莒南县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

莒南县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图所示，阴影部分表示的集合是（
）
A ．（∁U
B ）∩A B ．（∁U A ）∩B
C ．∁U （A ∩B ）
D ．∁U （A ∪B ）
2． 在数列中，，，则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是{}n a 115a =*
1332()n n a a n N +=-∈（
）
A ．和
B ．和
C ．和
D ．和21a 22a 22a 23a 23a 24a 24a 25
a
3． 若集合M={y|y=2x ，x ≤1}，N={x|
≤0}，则 N ∩M （
）
A ．（1﹣1，]
B ．（0，1]
C ．[﹣1，1]
D ．（﹣1，2]
4． sin 3sin1.5cos8.5，，的大小关系为（ ）A ．sin1.5sin 3cos8.5<<B ．cos8.5sin 3sin1.5<<C.sin1.5cos8.5sin 3
<<D ．cos8.5sin1.5sin 3
<<5． 已知数列｛｝满足（）.若数列｛｝的最大项和最小项分别为n a n
n n a 2
728-+=*
∈N n n a M 和，则（ ）
m =+m M A ．
B ．
C ．
D ．
211
2
27
32
259
32
4356． 下列命题正确的是（
）
A ．已知实数，则“”是“”的必要不充分条件
,a b a b >2
2
a b >B ．“存在，使得”的否定是“对任意，均有”0x R ∈2
010x -<x R ∈2
10x ->C ．函数的零点在区间内
13
1()()2
x
f x x =-11(,)32
D ．设是两条直线，是空间中两个平面，若，则,m n ,αβ,m n αβ⊂⊂m n ⊥αβ
⊥7． 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 命题“∀a ∈R ，函数y=π”是增函数的否定是（ ）
A ．“∀a ∈R ，函数y=π”是减函数
B ．“∀a ∈R ，函数y=π”不是增函数
C ．“∃a ∈R ，函数y=π”不是增函数
D ．“∃a ∈R ，函数y=π”是减函数
9． 若函数f （x ）=﹣2x 3+ax 2+1存在唯一的零点，则实数a 的取值范围为（
）
A ．[0，+∞）
B ．[0，3]
C ．（﹣3，0]
D ．（﹣3，+∞）
10．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是，，，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ）
A ．
7
25
B ．7
25
-
C. 7
25
±
D ．
2425
11．已知a ∈R ，“函数y=log a x 在（0，+∞）上为减函数”是“函数y=3x +a ﹣1有零点”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
12．已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为5，则
{}n a 12a =114
n n n n a a a a ++-=+11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
n （ ）
n =A ．
B ．
C ．
D ．3536120
121
二、填空题
13．已知向量满足，，，则与的夹角为
.
b a ,42
=2||=4)3()(=-⋅+【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题.14．已知，，则的值为
．
1
sin cos 3αα+=
(0,)απ∈sin cos 7sin 12
ααπ-15．若log 2（2m ﹣3）=0，则e lnm ﹣1= ．
16．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．17．已知函数
，则__________；的最小值为__________．
18．已知为抛物线上两个不同的点，为抛物线的焦点．若线段的中点的纵坐标为2，
M N 、2
4y x =F MN
，则直线的方程为_________.||||10MF NF +=MN 三、解答题
19．如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，且DE ∥BC ，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1D ⊥CD ，如图
2．
（Ⅰ）求证：平面A 1BC ⊥平面A 1DC ；
（Ⅱ）若CD=2，求BD 与平面A 1BC 所成角的正弦值；（Ⅲ）当D 点在何处时，A 1B 的长度最小，并求出最小值．
20．（1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件
（2）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件+
=1．
21．从某中学高三某个班级第一组的7名女生，8名男生中，随机一次挑选出4名去参加体育达标测试．（Ⅰ）若选出的4名同学是同一性别，求全为女生的概率；（Ⅱ）若设选出男生的人数为X ，求X 的分布列和EX ．
22．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数有一个零点为4，且满足.
()()()3244f x x a x a b x c =+--++(),,R a b c ∈()01f =（1）求实数和的值；
b c （2）试问：是否存在这样的定值，使得当变化时，曲线在点处的切线互相平行？0x a ()y f x =()()
00,x f x 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；0x （3）讨论函数在上的零点个数.
