【压轴卷】高三数学上期末第一次模拟试卷带答案

【压轴卷】高三数学上期末第一次模拟试卷带答案
一、选择题
1．若正实数x ，y 满足141x y +=，且234
y
x a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,4-
B ．()1,4-
C ．[]4,1-
D ．()4,1-
2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
142n n a -⎛⎫=+- ⎪
⎝⎭
，若对任意*N n ∈，都有
()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）
A ．()2,3
B ．[]2,3
C ．92,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．92,2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
3．已知在
中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，
，
，则
的面积等于（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a ++⋯+=（ ） A ．1033
B ．1034
C ．2057
D ．2058
5．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若3n 2
2n n S T n +=，则7
7a b =（ ） A ．
41
26
B ．
2314
C ．
117 D ．
116
6．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S ，且
223tan 2
S B =+，则A 等于（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 7．已知正项等比数列{}n a 的公比为3，若2
29m n a a a =，则
212m n
+的最小值等于（ ） A ．1
B ．
12
C ．
34 D ．
32
8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(
)*
21n n S a n N =-∈，则5
a 等于（ ）
A ．16-
B ．16
C ．31
D ．32
9．等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么{}n a 的前7项和7S =（ ） A ．22
B ．24
C ．26
D ．28
10．在中，，，，则
A ．
B ．
C ．
D ．
11．在R 上定义运算
：A
()1B A B =-，若不等式()
x a -()1x a +<对任意的
实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<
B ．02a <<
C ．1322
a -
<< D ．31
22
a -
<< 12．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=o ，22AB BC CD ==，则
cos DAC ∠=（ ）
A ．
25
5
B ．
55
C ．
310
10
D ．
1010
二、填空题
13．已知数列{}n a 的前n 项和为21n
n S =-，则此数列的通项公式为___________．
14．若为等比数列的前n 项的和，，则=___________
15．计算：23lim 123n n n
n
→+∞-=++++L ________
16．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是__________．
17．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，15
82a a +=，2481a a =g ，记数列2n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，则使不等式11
2020|1|13n n T a -->成立的最大正整数n 的值是__________．
18．已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，
45
234a a a a +=+，则14
4
S S a +=______． 19．设(
)
3
2()lg 1f x x x x =++
+，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是
“()()0f a f b +≥”的_________条件．（填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一） 20．已知
是数列
的前项和，若
，则
_____．
三、解答题
21．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2sin 3tan c B a A =.
（1）求22
2
b c a
+的值； （2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.
22．解关于x 的不等式()2
22ax x ax a R -≥-∈.
23．设 的内角 的对边分别为 已知
．
（1）求角 ；
（2）若
，
，求
的面积．
24．已知等差数列{}n a 的所有项和为150，且该数列前10项和为10，最后10项的和为
50.
（1）求数列{}n a 的项数； （2）求212230a a a ++⋅⋅⋅+的值.
25．已知实数x 、y 满足6003x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为
33a -，求实数a 的取值范围.
26．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a =9，S 6=60． （I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）若数列{b n }满足b n+1﹣b n =n a （n∈N +）且b 1=3，求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 根据1444y y x x x y ⎛⎫⎛⎫+
=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合基本不等式可求得44
y
x +≥，从而得到关于a 的不等式，解不等式求得结果. 【详解】 由题意知：1442444y y x y
x x x y y x
⎛⎫⎛⎫+
=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0x Q >，0y > 40x y ∴>，04y
x
> 442244x y x y
y x y x
∴
+≥⋅=（当且仅当44x y y x =，即4x y =时取等号）
44
y
x ∴+
≥ 234a a ∴-<，解得：()1,4a ∈-
本题正确选项：B
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是配凑出符合基本不等式的形式，从而求得最值.
2．B
解析：B 【解析】
1
1
111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11221244133212n
n
n n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫
⎝⎭-- ⎪⎝⎭
()143n p S n ≤-≤Q
即22113332n p ⎛⎫
⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
对任意*n N ∈都成立， 当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤
当3n =时，4
43
p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤
故选B
点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ，为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公
式求得结果. 【详解】
由余弦定理得：，即
解得：或
为最小角
本题正确选项：
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.
4．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
首先根据数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据
a b1+a b2+…+a b10=1+2+23+25+…+29+10进行求和．
解：∵数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，
∴a n=2+（n-1）×1=n+1，
∵{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴b n=1×2n-1，
依题意有：a b1+a b2+…+a b10=1+2+22+23+25+…+29+10=1033，
故选A．
5．A
解析：A
【解析】
依题意，
113
713
113
713
13
241
2
226
13
2
a a
a S
b b
b T
+
⋅
===
+
⋅
.
