角度为ωt，则∠POx=
ωt+φ.
由任意角的三角函数得点P的纵坐标为y=rsin(ωt+φ)，
即为所求的函数关系式.
点P的运动周期为T=错误！未找到引用源。

，
频率为f=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.
关闭Word文档返回原板块。