()()g x f x a =+()0,423．已知二次函数f （x ）的图象过点（0，4），对任意x 满足f （3﹣x ）=f （x ），且有最小值是．（1）求f （x ）的解析式；
（2）求函数h （x ）=f （x ）﹣（2t ﹣3）x 在区间[0，1]上的最小值，其中t ∈R ；
（3）在区间[﹣1，3]上，y=f （x ）的图象恒在函数y=2x+m 的图象上方，试确定实数m 的范围．　
24．（本小题满分10分）
已知曲线的极坐标方程为，将曲线，（为参数），经过伸缩变
C 2sin cos 10ρθρθ+=1cos :sin x C y θ
θ=⎧⎨=⎩α换后得到曲线．
32x x
y y '=⎧⎨'=⎩
2C （1）求曲线的参数方程；
2C （2）若点的在曲线上运动，试求出到曲线的距离的最小值．
M 2C M C
莒南县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A ，但不属于集合B 的元素构成，∴对应的集合表示为A ∩∁U B ．故选：A ．　
2． 【答案】C 【解析】
考
点：等差数列的通项公式．3． 【答案】B
【解析】解：由M 中y=2x ，x ≤1，得到0＜y ≤2，即M=（0，2]，由N 中不等式变形得：（x ﹣1）（x+1）≤0，且x+1≠0，解得：﹣1＜x ≤1，即N=（﹣1，1]，则M ∩N=（0，1]，故选：B ．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．　
4． 【答案】B 【解析】
试题分析：由于()cos8.5cos 8.52π=-，因为
8.522
π
ππ<-<，所以cos8.50<，又()sin 3sin 3sin1.5π=-<，∴
cos8.5sin 3sin1.5<<．考点：实数的大小比较.5． 【答案】D 【解析】
试题分析：数列，， n n n a 2728-+
=112528++-+=∴n n n a 112527
22n n
n n
n n a a ++--∴-=-
，当时，,即；当时,,()11
2522729
22
n n n n n ++----+=
=41≤≤n n n a a >+112345a a a a a >>>>5≥n n n a a <+1即.因此数列先增后减,为最大项，，,最
...765>>>a a a {}n a 32259,55==∴a n 8,→∞→n a n 2
11
1=a ∴小项为，的值为．故选D.211M m +∴3243532259211=
+考点：数列的函数特性.6． 【答案】C 【解析】
考
点：1.不等式性质；2.命题的否定；3.异面垂直；4.零点；5.充要条件．
【方法点睛】本题主要考查不等式性质，命题的否定，异面垂直，零点，充要条件.充要条件的判定一般有①定义法:先分清条件和结论（分清哪个是条件,哪个是结论），然后找推导关系（判断的真假），,p q q p ⇒⇒最后下结论（根据推导关系及定义下结论）. ②等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断.7． 【答案】C
【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为
，
故选C ．
【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．
8． 【答案】C
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀a ∈R ，函数y=π”是增函数的否定是：“∃a ∈R ，函数y=π”不是增函数．故选：C ．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．　
9． 【答案】 D
【解析】解：令f （x ）=﹣2x 3+ax 2+1=0，易知当x=0时上式不成立；
故a==2x﹣，
令g（x）=2x﹣，则g′（x）=2+=2，
故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，
在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；
故作g（x）=2x﹣的图象如下，
，
g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，
故结合图象可知，a＞﹣3时，
方程a=2x﹣有且只有一个解，
即函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，
故选：D．
10．【答案】A
【解析】
考
点：正弦定理及二倍角公式.
【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如θθθθθ2222
sin cos 2cos ,1cos sin -==+,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定
理
R C
c
B b A 2sin sin sin a ===，余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， 实现边与角的互相转化.11．【答案】A
【解析】解：若函数y=log a x 在（0，+∞）上为减函数，则0＜a ＜1，
若函数y=3x +a ﹣1有零点，则1﹣a ＞0，解得：a ＜1，
故“函数y=log a x 在（0，+∞）上为减函数”是“函数y=3x +a ﹣1有零点”的充分不必要条件，故选：A ．　
12．【答案】C
【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前项和．由n 114n n n n
a a a a ++-=
+得，∴是等差数列，公差为，首项为，∴，由得
2
2
14n n a a +-={}
2
n a 442
44(1)4n a n n =+-=0n a >
．
，∴数列的前项和为
n a
=111
2n n a a +==+11n n a a +⎧⎫⎨
⎬+⎩⎭
n ，∴
，选C
．1111
1)1)52222
+++=-= 120n =二、填空题
13．【答案】3
2π
【
解
析
】
14．
【解析】
,
7sin
sin sin cos cos sin 12434343πππππππ⎛⎫
=+=+ ⎪⎝⎭
=,
sin cos 7sin 12
ααπ-∴==
考点：1、同角三角函数之间的关系；2、两角和的正弦公式.