6．C
解析：C 【解析】【分析】
利用三角形面积公式可得
2tan
1
acsinB
223tan2
bc c B
B
+
=
+
，结合正弦定理及三角恒等变换知识
3sinA cosA1
-=，从而得到角A.
∵
2
tan bc c B S +=
∴2tan 1acsinB 2bc c B +=即
c tan asinB a b B +=
=
()B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=
++ cosA 1-=
∴1sin 62A π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭， ∴56
6
6
A 或
π
π
π
-=
（舍） ∴3
A π
=
故选C 【点睛】
此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．
7．C
解析：C 【解析】
∵正项等比数列{}n a 的公比为3，且2
29m n a a a =
∴2
2242
22223
339m n m n a a a a --+-⋅⋅⋅=⋅=
∴6m n +=
∴
121121153()()(2)(2)62622624m n m n m n n m ⨯++=⨯+++≥⨯+=，当且仅当24m n ==时取等号. 故选C.
点睛：利用基本不等式解题的注意点：
（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．
（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等． （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．
8．B
【解析】 【分析】
令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】
当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；
当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得
12n n a a -=.
所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则4
51216a =⨯=，
故选：B. 【点睛】
本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1
,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩，同时也要注意等差数
列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
9．D
解析：D 【解析】
试题分析：由等差数列的性质34544123124a a a a a ++=⇒=⇒=
，则
考点：等差数列的性质
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据三角形内角和定理可知，再由正弦定理即可求出AB .
【详解】 由内角和定理知，
所以，
即，
故选D. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，属于中档题.
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成
立,整理后利用判别式求出a 范围即可
【详解】
Q A
()1B A B =-
∴()x a -()x a +()()()()22
=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦
Q ()
x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,
221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,
()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,
13
22
a ∴-<<
故选：C 【点睛】
本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
设1BC CD ==，计算出ACD ∆的三条边长，然后利用余弦定理计算出cos DAC ∠． 【详解】
如下图所示，不妨设1BC CD ==，则2AB =，过点D 作DE AB ⊥，垂足为点D ， 易知四边形BCDE 是正方形，则1BE CD ==，1AE AB BE ∴=-=， 在Rt ADE ∆中，222AD AE DE =
+=225AC AB BC +
在ACD ∆中，由余弦定理得2222310cos 210252
AC AD CD DAC AC AD +-∠===
⋅⨯⨯， 故选C ．
【点睛】
本题考查余弦定理求角，在利用余弦定理求角时，首先应将三角形的边长求出来，结合余弦定理来求角，考查计算能力，属于中等题．
二、填空题
13．【解析】【分析】由数列的前项和为得时得出;验证时是否满足即可【详解】当时当时又所以故答案为:【点睛】本题考查了由数列的前项和公式推导通项公式的计算问题;解题时需验证时是否满足是基础题
解析：1
2
n n a -=
【解析】 【分析】
由数列{}n a 的前n 项和为23n
n S =-，得2n >时1
12
3n n S --=-,，得出1n n n a S S -=-;
验证1n =时11a S =是否满足n a 即可. 【详解】
当1n =时,11211a S ==-=, 当2n ≥时,(
)1
11212
12n
n n n n n a S S ---=-=---=,
又1121-=,所以1
2n n a -=.
故答案为:1
2n n a -=.
【点睛】
本题考查了由数列{}n a 的前n 项和公式n S 推导通项公式n a 的计算问题;解题时，需验证
1n =时11a S =是否满足n a ，是基础题.
14．-7【解析】设公比为q 则8a1q=-a1q4所以q3=-8S6S3=q6-1q3-1=q3+1=-8+1=-7
解析：-7 【解析】 设公比为，则
，所以
．
．
15．【解析】【详解】结合等差数列前n 项和公式有：则： 解析：6
【解析】 【详解】
结合等差数列前n 项和公式有：()11232
n n n +++++=
L ，则：
()()2
2
6231362lim lim lim lim
61
123111n n n n n n n n n n n n n n n
→+∞→+∞→+∞→+∞-
---====+++++++L . 16．【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得应满足解得∴实数的取值范
围是答案：点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时需要综合考虑边的限制条件在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用必须要考虑到三个内角的
解析：a <<【解析】
由三角形中三边关系及余弦定理可得a 应满足
222222
22224
130130310a a a a <<⎧⎪+->⎪
⎨+->⎪⎪+->⎩
，解得a << ∴实数a
的取值范围是．
答案： 点睛：
根据三角形的形状判断边满足的条件时，需要综合考虑边的限制条件，在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用，必须要考虑到三个内角的余弦值都要大于零，并由此得到不等式，进一步得到边所要满足的范围．
17．8【解析】【分析】根据求得再求出带入不等式解不等式即可【详解】因为数列为正项的递增等比数列由解得则整理得：使不等式成立的最大整数为故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和同时考
解析：8 【解析】 【分析】
根据1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，求得15181
a a =⎧⎨=⎩，13-=n n a .再求出13(1)3n n T =-，带入不等式
11
2020|1|13n n
T a -->，解不等式即可.