15．【答案】 ．
【解析】解：∵log 2（2m ﹣3）=0，∴2m ﹣3=1，解得m=2，∴e lnm ﹣1=e ln2÷e=．故答案为：．
【点评】本题考查指数式化简求值，是基础题，解题时要注意对数方程的合理运用．　
16．【答案】　x ﹣y ﹣2=0　．
【解析】解：直线AB 的斜率 k AB =﹣1，所以线段AB 的中垂线得斜率k=1，又线段AB 的中点为（3，1），所以线段AB 的中垂线得方程为y ﹣1=x ﹣3即x ﹣y ﹣2=0，
故答案为x ﹣y ﹣2=0．
【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．
17．【答案】
【解析】【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数【试题解析】
当时，
当时，故的最小值为故答案为：
18．【答案】20
x y --=【解析】解析： 设，那么，，∴线段1122(,)(,)M x y N x y 、12||||210MF NF x x +=++=128x x +=MN 的中点坐标为.由，两式相减得，而，∴(4,2)2114y x =2224y x =121212()()4()y y y y x x +-=-1222
y y +=，∴直线的方程为，即.1212
1y y x x -=-MN 24y x -=-20x y --=三、解答题
19．【答案】
【解析】
【分析】（Ⅰ）在图1中，△ABC 中，由已知可得：AC ⊥DE ．在图2中，DE ⊥A 1D ，DE ⊥DC ，即可证明DE ⊥平面A 1DC ，再利用面面垂直的判定定理即可证明．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设平面A 1BC 的法向量为，利用，BE 与平面所成角的正弦值为．
（Ⅲ）设CD=x （0＜x ＜6），则A 1D=6﹣x ，利用
=（0＜x ＜6），即可得出．
【解答】（Ⅰ）证明：在图1中，△ABC 中，DE ∥BC ，AC ⊥BC ，则AC ⊥DE ，
∴在图2中，DE ⊥A 1D ，DE ⊥DC ，
又∵A 1D ∩DC=D ，∴DE ⊥平面A 1DC ，
∵DE ∥BC ，∴BC ⊥平面A 1DC ，
∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1DC．
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系：A1（0，0，4）B（3，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），
E（2，0，0）．
则，，
设平面A1BC的法向量为
则，解得，即
则BE与平面所成角的正弦值为
（Ⅲ）解：设CD=x（0＜x＜6），则A1D=6﹣x，在（2）的坐标系下有：A1（0，0，6﹣x），B（3，x，0），
∴==（0＜x＜6），
即当x=3时，A1B长度达到最小值，最小值为．
20．【答案】
【解析】解：（1）由题意作出可行域如下，
，
结合图象可知，当过点A（2，﹣1）时有最大值，
故Z max=2×2﹣1=3；
（2）由题意作图象如下，
，
根据距离公式，原点O到直线2x+y﹣z=0的距离d=，
故当d 有最大值时，|z|有最大值，即z 有最值；
结合图象可知，当直线2x+y ﹣z=0与椭圆+=1相切时最大，联立方程
化简可得，
116x 2﹣100zx+25z 2﹣400=0，故△=10000z 2﹣4×116×（25z 2﹣400）=0，
故z 2=116，
故z=2x+y 的最大值为．
【点评】本题考查了线性规划的应用及圆锥曲线与直线的位置关系的应用．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）若4人全是女生，共有C 74=35种情况；若4人全是男生，共有C 84=70种情况；故全为女生的概率为=．…
（Ⅱ）共15人，任意选出4名同学的方法总数是C 154，选出男生的人数为X=0，1，2，3，4…
P （X=0）==；P （X=1）==；P （X=2）==；
P （X=3）==；P （X=4）==．…故X 的分布列为X 01234P
EX=0×+1×+2×+3×+4×=．…
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式，正确理解题意是解决问题的基础．
　22．【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）当或时，在有两个零点；1,14
b c =
=1a <-0a >()g x ()0,4当时，在有一个零点.10a -≤≤()g x ()0,4【解析】试题分析：
（1）由题意得到关于实数b ,c 的方程组，求解方程组可得；1,14
b c ==
（3）函数
的导函数，结合导函数的性质可得当或时，在()g x ()()2132444g x x a x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭'1a <-0a >()g x 有两个零点；当时，在有一个零点.