【详解】
因为数列{}n a 为正项的递增等比数列，
由1524158281a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得15
181a a =⎧⎨=⎩. 则3q =，13-=n n a .
1(1)1323(1)1313
n n n T -
=⨯=--. 112020|1|13n n T a -->⇒1112020|11|133n n ---->. 整理得：38080n <.
使不等式成立的最大整数n 为8.
故答案为：8
【点睛】
本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.
18．2【解析】【分析】利用已知条件求出公比再求出后可得结论【详解】设等比数列公比为则又数列是递增的∴∴故答案为：2【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式属于基础题
解析：2
【解析】
【分析】
利用已知条件求出公比q ，再求出144,,S S a 后可得结论．
【详解】
设等比数列{}n a 公比为q ，则2454232(1)4(1)
a a a q q a a a q ++===++，又数列{}n a 是递增的，∴2q =， ∴44121512S -==-，111S a ==，3428a ==，144
11528S S a ++==． 故答案为：2．
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．
19．充要【解析】所以为奇函数又为单调递增函数所以即是的充要条件点睛：充分必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断若则若则的真假并注意和图示相结合例如⇒为真则是的充分条件2等价法：利用⇒与非⇒非⇒与非⇒非 解析：充要
【解析】
33()()lg(()lg(lg10f x f x x x x x +-=++-+-== ，所以()f x 为
奇函数，又()f x 为单调递增函数，所以
0()()()()()()0a b a b f a f b f a f b f a f b +≥⇔≥-⇔≥-⇔≥-⇔+≥ ，即“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的充要条件
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
20．4950【解析】【分析】由an+Sn ＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an ＝2n 即可计算【详解】解：∵an+Sn＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an 解析：
【解析】
【分析】
由a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1，两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．即可计算．
【详解】
解：∵a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1，
两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．
则（2a 2﹣a 1）（2a 3﹣a 2）…（2a 100﹣a 99）＝21•22•23…299＝24950．
【点睛】
本题考查了数列的递推式，属于中档题．
三、解答题
21．（1）22
24b c a
+=（27 【解析】
【分析】
（I ）由题意2sin 3tan c B a A =，利用正、余弦定理化简得2224b c a +=，即可得到答案. （II ）因为2a =，由（I ）知222416b c a +==，由余弦定理得6cos A bc =
，进而利用基本不等式，得到6cos bc A =，且(0,)2
A π∈，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质，即可求解面积的最大值.
【详解】
解：（I ）∵2sin 3tan c B a A =，
∴2sin cos 3sin c B A a A =，
由正弦定理得22cos 3cb A a =， 由余弦定理得222
22?32b c a cb a bc
+-=，化简得2224b c a +=， ∴22
24b c a
+=. （II ）因为2a =，由（I ）知222416b c a +==， ∴由余弦定理得2226cos 2b c a A bc bc
+-==， 根据重要不等式有222b c bc +≥，即8bc ≥，当且仅当b c =时“=”成立， ∴63cos 84A ≥
=. 由6cos A bc =，得6cos bc A =，且0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， ∴ABC ∆的面积116sin sin 3tan 22cos S bc A A A A =
=⨯⨯=. ∵2222222sin cos sin 11tan 1cos cos cos A A A A A A A
++=+==，
∴tan A =≤=
∴3tan S A =≤
∴ABC ∆的面积S .
【点睛】
本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
22．当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-；
当0a >时，不等式的解集为2{|x x a
≥或1}x ≤-； 当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a
≤≤-； 当2a =-时，不等式的解集为{}1-； 当2a <-时，不等式的解集为2
{|1}x x a -≤≤.
【分析】
将原不等式因式分解化为()()210ax x -+≥，对参数a 分5种情况讨论：0a =，0a >，20a -<<，2a =-，2a <-，分别解不等式．
【详解】
解：原不等式可化为()2
220ax a x +--≥，即()()210ax x -+≥， ①当0a =时，原不等式化为10x +≤，解得1x ≤-，
②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭， 解得2x a
≥或1x ≤-， ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≤ ⎪⎝
⎭. 当
21a >-，即2a <-时，解得21x a -≤≤； 当
21a =-，即2a =-时，解得1x =-满足题意； 当21a
<-，即20a -<<时，解得21x a ≤≤-. 综上所述，当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-； 当0a >时，不等式的解集为2{|x x a
≥或1}x ≤-； 当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a
≤≤-； 当2a =-时，不等式的解集为{}1-； 当2a <-时，不等式的解集为2
{|1}x x a -≤≤.
【点睛】
本题考查含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对a 分类时要做到不重不漏的原则，同时最后记得把求得的结果进行综合表述.
23．（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（2）利用（1）的结论，余弦定理及三角形的面积公式求出结果．
（1）∵b=a （cosC ﹣sinC ），
∴由正弦定理得sinB=sinAcosC ﹣sinAsinC ，
可得sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC ﹣sinAsinC ，
∴cosAsinC=﹣sinAsinC ，
由sinC≠0，得sinA+cosA=0，
∴tanA=﹣1，
由A 为三角形内角， 可得
． （2）因为
， 所以由正弦定理可得b=
c ， 因为a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，
， 可得c=
，所以b=2， 所以
． 【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．
24．（1）50；（2）30
【解析】
【分析】
(1)根据条件结合等差数列的性质可得16n a a +=,再根据{}n a 的所有项和为150,即可求出项数n 的值;
(2)根据(1)求出{}n a 的首项1a 和公差d ,然后将212230a a a ++⋅⋅⋅+用1a 和d 表示,再求出其值.
【详解】
解:(1)由题意,得1231010a a a a +++⋅⋅⋅+=,12950n n n n a a a a ---+++⋅⋅⋅+=,
∴()()()()1213210960n n n n a a a a a a a a ---++++++⋅⋅⋅++=,
根据等差数列性质,可知12132109n n n n a a a a a a a a ---+=+=+=⋅⋅⋅=+,
∴()11060n a a +=,∴16n a a +=,
又{}n a 的所有项和为150,∴()11502
n n a a +=, ∴50n =,即数列{}n a 的项数为50.
(2)由(1)知,150161091010
2a a a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,即112496292a d a d +=⎧⎨+=⎩,∴11120110a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
, ∴()2122233021305a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+
()15249a d =+11152492010⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⎝
⎭30=. 【点睛】
本题考查了等差数列的性质和前n 项和公式,考查了转化思想和方程思想,属基中档题. 25．[]1,1-
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，利用题中条件找出目标函数z ax y =+取得最大值和最小值的最优解，根据题意将直线z ax y =+与可行域边界线的斜率进行大小比较，可得出实数a 的取值范围.
【详解】
作出不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
所表示的可行域如下图所示：
由z ax y =+得y ax z =-+，
Q 目标函数z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -.
∴当直线y ax z =-+经过点()3,9B 时，该直线在y 轴上的截距最大，
当直线y ax z =-+经过点()3,3A -时，该直线在y 轴上的截距最小，
结合图形可知，直线y ax z =-+的斜率不小于直线0x y +=的斜率，不大于直线
60x y -+=的斜率，即11a -≤-≤，解得11a -≤≤，因此，实数a 的取值范围是[]1,1-.
【点睛】
本题考查线性目标函数最大值和最小值的最优解问题，对于这类问题，一般要利用数形结合思想，利用目标函数对应直线在坐标轴上的截距最值得出目标函数所在直线的斜率与可行域边界直线的斜率的大小关系来求解，考查数形结合思想，属于中等题.
26．（Ⅰ）a n =2n+3；（Ⅱ）31142(1)2(2)n n --++. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，利用通项公式、前n 项和公式列出关于首项和公差的方程组进行求解；（Ⅱ）利用迭代法取出数列{}n b 的通项公式，再利用裂项抵消法进行求和.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=9，S 6=60．∴，解得．
∴a n =5+（n ﹣1）×2=2n+3．
（Ⅱ）∵b n+1﹣b n =a n =2n+3，b 1=3，
当n≥2时，b n =（b n ﹣b n ﹣1）+…+（b 2﹣b 1）+b 1
=[2（n ﹣1）+3]+[2（n ﹣2）+3]+…+[2×1+3]+3=
．
当n=1时，b 1=3适合上式，所以
． ∴． ∴
=
=
点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：
（1）已知数列的通项公式为1(1)n a n n =
+，求前n 项和：111(1)1n a n n n n ==-++； （2）已知数列的通项公式为1(21)(21)
n a n n =-+，求前n 项和：
1111()(21)(21)22121
n a n n n n ==--+-+； （3）已知数列的通项公式为
n a =
n 项和:.
n a ==。