()0,410a -≤≤()g x ()0,4试题解析：
（1）由题意，解得；()()01{ 440f c f b c =+=-+=1{ 41
b c ==（2）由（1）可知，()()324f x x a x =+--1414a x ⎛
⎫++ ⎪⎝⎭
∴；()()2132444f x x a x a ⎛
⎫=+--+ ⎪⎝⎭
'假设存在满足题意，则是一个与无关的定值，0x ()()2000132444f x x a x a ⎛
⎫=+--+
⎪⎝⎭'a 即是一个与无关的定值，()2000124384
x a x x -+--a 则，即，平行直线的斜率为；0240x -=02x =()1724k f ==-
'（3），()()()324g x f x a x a x =+=+-1414a x a ⎛
⎫-+++ ⎪⎝⎭
∴，()()2132444g x x a x a ⎛⎫=+--+
⎪⎝⎭
'其中，()21441244a a ⎛⎫∆=-++= ⎪⎝
⎭()224166742510a a a ++=++>设两根为和，考察在上的单调性，如下表()0g x '=1x ()212x x x <
()g x R 1°当时，，，而，0a >()010g a =+>()40g a =>()152302
g a =--<∴在和上各有一个零点，即在有两个零点；
()g x ()0,2()2,4()g x ()0,4
2°当时，，，而，0a =()010g =>()40g a ==()15202
g =-<∴仅在上有一个零点，即在有一个零点；
()g x ()0,2()g x ()0,43°当时，，且，0a <()40g a =<13024g a ⎛⎫=->
⎪⎝⎭
①当时，，则在和上各有一个零点，1a <-()010g a =+<()g x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
即在有两个零点；()g x ()0,4②当时，，则仅在上有一个零点，10a -≤<()010g a =+≥()g x 1,42⎛⎫
⎪⎝⎭
即在有一个零点；()g x ()0,4综上：当或时，在有两个零点；
1a <-0a >()g x ()0,4当时，在有一个零点.
10a -≤≤()g x ()0,4点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f （x ）在[a ，b ]内所有使f ′（x ）＝0的点，再计算函数y ＝f （x ）在区间内所有使f ′（x ）＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
23．【答案】
【解析】解：（1）二次函数f （x ）图象经过点（0，4），任意x 满足f （3﹣x ）=f （x ）
则对称轴x=，
f （x ）存在最小值，
则二次项系数a ＞0
设f （x ）=a （x ﹣）2+．
将点（0，4）代入得：
f （0）=
，
解得：a=1
∴f （x ）=（x ﹣）2+=x 2﹣3x+4．
（2）h （x ）=f （x ）﹣（2t ﹣3）x
=x 2﹣2tx+4=（x ﹣t ）2+4﹣t 2，x ∈[0，1]．
当对称轴x=t ≤0时，h （x ）在x=0处取得最小值h （0）=4；
当对称轴0＜x=t ＜1时，h （x ）在x=t 处取得最小值h （t ）=4﹣t 2；
当对称轴x=t ≥1时，h （x ）在x=1处取得最小值h （1）=1﹣2t+4=﹣2t+5．
综上所述：
当t ≤0时，最小值4；
当0＜t ＜1时，最小值4﹣t 2；
当t ≥1时，最小值﹣2t+5．∴．
（3）由已知：f （x ）＞2x+m 对于x ∈[﹣1，3]恒成立，∴m ＜x 2﹣5x+4对x ∈[﹣1，3]恒成立，
∵g （x ）=x 2﹣5x+4在x ∈[﹣1，3]上的最小值为，
∴m ＜
．　24．【答案】（1）（为参数）；（2
3cos 2sin x y θθ
=⎧⎨
=⎩【解析】试
题解析：
（1）将曲线（为参数），化为1cos :sin x C y αα=⎧⎨=⎩
α，由伸缩变换化为，221x y +=32x x y y '=⎧⎨'=⎩1312
x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩代入圆的方程，得到，
211132x y ⎛⎫⎛⎫''+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()222:194x y C ''+=可得参数方程为；3cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩
考点：坐标系与参数方程．。